*s7 n重积分由于三维以上的空间中区域的体积没有直观的几何意义，因此本节先定义n维长方体的体积，再定义n维区域的体积，最后建立起n重积分的理论与计算方法。一、n重积分的物理背景二、 n重积分的定义三、n重积分的计算巡回后页前页
前页 后页 返回 *§7 n 重 积 分 由于三维以上的空间中区域的体积没有 直观的几何意义, 因此本节先定义 n维长方 体的体积, 再定义 n维区域的体积, 最后建 立起 n重积分的理论与计算方法. 一、n 重积分的物理背景 二、 n 重积分的定义 三、 n 重积分的计算 返回
一、n重积分的物理背景设物体V中点生标为(Xi,,), V 中点生标为(X2,J2,z2),它们的密度函数分别为 r,(X1,J1,z) 与r 2(X2,2,2),且它们之向的引) 力系数为1. 下面用元法求它们之向的引力.为此,在V 中取质量微元 r,dx,dy,dz1,在 V,中取质量微元 r ,dx,dy,dz2,由万有引力定律知道,V的微元对 V,的微元的引力在x轴上的投影为回前页后页
前页 后页 返回 一 、n 重积分的物理背景 设物体 中点坐标为 中点坐标为 , 且它们之间的引力系数为1. 下面用 微元法求它们之间的引力. 为此, 在 中取质量微 万有引力定律知道, 的微元对 的微元的引力 在 x 轴上的投影为 它们的密度函数分别为 与 元 在 中取质量微元 由
dF, ="r",(x - x,)dx,dy,dz,dx,dy,dz,r3其中 r =/(x, - x2)~ +(y, - y2) +(z1 - z2).于是 V与 向的引力在X轴上投影的值为mm(xJp)r,(,z,,)x -)dxdy,d,dx,dyd2,F,=0000r3V这个6 重积分是在由 (X1,J1,31,X2,J2,z2)构成的六维区域 V =V'V, 上的积 分. 引 力在y 轴和 z轴上的投影也是类似的积分.这就是n重积分的应用背景后页邀回前页
前页 后页 返回 其中 .于是 与 间的引力在x轴上投影的值为 这个6重积分是在由 构成的六维 区域 上的积分. 引力在y轴和z 轴上的投 影也是类似的积分.这就是 n重积分的应用背景
二、n重积分的定义先定义n维区域的体积1.最简单的n维区域是n维长方体V=[a,,b,]'[az,b,]' L "[an,b,l,规定 V 的体积 为 (b, - a,)(b, - a,)L (b, - an),2.仿照可求面积概念那样建立n维区域G的可求体积概念.用发差G的有限个n维长方体体积之和的下确界定义为G的外体积,用G所包含的没有么共内点的有限个n维长方体体积之和的上确界定义后贡巡回前页
前页 后页 返回 二、n重积分的定义 先定义 n 维区域的体积. 1.最简单的 n 维区域是 n 维长方体 规定 的体积为 2. 仿照可求面积概念那样建立n维区域 的可求体 积概念. 用覆盖 的有限个n维长方体体积之和的 内点的有限个 n 维长方体体积之和的上确界定义 下确界定义为 的外体积, 用 所包含的没有公共
为G的内体积,外体积与内体积相等的区域称为可求体积的可以证明n维单纯形x, 3 0,x, 3 0,L ,x, 3 0, x, +x, +L +x, f h和 n维球体x+x2+L +x, + R的是可求体积的3.设n元函数f(xi,x,Lx)定义在n维可求体积的区域V上.照例通过对V的分割、近似求和、取后贡滋回前页
前页 后页 返回 为 的内体积, 外体积与内体积相等的区域称为可 求体积的. 可以证明 n 维单纯形 和 n 维球体 的是可求体积的. 3. 设n元函数 定义在n 维可求体积 的区域 上.照例通过对 的分割、近似求和、取