◆实数的性质 1.实数集R对加减乘除(除数不为0四则运算是封闭的 即任意两个实数和,差积,商(除数不为0)仍然是实数 2实数集是有序的即任意两个实数a,b必满足下 述三个关系之一a<b,a=b,a>b
v实数的性质 1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是封闭的. 即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0)仍然是实数. 2.实数集是有序的.即任意两个实数a, b必满足下 述三个关系之一: a < b, a = b, a > b
今实数的性质 3实数集的大小关系具有传递性即若a>b,b>c 有 a>c 4.实数具有阿基米德性,即对任何a>b>0, 则存在正整数n,使得nb>a
3.实数集的大小关系具有传递性.即若a > b, b > c, 则有a>c v实数的性质 . ， 则存在正整数 n,使得 nb > a. 4.实数具有阿基米德性, 即对任何 a > b > 0
今实数的性质 5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数 之间几有另一个实数,且既有在理数,也有无理数. 6实数集R与数轴上的点具有一一对应关系即任 实数都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的 每一点也都唯一的代表一个实数
5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数 之间几有另一个实数,且既有在理数,也有无理数. 6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任 一实数都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的 每一点也都唯一的代表一个实数. v实数的性质
例1设x,y为实数,证明:存在有理数满足:x<r<y 证明由于xy,故存在非负整数,使得xnyn令r=7(xm+y) 则r为有理数,且有x≤xn<r<yn≤y即得x<r<y
例1 证明 设x, y为实数，证明:存在有理数r满足: x < r < y. , . ( ) 2 1 , . r ， x x r y y x r y x y n， x y r x y n n n n n n £ < < £ < < < < 则 为有理数 且有 即得 由于 故存在非负整数 使得 令
例2设a,b∈R,证明:若对任何正数e有a<b+E,则a≤b 证明用反证法假若结论不成立,则根据实数的有序性 有a>b令E=a-b,则e为正数且a=b+E,这与假设 a<b+E矛盾从而必有a≤b
例2 设a,b R,证明:若对任何正数e有a < b e ,则a £ b. . . . , , . a b a b a b a b a b ， < £ > - 矛盾从而必有 有 令 则 为正数且 这与假设 用反证法 假若结论不成立 则根据实数的有序性 e e e e 证明