第二章极限论 第二章函数的极限与连续性 第二讲极限() 课后作业: 阅读:第二章21-22pp27-39, 预习:第二章23--24pp40-50 练习pp34-35习题21:1;2 pp39-40习题22:1.(1),(2)(3);2.(1),(6)(10),(11(14); 3.(2);4.(1) 作业pp34-35习题21:1;2 pp39-40习题22:1.4),(5,(6);2.(3),(4),(7)8)(9)(12),(13); 3.(1);4.(2) 引言: 1,极限的发展: 由方法到概念: 从求切线求速度到导数概念 从的求曲边面积到定积分概念 (公元前二百多年到十七世纪) 由直观到理性: 从物理、几何的直观到微积分理论的创立 ●由混乱到精确: 从贝格莱的无穷小悖论说到柯西的8-6定义 三大流派 逻辑主义(英国 Russell1872-1970) 直觉主义(荷兰 Brouwer1881-1966) 形式主义德国 Hilbert1862-1943) 2,极限的重要性: 极限是一种思想方法 从认识有限到把握无限;从了解离散到理解连续; 极限是一种概念: 许多物理、几何对象要用极限来刻画 极限是一种计算: 许多物理、几何量要通过极限来求出 2-1函数的极限 2-1-1函数极限的定义 (1)自变量变化的描述 邻域概念 x的δ邻域N(x)={x-xl<}, x的δ去心邻域N(x){}={<0x-x<l), ●两种基本变化趋势 趋向于一点:x→x0<x-x x→x0<x-x→0 第二章极限论
第二章 极限论 第二章 极限论 第二章 函数的极限与连续性 第二讲 极限 (一) 课后作业： 阅读： 第二章 2.1--- 2.2 pp.27—39, 预习: 第二章 2.3--- 2.4 pp.40—50, 练习 pp34--35 习题 2.1: 1; 2 pp39--40 习题 2.2: 1.(1), (2),(3); 2.(1), (6),(10),(11),(14); 3. (2); 4. (1). 作业 pp34--35 习题 2.1: 1; 2 pp39--40 习题 2.2: 1.(4), (5), (6); 2.(3), (4),(7),(8),(9),(12),(13); 3. (1); 4. (2). 引言： 1, 极限的发展: ⚫ 由方法到概念： 从求切线求速度到导数概念； 从的求曲边面积到定积分概念 (公元前二百多年到十七世纪) ⚫ 由直观到理性： 从物理、几何的直观到微积分理论的创立 ⚫ 由混乱到精确： 从贝格莱的无穷小悖论说到柯西的 − 定义 三大流派： 逻辑主义(英国 Russell １８７２－１９７０) 直觉主义(荷兰 Brouwer１８８１－１９６６) 形式主义(德国 Hilbert １８６２－１９４３) 2, 极限的重要性: ⚫ 极限是一种思想方法 从认识有限到把握无限；从了解离散到理解连续； ⚫ 极限是一种概念： 许多物理、几何对象要用极限来刻画 ⚫ 极限是一种计算： 许多物理、几何量要通过极限来求出 2-1 函数的极限 2-1-1 函数极限的定义 (1) 自变量变化的描述: ⚫ 邻域概念： 0 x 的 邻域 ( ) N x0 = x x − x0 ， 0 x 的 去心邻域 N (x0 ) \x0=x 0 x − x0 ， ⚫ 两种基本变化趋势： 趋向于一点： x → x0 0 x − x0 →0 → 0 0 − 0 → 0 + x x x x
第二章极限论 x÷0>x-x0→0 趋向于无穷:x→>∞◇x的绝对值可变得大于任何正数 x→-∞x的可变得小于任何数 x→>+∞分x的可变得大于任何数 (2)函数极限的直观的定义 设函数f(x)在点x0的某去心邻域上有定义, 若存在常数A,当x“无限趋于x0不等于x0”时, 函数f(x)“无限趋于A”。则称A是f(x) 当x趋于x。的极限。记作lmnf(x)=A 或者 (3)函数极限举例 )函数在一点的极限 例1:lim 例2:lim 0 例3:lin 例4:lm(+x) (4)函数在无穷远处的极限 定义:设函数∫在区间(a+∞)有定义,若有实数A 当x“无限变大”时,函数f(x)“无限趋于A”。 则称A是f(x),当x→+∞时的极限记作imnf(x)=A, x→+∞ 或者∫(x)→>A,x→+∞ 类似地可以定义当当x→-∞和x→∞时函数的极限 (5)极限严格定义:设函数f(x)在点x的某去心邻域上有定 义,若彐A,VE>0,彐δ>0,使得所有满足不等式 04x-xkd的动点x,都有|f(x)-AkE 则称当x→>x0时函数f(x)有极限A, 或者称当x→x0时,函数∫(x)趋向于A. 记作lnf(x)=A,或者f(x)→>A(x>x0) 或者x→+∞,f(x)→A (3)几点说明 1.函数在一点的极限不考虑该点处函数是否有定义,但在 附近必须要有定义。 2.极限直观定义的优缺点 第二章极限论
第二章 极限论 第二章 极限论 0 0 0 _ x → x0 x − x → 趋向于无穷: x → x的绝对值可变得大于任何正数 x → − x的可变得小于任何数 x → + x的可变得大于任何数 (2)函数极限的直观的定义 设函数 f (x) 在点 0 x 的某去心邻域上有定义, 若存在常数 A, 当 x “无限趋于 0 x ,不等于 0 x ”时, 函数 f (x) “无限趋于 A” 。则称 A 是 f (x) 当 x 趋于 0 x 的极限。记作 f x A x x = → lim ( ) 0 . 或者 , ( ) , x → x0 f x → A . (3)函数极限举例 (a) 函数在一点的极限 例 1: ? 1 1 lim 2 1 = − − → x x x 例 2: 0 1 lim sin 0 = x→ x 例 3: 0 1 lim sin 0 = → x x x . 例 4: ( x) x e x + = → 1 0 lim 1 . (4) 函数在无穷远处的极限 定义:设函数 f 在区间 (a,+) 有定义,若有实数 A . 当 x “无限变大”时, 函数 f (x) “无限趋于 A” 。 则称 A是 f (x), 当 x → + 时的极限,.记作 f x A x = →+ lim ( ) , 或者 f (x) → A, x → + . 类似地可以定义当当 x →− 和 x → 时函数的极限. (5) 极限严格定义：设函数 f (x) 在点 0 x 的某去心邻域上有定 义, 若 A, 0, 0 ,使得所有满足不等式 0 | x − x0 | 的动点 x ,都有 | f (x) − A | 则称当 0 x → x 时,函数 f (x) 有极限 A , 或者称当 0 x → x 时,函数 f (x) 趋向于 A . 记作 f x A x x = → lim ( ) 0 ,或者 ( ) ( ) 0 f x → A x → x . 或者 x → +, f (x) → A. (3)几点说明 1. 函数在一点的极限不考虑该点处函数是否有定义，但在 附近必须要有定义。 2. 极限直观定义的优缺点
第二章极限论 2-1函数极限的性质和计算 )数列极限的性质:lmf(x)=A 性质1:(函数极限的几何意义) 性质2:函列极限若存在,则必唯 性质3:函列极限若存在,则一定有界 lmf(x)=A→函数在x点的某去心邻域中有界。 性质4:极限的保序性 性质6:函数在一点的单侧极限与极限 Imf(x)=A和lmf(x)=A的定义 x→x6 命题2.5:极限lmf(x)=A存在的充分必要条件是 imf(x)=A与lmf(x)=A都存在并且相等 X→x0 x→x0 (二)函数极限的计算:Imf(x)=A 极限的四则运算 若极限mu(x)=A,lmv(x)=B存在,则 (1)lim(u(x)+v(x))=A+B (2)对于任意常数c,lin(cu(x)=cA (3)Im(u(x)(x))=AB (4)假定m(x)=B≠0,则ma(x=4 (x) B 思考:若己知m2(x)=4存在,关于 极限lmnu(x),imv(x)可以有什么结论? x→口 两者是否一定存在? 若其中一个存在,另一个是否一定存在? 若lmv(x)=B≠0,那么结论如何? 其他的性质也反过来问一问? 夹逼收敛准则: 若Wx∈N(x0)\{x},f(x)≤9(x)≤g(x),且 mf(x)=limg(x)=a,则lmo(x)=a。 例 r us un 解:利用图形:snx≤x≤tanx →1Snx COS x →lmsx=1 sin x cos x 复合函数极限定理: 第二章极限论
