$6重积分的应用应用重积分可求立体的体积及空问物体的质量，还可求曲面的面积、立体的重心、转动惯量和物体之间的引力等。曲面的面积{重心三.转动惯量引力四岚回后页前页
前页 后页 返回 §6 重积分的应用 应用重积分可求立体的体积及空间物 体的质量, 还可求曲面的面积、立体的重 心、转动惯量和物体之间的引力等. 一． 曲面的面积 二． 重心 三． 转动惯量 四． 引力 返回
一、曲面的面积设D为可求面积的平面有界区域，f(X,J)在D上具有连续的一阶偏导数，现讨论由方程z = f(x,y),(x,y)I D所表示的曲面 S的面积(1)对区域D作分割 T,把D 分成 n 个小 区域 S i(i=1,2,L ,n).这个分割相应地将曲面S也分成n 个小曲面许 S,(i =1,2,L ,n)(2)在每个S,上任取一点Mi,作曲面在这一点的切后贡回前页
前页 后页 返回 一、曲面的面积 设D 为可求面积的平面有界区域, 在 D 上 具有连续的一阶偏导数，现讨论由方程 所表示的曲面 S 的面积. (1) 对区域 D 作分割 T，把 D 分成 n 个小区域 . 这个分割相应地将曲面S 也分成 n 个 小曲面片 (2) 在每个 上任取一点 , 作曲面在这一点的切
平面Pi, 并在 P;上取出一小 块 A,使得 A, 与 S, 在xy平面上的投影都是 s ,(见图 21-38). 在点 M,附近用切平面 A,代替小1zS: z=f(x,J)曲面片 S, 从而当 TM,E充分小时,有S.nn0DS =a DS, a DA,rDi=-1i-1这里 DS, DS, DA,分别图21-38后页巡回前页
前页 后页 返回 近用切平面 代替小 曲面片 从而当 充分小时, 有 平面 , 并在 上取出一小块 , 使得 与 在 这里 分别 平面上的投影都是 (见图 21-38). 在点 附
表示 S,S,,A,的面积n(3) 当[T|? 0 时, 定义和式a DA;的极限(若存在)i-1作为S的面积现在按照上述曲面面积的概念，来建立曲面面积的计算公式为此首先计算 A, 的面积. 由于切平面元;的法向量就是曲面 S 在点 M,(x,h,V)处的法向量 n, 记它与 z轴的夹角为g;，则巡回前页后贡
前页 后页 返回 (3) 当 时, 定义和式 的极限(若存在) 现在按照上述曲面面积的概念, 来建立曲面面积的 计算公式. 为此首先计算 的面积. 由于切平面 的法向量就 是曲面S 在点 处的法向量 n, 记它与 z 作为 的面积. 表示 的面积. 轴的夹角为 则
1I cos(n,z) / = | cosg; /=1+ f'(x,h,)+ f,(x,h,)因为A,在xy平面上的投影为s，，所以D+=1+f(x,h,)+f(x,h,) Ds ,DA;cosg注意到和数na DA, =a/1+ f°(x,h,)+ f,(x,h,)Ds i-1i-1是连续函数 /1+F:(x,J)+ f;(x,J) 在有界闭域D岚回后贡前页
前页 后页 返回 注意到和数 是连续函数 在有界闭域D