＊S8 反常二重积分与反常定积分相同，二重积分亦有推广到积分区域是无界的和被积函数是无界的两种情形，统称为反常二重积分。一、无界区域上的二重积分二、无界函数的二重积分邀回后页前页
前页 后页 返回 *§8 反常二重积分 与反常定积分相同, 二重积分亦有推广 到积分区域是无界的和被积函数是无界的 两种情形, 统称为反常二重积分. 一、无界区域上的二重积分 二、无界函数的二重积分 返回
一、无界区域上的二重积分定义1 设f(X,J)为定义在无界区域D上的二元函数.若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线g,f(x,J)在曲线 g 所图的有界区域 E。 与 D 的文集y个E, I D = D, (图21-42)DgEyD上二重可积.今0xd,=min (r+y(x,)ig)图21-42若存在有限极限：巡回前页后贡
前页 后页 返回 一、无界区域上的二重积分 定义1 设 为定义在无界区域 D上的二元函 数. 若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线 在曲线 所围的有界区域 与 D 的交集 (图21-42) 上二重可积.令 若存在有限极限:
lim of(x,y)ds ,d,?YD且与 g 的取法无关,则称 f(x,J) 在D 上的反常二重积分收敛，并记(1)of(x,y)ds = lim of(x,y)ds ;d,??DDg否则称 f(x,J) 在 D 上的反常二重积分发散,或简称 f(x,y)ds发散D定理21.16 设在无界区域D 上 f(x,J)3 0,g1g2,L 后页滋回前页
前页 后页 返回 且与 的取法无关, 则称 在D 上的反常二 重积分收敛, 并记 否则称 在 D 上的反常二重积分发散, 或简 称 发散. 定理21.16 设在无界区域 D 上
gn,L为一列包围原点的光滑封闭曲线序列,满足(i)d, =inf (/*+y(x, )i g, ? +(n? ?);(ii) I = sup f(x,y)ds < +,D.其中 D, =E, I D, E,为g,所国的有界区域.这时反常二重积分(1)必定收效,并且of(x,y)ds = I.D证设gl为任何包图原点的光滑封闭曲线,它所图成后页巡回前页
前页 后页 返回 为一列包围原点的光滑封闭曲线序列,满足 其中 为 所围的有界区域.这时反 常二重积分 (1) 必定收敛, 并且 证 设 为任何包围原点的光滑封闭曲线,它所围成
的区域记为Ed 并记 Dc=E虹 D.因为limd,=+,R?因此存在 n,使得 Ddi D, i D. 由于 f(x,J)3 0, 所以有f(x,y)ds fof(x,y)ds f I.DeDn另一方面，因为I = sup f(x, y)ds,Dn故对任给的e >0, 总有 n,使得滋回前页后页
前页 后页 返回 的区域记为 并记 .因为 因此存在 n,使得 由于 所 以有 另一方面，因为 故对任给的 总有 使得