第二章 极限论 第二章 极限论 2-1 函数极限的性质和计算 (一) 数列极限的性质: lim f (x) x→• = A 性质 1: (函数极限的几何意义) 性质 2: 函列极限若存在,则必唯一. 性质 3: 函列极限若存在，则一定有界. lim ( ) 0 f x x→x = A 函数在 0 x 点的某去心邻域中有界。 性质 4: 极限的保序性 性质 6: 函数在一点的单侧极限与极限 ⚫ f x A x x = → + lim ( ) 0 和 f x A x x = → − lim ( ) 0 的定义 ⚫ 命题 2.5: 极限 f x A x x = → lim ( ) 0 存在的充分必要条件是 f x A x x = → + lim ( ) 0 与 f x A x x = → − lim ( ) 0 都存在并且相等. (二) 函数极限的计算: lim f (x) x→• = A ⚫ 极限的四则运算 若极限 u x A x = →• lim ( ) , v x B x = →• lim ( ) 存在, 则: (1) u x v x A B x + = + →• lim ( ( ) ( )) (2) 对于任意常数 c , lim( cu(x)) = c A (3) u x v x AB x = →• lim ( ( ) ( )) (4) 假定 lim ( ) = 0 →• v x B x , 则 B A v x u x x = →• ( ) ( ) lim 思考：若己知 B A v x u x x = →• ( ) ( ) lim 存在，关于 极限 lim u(x) x→a , lim v(x) x→a 可以有什么结论？ ⚫ 两者是否一定存在？ ⚫ 若其中一个存在，另一个是否一定存在？ ⚫ 若 lim v(x) = B 0 ，那么结论如何？ 其他的性质也反过来问一问？ ⚫ 夹逼收敛准则： 若 x N(x0 )\ x0 , f (x) (x) g(x), 且 = = → → lim ( ) lim ( ) 0 0 f x g x x x x x , 则 = → lim ( ) 0 x x x 。 例， x x x x sin lim → 0 =？ 解： 利用图形： sin x x tan x x x x cos 1 sin 1 x x x cos sin 1 x x x x sin lim → 0 =1 ⚫ 复合函数极限定理：
第二章极限论 设lmg()=xo,lmf(x)=A,且当t≠10时,g(t)≠x0, 则lmf(g(t)=A 注这里的条件t≠10时,g(1)≠x0的作用:例子 x≠0 若f(x)= 而g(1)= t Sin 0 显然有lmf(x)=1和lmg(t)=0, x→0 考察:lmf(g() 初等函数的极限定理 若f(x)是初等函数,x0在其定义域区间内,则有 lim f(x)=f(xo) 函数极限计算例 两个重要极限:m(+x)=e,m当x=1 Pm/qm, if m=n P 例一im Jm<n=?其中P(x),Q(x)分 x→Qn(x) if m<n 别m,n是次多项式,其最高次项的系数分别为pn,qn 例如im x→+02x2-3x+2 解:原式分子与分母同除以x2得到 mx-r+ x x 1-lim -+ lim x21-0+01 2-lim - lim 2-0+02 x→+xx→+0x 例二lim ?,(a>1) X> ]≤x,记区x] 2(n+1 0< (n+1) ≤ +E ne+ 2(m 0< 2(x+1) n (x-1)(x-2) 此处,a=1+E,]小于x的最大整数。 类似可求出:Im=0,(p>0.a>1) 第二章极限论
第二章 极限论 第二章 极限论 设 0 lim ( ) 0 g t x t t = → , f x A x x = → lim ( ) 0 , 且当 0 t t 时, 0 g(t) x , 则 f g t A t t = → lim ( ( )) 0 . 注: 这里的条件 0 t t 时, 0 g(t) x 的作用：例子 若 = = 0, 0 1, 0 ( ) x x f x , 而 = t g t t Sin 1 ( ) , 显然有 lim ( ) 1 0 = → f x x 和 lim ( ) 0 0 = → g t t , 考察： lim ( ( )) 0 f g t t→t ⚫ 初等函数的极限定理： 若 f (x) 是初等函数， 0 x 在其定义域区间内，则有 ( ) ( ) 0 0 lim f x f x x x = → ⚫ 函数极限计算例 两个重要极限: ( x) x e x + = → 1 0 lim 1 , 1 sin lim 0 = → x x x 例一 = = → if m n if m n p q if m n Q x P x m m n m x , 0 , , ( ) ( ) lim =？其中 P (x),Q (x) m n 分 别 m, n 是次多项式, 其最高次项的系数分别为 pm qn , 。 