过程控制与自动化仪表 代入原始微分方程的增量形式 d(△NM) △G1-△G (2-47) 并进行拉普拉斯变换,可得到如下形式的传递函数关系 K Kv(s) Kv2(s) P(s) (2-48) Ts+l 式中,各系数在此不一一列出了。 【例2.4】夹套式换热器。 如图219为夹套式换热器,加热介质在混合釜的外层夹套内流过,以加热釜内液体。 AT, CAi F.T. CA 图219夹套式换热器 为建立夹套换热器的动态模型,假设如下。 (1)夹套内层很薄,忽略加热介质和夹套壁的动态过程。 (2)搅拌器充分搅拌,流体处于完全混合状态,内外温度均匀。 (3)各热容物性参数不变。 (4)热损失不计 根据能量平衡建模,系统内热量变化率=单位时间进入系统热量一单位时间离开系统热 量,对釜内物料作热衡算,有 VP Cpi dt = fiplcpili-T1o)+KA(2o-Tio) (2-49) 对夹套内物料作热衡算,有 bpc. dz: F2P2Cn2(T21-120)-KA4( 式中,F为体积流量;p为密度;Cn为比热容;T为热力学温度;K为传热系数;A为传 热面积 下标1表示釜内液体,下标2表示夹套内加热介p2质;i表示进口,o表示出口。 对式(2-49)及式(2-50线性化,并省略增量符号“Δ” PCpIK-=FPCpIT i+PCpI(Tui-tlo)F-(g, Pcpl+KA)To +KAT2c (2-51) P 2PCP22+p2Cn2(T2-720)F2-(Q2P2C 7(2-52) 式中,字母上方加“一”号表示稳态值。对式(2-52)进行拉普拉斯变换并整理,可得传递函数
·26· 过程控制与自动化仪表 ·26· 代入原始微分方程的增量形式 i o d( ) d NM G G t ∆ = ∆ −∆ (2-47) 并进行拉普拉斯变换，可得到如下形式的传递函数关系： o1 o2 f1 f 2 V1 V2 1 2 o o oo () () () () () 1 1 11 K K K K ps K s K s Ps P s Ts Ts Ts Ts = + ++ + + ++ (2-48) 式中，各系数在此不一一列出了。 【例 2.4】 夹套式换热器。 如图 2.19 为夹套式换热器，加热介质在混合釜的外层夹套内流过，以加热釜内液体。 图 2.19 夹套式换热器 为建立夹套换热器的动态模型，假设如下。 (1) 夹套内层很薄，忽略加热介质和夹套壁的动态过程。 (2) 搅拌器充分搅拌，流体处于完全混合状态，内外温度均匀。 (3) 各热容物性参数不变。 (4) 热损失不计。 根据能量平衡建模，系统内热量变化率=单位时间进入系统热量－单位时间离开系统热 量，对釜内物料作热衡算，有 1o 11 1 1 1 1 1i 1o 2o 1o d ( )( ) d P P T V C F C T T KA T T t ρ = −+ − ρ (2-49) 对夹套内物料作热衡算，有 2o 2 22 2 2 2 2i 2o 2o 1o d ( )( ) d p p T V C F C T T KA T T t ρ ρ = −− − (2-50) 式中，F 为体积流量； ρ 为密度；Cp 为比热容；T 为热力学温度；K 为传热系数；A 为传 热面积。 下标 1 表示釜内液体，下标 2 表示夹套内加热介 p2 质；i 表示进口，o 表示出口。 对式(2-49)及式(2-50)线性化，并省略增量符号“ ∆ ” 1o 1 1 1 1i 1 1 1 1o 2o 1 1i 1o 1 11 1 1 d ( )( ) d p pp p T C V F C T C T T F Q C KA T KAT t ρ = + −− + + ρρ ρ (2-51) 2o 2 2 2 2i 2 2 2 2 2 2o 1o 2 2 2i 2o 2 2 d ( )( ) d p pp p T C V F C T C T T F Q C KA T KAT t ρ ρρ ρ = + −− + + (2-52) 式中，字母上方加“－”号表示稳态值。对式(2-52)进行拉普拉斯变换并整理，可得传递函数
