*S9重积分变量变换公式的证明本节将给出在x=x(u,v),=y(u,)具有一阶连续偏导数的条件下，重积分变量变换公式（定理21.13）的一般证明后页邀回前页
前页 后页 返回 本节将给出在 具有 一阶连续偏导数的条件下, 重积分变量 变换公式(定理21.13)的一般证明. §9 重积分变量变换公式的证明 返回
证明重积分变量变换公式的的关键是下面的引理引理设变换T:x, =j,(x,,x, (i=1,2)将x,x,平面上由按段光滑封闭曲线所围的有界闭域D一对一地变换成xx,平面上的闭域 D.又设i;(x,x,)(i=1,2)在 D 上具有一阶连续偏导数,并且J(xgx,9 - 102) 0, (xgx,91 De1(x,g,x,9)若 D 为 D内边长为 h 的任一正方形，D=T(Dg)返回前页后页
前页 后页 返回 在 上具有一阶连续偏导数,并且 若 为 内边长为 h 的任一正方形， 证明重积分变量变换公式的的关键是下面的引理. 引理 设变换 将 平面 上由按段光滑封闭曲线所围的有界闭域 一对一 地变换成 平面上的闭域 D . 又设
那么成立关系式m(D) =I J(x,g,x,9) / m(Dg + O(h"w(h)(1)(1O(h*w(h) |f C | h*w(h) ),其中(x,x,9为D的某一顶点,C为与 h及 D在D中的位置无关的常数，m(D)与 m(D9 分别表示区域 D与 D的面积w(h) = sup w,(h),i,j-1,2W,;(h) 是;(x,,x,9在 D上的连续模，即后贡巡回前页
前页 后页 返回 那么成立关系式 的位置无关的常数， 与 分别表示区域 与 的面积, 是 在 上的连续模, 即 其中 为 的某一顶点,C 为与 h及 在 中
29-j;(x-i ;(x)w;(h) = supitx?lyx,xD这里上确界是对所有(x,x,),(x,,x,IDs满足条件 /(x,- x,两)? +(x,2- x,的?<h 而取的.证不妨设正方形 D=[x,,x,+h]"[x,,x,+h],四个顶点: Pdx,gx,9), A以xe+ h,x,9, Cdx,+h,x,&+h)与 A,(x,,x,+ h)(图21-44). 于是 D=T(Dg是 D内的曲边四边形 PA,CA,(图21-45),且是一个闭域后贡巡回前页
前页 后页 返回 这里上确界是对所有 满足条 顶点: 而取的. 证 不妨设正方形 四个 (图21-44). 于是 是 D 内的曲边四边形 (图21-45), 且是一个闭域
其中(P,A,C,A,)=T(P A,,C A,),D 的边界 G则映为 D 的边界 G 设点 P的坐标为(x,x,)xSX21As,A2CsAsCeDDeDCPeAgA50Axs七0图21-45图21- 44对D内任一点 Q4xx,9,记 Q(xj,x,)=T(Q9.由于i;(x,§,x,9(i=1,2)在 D上连续可微,故由多元函数后页巡回前页
前页 后页 返回 对 内任一点 记 由于 其中 的边界 则映为 的边界 设点 的坐标为 在 上连续可微, 故由多元函数