例如 2 3 2 1 lim 2 2 − + − + →+ x x x x x 解: 原式分子与分母同除以 2 x 得到 2 2 2 2 3 2 2 1 1 1 lim 2 3 2 1 lim x x x x x x x x x x − + − + = − + − + →+ →+ = 2 1 2 0 0 1 0 0 2 lim 3 2 lim 1 lim 1 1 lim 2 2 = − + − + = − + − + →+ →+ →+ →+ x x x x x x x x 例二 lim = ?, ( 1) →+ a a x x x 解：当 x 0, x −1 x x, 记 x = n , ( ) ( ) ( ) ( ) x x n x n a x + + = + + 1 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 1 1 − + − + + + n n n n n n n ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 1 2 2 1 1 2 1 0 2 2 ⎯⎯⎯→ − − + − + x→+ x x x x n n n a x . 此处, a =1+ , x 小于 x 的最大整数。 类似可求出： lim = 0, ( 0, 1) →+ p a a x x p x
第二章极限论 例三mx=?,(p>0.令t=hx 由此可推出: lim x nx=0,(p>0),lmx2=0 例四:求im cos x x-0 Sin- sir 解 =lim =2lim 例五,lm(1+t)=e →0 解:令t=-,lm(1+1)=lm(1+-)x=e x→∞ 特别有:若lmu()=0,u()≠0→lmn(1+()y=e 通过极限运算、变量置换、夹逼法则,将未知极限化成己知 的极限。如m),m(+x)=e,mSmx=1, Q, (x) imx=0,(a>1) In x 0,(P>0) 例大求m(x+y+2 x→)∞X 解:lm( 、qx14(x+2) x→0X 例七:求mnlh(1+x) 解:lim In(1+x) = lim In(1+x)x x-O x 因为当x→>0时,(1+x)x→e, 所以lmh(1+x)x=1,从而 x-)0 lim lim In(1+x)=1 x→0 例八:求极限ln sin( tan x) →0Snx 第二章极限论
第二章 极限论 第二章 极限论 例三 ?, ( 0) ln lim = →+ p x x p x . 令 t = ln x 由此可推出: lim ln 0, ( 0); lim 0 0 0 = = → + → + x x p x x x p x 例四: 求 2 0 1 cos lim x x x − → 解: x x x x x x x x x x x 2 sin 2 sin 2 lim 2 2sin lim 1 cos lim 0 2 2 0 2 0 = = − → → → 2 1 2 2 sin lim 2 2 sin 2lim 0 0 = = → → x x x x x x 例五， t e t t + = → 1 0 lim (1 ) 解：令 x t 1 = , e x t x x t t + = + = → → ) 1 lim (1 ) lim (1 1 0 特别有：若 ( ) ( ) ( ( )) ( ) u t u t u t e u t t t = + = →• →• 1 lim 0, 0 lim 1 通过极限运算、变量置换、夹逼法则，将未知极限化成己知 的极限。(如 ( ) ( ) lim Q x P x n m x→ , ( x)x e x + = → 1 0 lim 1 , lim 1 0 = → x Sin x x , lim = 0, ( 1) →+ a a x x p x , 0, ( 0) ln lim = →+ p x x p x ) 例六 求 2 ) 1 3 lim ( + → − + x x x x 解: 1 4( 2) 4 1 2 ) ] 1 4 ) lim [(1 1 3 lim ( − − + → + → − = + − + x x x x x x x x x 4 = e 例七 :求 x x x ln(1 ) lim 0 + → 解: x x x x x x 1 0 0 lim ln(1 ) ln(1 ) lim = + + → → 因为当 x →0 时, x e + x → 1 (1 ) , 所以 lim ln(1 ) 1 1 0 + = → x x x ,从而 x x x x x x 1 0 0 lim ln(1 ) ln(1 ) lim = + + → → =1 例八: 求极限 x x x sin sin(tan ) lim →0