第2章简单控制系统 【例2.5】管式换热器的数学模型 管式换热器如图220所示。流经内管的液体,被管外逆向流动的蒸汽加热。被加热的 液体温度不仅随时间变化,而且沿z轴方向变化,即由入口的T变化为出口的T2。假定沿 管的径向无温度变化,则温度有两个自变量t和z,即7(1,z),并有7(t,0)=71, 7(,L=T2,其中L为管长度。 T2+△ 图220管式换热器 考虑在时间dr和微元d间建立能量平衡方程,设内管截面积为A;管内液体的平均速 度为v(常数):D为内管的外径:蒸汽与管内液体间的总传热系数为K:蒸汽的饱和温度为 Ts;p为液体密度,Cp为液体比热容。 在d时间内液体流入微元d的热量为 PCp AvTdi; 在山时间内液体流出微元止的热量为xC,(r+可 在d时间内在d部分蓄积的热量为 pCpAd=-dr 蒸汽在d时间内传给d液体的热量为DdK(7-T)dr。 因此,在dt时间内在d微元中建立的能量平衡式为 T PCpAd: dr= pCpAvTdt-PCpAvI T+d- Dd=k(Ts-r)dt 即有 at DK(T。-7) 式中,T为t和z的函数,即T(t,z)。边界条件为 =0,7t,0=7i(1);=L,7(t,L)=T2() 式(2-54)是管式换热器内被加热液体沿管长的温度状态方程。可知它是偏微分方程,故管式 换热器的模型是分布参数模型 3.测试法建模 测试法建模通常只用于建立输入/输岀模型。它是根据工业过程的输入/输出的实测数 据进行某种数学处理后得到的模型。它的主要特点是把被研究的工业过程视为一个黑匣 子,完全从外特性上测试和描述它的动态性质。由于系统内部运动不得而知,称之为“黑 箱模型 过程的动态特性只有当它处于动态时才会表现出来,在稳态时是表现不出来的。因此 为了获得动态特性,必须使被硏究的过程处于被激励的状态,例如施加一个阶跃扰动或脉
第 2 章 简单控制系统 ·27· ·27· 【例 2.5】 管式换热器的数学模型。 管式换热器如图 2.20 所示。流经内管的液体，被管外逆向流动的蒸汽加热。被加热的 液体温度不仅随时间变化，而且沿 z 轴方向变化，即由入口的 T1 变化为出口的 T2。假定沿 管的径向无温度变化，则温度有两个自变量 t 和 z，即 T(t，z)，并有 T(t，0)=T1， T(t，L)=T2，其中 L 为管长度。 图 2.20 管式换热器 考虑在时间 dt 和微元 dz 间建立能量平衡方程，设内管截面积为 A；管内液体的平均速 度为 v(常数)；D 为内管的外径；蒸汽与管内液体间的总传热系数为 K；蒸汽的饱和温度为 Ts；ρ 为液体密度，Cp 为液体比热容。 在 dt 时间内液体流入微元 dz 的热量为 pC AvT t p d ； 在 dt 时间内液体流出微元 dz 的热量为 p d d T pC Av T z t z ⎛ ⎞ ∂ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ； 在 dt 时间内在 dz 部分蓄积的热量为 p d d T pC A z t t ∂ ∂ ； 蒸汽在 dt 时间内传给 dz 液体的热量为 π − Dd ( )d zK T T t s 。 