S2直角坐标系下二重积分的计算二重积分计算的要点是把它化为定积分这里有多种方法，其中最常用的是在直角坐标系下化为累次积分。一、在矩形区域上二重积分的计算二、在X型或V型区域上二重积分的计算三、在一般区域上二重积分的计算前页后页返回
前页 后页 返回 §2 直角坐标系下二重 积分的计算 二重积分计算的要点是把它化为定积分. 这里有多种方法, 其中最常用的是在直角坐 标系下化为累次积分. 一、在矩形区域上二重积分的计算 二、在 x 型或 y 型区域上二重积分 的计算 三、在一般区域上二重积分的计算 返回
一、在矩形区域上二重积分的计算定理21.8 设 f(x,y) 在矩形区域 D=[a,b]×[c,d]上可积,且对每个xe[a,b],积分["f(x,J)dy存在,则累次积分['dxf" f(x, y)dy= J'(J° f(x, y)dy))dx0也存在，且[J f(x, y)do = f' dxf" f(x, y)dy.(1)D后页返回前页
前页 后页 返回 一 、在矩形区域上二重积分的计算 定理21.8 设 f x y ( , ) 在矩形区域 D a b c d = [ , ] [ , ] x a b [ , ], ( , )d d c f x y y 上可积 , 且对每个 积分 存在, 则累次积分 ( ) d ( , )d ( , )d d b d b d a c a c x f x y y f x y y x = 也存在, 且 ( , )d d ( , )d . (1) b d a c D f x y x f x y y =
证令 F(x)=["f(x,J)dy，定理要求证明 F(x) 在[a,b]上可积，且积分的结果恰为二重积分.为此对区间[a,b]与[c,d]分别作分割ya =xo<x,<...<x, =b,dc= yo <yi<...< y, = d.ykAkiYk-1按这些分点作两组直线1C!：x = x, (i = 1,2,..,r -1)0a x.15,x,bxy = yk (k =1,2,."",s -1)图 21-4后页返回前页
前页 后页 返回 ( ) ( , )d , d c F x f x y y = 证 令 定理要求证明 F x( ) 在 [ , ] a b 上可积, 且积分的结果恰为二重积分. 为此, 对区间 [ , ] a b 与 [ , ] c d 分别作分割 0 1 , r a x x x b = = 0 1 . s c y y y d = = 按这些分点作两组直线 ( 1,2, , 1), i x x i r = = − ( 1,2, , 1), k y y k s = = − 图 21 4 − O y x c d a xi−1 b i xi k y k−1 y ik
把矩形D分为 rs 个小矩形(图21-4).记 △;为小矩形[x,-1, x,]x[yk-1, yr](i = 1, 2,..-,r; k =1,2,..-,s).设f(x,J)在 △i上的上确界和下确界分别为M,和mi·在区间[x;-1，x;]中任取一点5;，于是就有不等式miAys≤ [, f(i, y)dy<MiAyk,Jyk-1其中 Ay, = yk- Jk-1·因此ZmxAyx≤F(5)= f" f(5i, )dy≤ZMxAyk,k=1k=1后页返回前页
前页 后页 返回 把矩形 D 分为 rs 个小矩形(图21-4). 记 ik 为小矩 1 1 [ , ] [ , ] ( 1, i i k k x x y y i 形 − − = 2, , ; 1,2, , ). r k s = f x y ( , ) 设 在 ik 上的上确界和下确界分别为 Mik 和 mik 1 [ , ] i i x x − , i . 在区间 中任取一点 于是就有不等 式 1 ( , )d , k k y ik k i ik k y m y f y y M y − 其中 1 . k k k y y y = − − 因此 1 1 ( ) ( , )d , s s d ik k i i ik k c k k m y F f y y M y = = =
22maAV/Ax, ≤≥F(5,)Ax, ≤22mMikAykAx,, (2)i=1 k-1i=1i=1 k=l其中 Ax,=x, -xi-1.记△,的对角线长度为di，于是IIT I= maxdik .i,k由于二重积分存在,由定理21.4,当T Ⅱ→0 时，使ZmikAysAxr;和MiAyiAx;有相同的极限,且极限i,ki,k值等于[{门f(x,)do.因此当TI→0 时,由不等式D(2)可得:后页返回前页
前页 后页 返回 1 1 1 1 1 ( ) , (2) r s r r s ik k i i i ik k i i k i i k m y x F x M y x = = = = = 1 . i i i x x x = − − ik ik 其中 记 的对角线长度为 d ,于是 , || || max . ik i k T d = 由于二重积分存在, 由定理21.4, 当 || || 0 T → 时, 使 , ik k i i k m y x , ik k i i k 和 M y x 有相同的极限, 且极限 ( , )d . D f x y 值等于 因此当 || || 0 T → 时, 由不等式 (2)可得: