在[d,+￥)上一致收敛(其中d >0),但在(0,+￥)内不一致收敛证作变量代换u=Xy,得+￥ sin xy+ sinu(5)4""du,200xuy+ sinudu 收敛，故对任给的正数其中A>0, 由于ue ,总存在某一实数M,当 Ad> M 时就有+sinuedue后贡巡回前页
前页 后页 返回 在 但在 内 不一致收敛. 证 作变量代换 得 其中 由于 收敛, 故对任给的正数 总存在某一实数M , 当 时就有
M时,对"x3 d >0,由(5) 式取Ad >M,则当A>d+￥sinixy<e.OAty所以(4)在 x 3 d > 0 上 一致收,现证明(4) 在(0, 十?)内不一致收效. 由一致收敛定义的注2, 只要证明: 存在某一正数e0 ,使得对任何实数 M(>c),总相应地存在某个 A >M 及其个xI (0,+?),使得巡回后贡前页
前页 后页 返回 取 由 (5) 式 所以(4)在 上一致收敛. 现证明(4) 在 内不一致收敛. 由一致收敛定 义的注2, 只要证明: 存在某一正数 使得对任何 使得 实数 , 总相应地存在某个 及某个
α f(x, y)dy3 e :+? sinudu收敛(在本节例6中残们由于排正常积分 u将求出这个积分的值),故对" e,>0 与" M >0, 总$ x>0, 使得即后页巡回前页
前页 后页 返回 由于非正常积分 收敛 (在本节例6 中我们 将求出这个积分的值), 故对 总 使得 即
+? sinu+ sinu+?sinu-du+e. .(6)duQQxCuuU1+? sinudu,(5)及不等式(6)的在端就有现含e2u￥sin xysinu￥SSh"du>2e.-e.=eo.QQixuy所以(4)在(0,十?)内不一致收效,关于含参量反常积分一致收效性与函数项级数一致收敛之向的联系有下述定理定理19.8 含参量反常积分(1)在J 上一致收敛的充要后页巡回前页
前页 后页 返回 现令 由(5)及不等式(6)的左端就有 所以(4)在 内不一致收敛. 收敛之间的联系有下述定理. 关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致 定理19.8 含参量反常积分(1)在 上一致收敛的充要
条件是:对任一超于 + 的递增数列(A,}(其中A, c)，函数项级数?￥a ot" f(x,y)dy=a u,(x)(7)Nn=1n=1在 J 上一致收效,其中 u,(x)= O"* f(x,y)dy证 必要性由(1)在J 上一致收效,故" e >0,S M >C,使得当 A必>Ag> M时 对一切 xI J, 总有Ad(8)Qe f(x, y)dy<e.后贡巡回前页
前页 后页 返回 条件是: 对任一趋于 的递增数列 证 必要性 由(1)在 上一致收敛, 故 使得当 对一切 总有 函数项级数 在 上一致收敛, 其中