因此，在 dt 时间内在 dz 微元中建立的能量平衡式为 p d d d d d d ( )d p p s T T pC A z t pC AvT t pC Av T z t D zK T T t t z ∂ ∂ ⎛ ⎞ = − + +π − ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ (2-53) 即有 s p p ( ) T T pC A pC Av DK T T t z ∂ ∂ + =π − ∂ ∂ (2-54) 式中，T 为 t 和 z 的函数，即 T(t，z)。边界条件为 z=0，T(t，0)=T1(t)；z=L，T(t，L)=T2(t) (2-55) 式(2-54)是管式换热器内被加热液体沿管长的温度状态方程。可知它是偏微分方程，故管式 换热器的模型是分布参数模型。 3. 测试法建模 测试法建模通常只用于建立输入/输出模型。它是根据工业过程的输入/输出的实测数 据进行某种数学处理后得到的模型。它的主要特点是把被研究的工业过程视为一个黑匣 子，完全从外特性上测试和描述它的动态性质。由于系统内部运动不得而知，称之为“黑 箱模型”。 过程的动态特性只有当它处于动态时才会表现出来，在稳态时是表现不出来的。因此 为了获得动态特性，必须使被研究的过程处于被激励的状态，例如施加一个阶跃扰动或脉
28· 过程控制与自动化仪表 冲扰动等 用测试法建模一般需预先设计好测试方案,尤其是对于那些复杂的工业过程更为重要。 工程上一般都采用测试法建模。但是要在生产过程现场施加某种激励信号,这往往不受生 产部门欢迎,得到的结果也无法类推到设备尺寸和型号不同的情况 测试法建模又可分为经典辨识法和现代辨识法两大类。这里主要介绍几种在过程控制 中用得较多的经典辨识方法。 经典辨识法包括时域法、频域法和相关分析法。采用经典辨识法,直接获得的是非 参数模型,一般是时间或频率为自变量的实验曲线或数据集。用阶跃函数、脉冲函数、 正弦波函数或是随机函数作用于过程,直接得到的是阶跃响应、脉冲响应、频率特性 相关函数或谱密度,它们都是图形或数据集。对本类方法的对象,只需做出线性假定 并不需要事先确定模型的具体结构,因而本类方法适用范围广,在工程上获得了广泛 应用。 对非参数模型,可以直接作为辨识结果,例如将在动态矩阵控制(DMC)和模型算法控 制(MAC)中,就用阶跃响应或脉冲响应作为对象模型:有时还需要将图形或数据集转化为 传递函数或其他形式的参数模型。下面主要介绍在工业生产上广泛应用的阶跃响应法,它 一种时域法。 1)阶跃响应的获取 通过手动操作使过程工作在所需测试的稳态条件下,稳定运行一段时间后,快速改变 过程的输入量,并用记录仪或数据采集系统同时记录过程输入输出的变化曲线。经过一段 时间后,过程进入新的稳态,本次实验结束,得到的记录曲线就是过程的阶跃响应。 测取阶跃响应的原理很简单,但在实际工业过程中进行这种测试会遇到许多实际问题 例如不能因测试使正常生产受到严重扰动,还要尽量设法减少其他随机扰动的影响以及系 统中非线性因素的考虑等。为了得到可靠的测试结果,应注意以下事项。 (1)合理选择阶跃扰动信号的幅度。过小的阶跃扰动幅度不能保证测试结果的可靠性, 而过大的阶跃扰动幅度则会使正常生产受到严重扰动甚至危及生产安全,一般取正常输入 值的5%~15% (2)试验开始前确保被控对象处于某一选定的稳定工况。试验期间应设法避免发生偶 然性的其他扰动 (3)考虑到实际被控对象的非线性,应选取不同负荷,在被控制变量的不同设定值下, 进行多次测试。即使在同一负荷和被控制变量的同一设定值下,也要在正向和反向扰动下 重复测试,以求全面掌握对象的动态特性。 (4)实验结束,获得测试数据后,应进行数据处理,剔除明显不合理部分。 为了能够施加比较大的扰动幅度而又不至于严重扰动正常生产,可以用矩形脉冲输入 代替通常的阶跃输入,即大幅度的阶跃扰动施加一小段时间后立即将它切除。这样得到的 矩形脉冲响应当然不同于正规的阶跃响应,但两者之间有密切关系,可以从中求出所需的 阶跃响应,如图2.21所示。 28
·28· 过程控制与自动化仪表 ·28· 冲扰动等。 用测试法建模一般需预先设计好测试方案，尤其是对于那些复杂的工业过程更为重要。 工程上一般都采用测试法建模。但是要在生产过程现场施加某种激励信号，这往往不受生 产部门欢迎，得到的结果也无法类推到设备尺寸和型号不同的情况。 测试法建模又可分为经典辨识法和现代辨识法两大类。这里主要介绍几种在过程控制 中用得较多的经典辨识方法。 经典辨识法包括时域法、频域法和相关分析法。采用经典辨识法，直接获得的是非 参数模型，一般是时间或频率为自变量的实验曲线或数据集。用阶跃函数、脉冲函数、 正弦波函数或是随机函数作用于过程，直接得到的是阶跃响应、脉冲响应、频率特性、 相关函数或谱密度，它们都是图形或数据集。对本类方法的对象，只需做出线性假定， 并不需要事先确定模型的具体结构，因而本类方法适用范围广，在工程上获得了广泛 应用。 对非参数模型，可以直接作为辨识结果，例如将在动态矩阵控制 (DMC)和模型算法控 制(MAC)中，就用阶跃响应或脉冲响应作为对象模型；有时还需要将图形或数据集转化为 传递函数或其他形式的参数模型。下面主要介绍在工业生产上广泛应用的阶跃响应法，它 是一种时域法。 1) 阶跃响应的获取 通过手动操作使过程工作在所需测试的稳态条件下，稳定运行一段时间后，快速改变 过程的输入量，并用记录仪或数据采集系统同时记录过程输入/输出的变化曲线。经过一段 时间后，过程进入新的稳态，本次实验结束，得到的记录曲线就是过程的阶跃响应。 测取阶跃响应的原理很简单，但在实际工业过程中进行这种测试会遇到许多实际问题， 例如不能因测试使正常生产受到严重扰动，还要尽量设法减少其他随机扰动的影响以及系 统中非线性因素的考虑等。为了得到可靠的测试结果，应注意以下事项。 (1) 合理选择阶跃扰动信号的幅度。过小的阶跃扰动幅度不能保证测试结果的可靠性， 而过大的阶跃扰动幅度则会使正常生产受到严重扰动甚至危及生产安全，一般取正常输入 值的 5%～15%。 (2) 试验开始前确保被控对象处于某一选定的稳定工况。试验期间应设法避免发生偶 然性的其他扰动。 (3) 考虑到实际被控对象的非线性，应选取不同负荷，在被控制变量的不同设定值下， 进行多次测试。即使在同一负荷和被控制变量的同一设定值下，也要在正向和反向扰动下 重复测试，以求全面掌握对象的动态特性。 (4) 实验结束，获得测试数据后，应进行数据处理，剔除明显不合理部分。 为了能够施加比较大的扰动幅度而又不至于严重扰动正常生产，可以用矩形脉冲输入 代替通常的阶跃输入，即大幅度的阶跃扰动施加一小段时间后立即将它切除。这样得到的 矩形脉冲响应当然不同于正规的阶跃响应，但两者之间有密切关系，可以从中求出所需的 阶跃响应，如图 2.21 所示
第2章简单控制系统 n) 图221由矩形脉冲响应确定阶跃响应 在图221中,矩形脉冲输入可视为两个阶跃输入的叠加,它们的幅度相等但方向相反 且开始作用的时间不同,因此 l()=a1(t)u1(t-M) (2-56) 假定对象无明显非线性,则矩形脉冲响应就是两个阶跃响应之和,即 yF=y1(D)y1(-△n) 所求的阶跃响应即为 OyO+y(-Ar 根据式(2-58)可以用逐段递推的作图方法得到阶跃响应y() 2)由阶跃响应确定近似传递函数 根据测定到的阶跃响应,可以把它拟合成近似的传递函数。为此,文献中提出的方法 很多,它们所采用的传递函数在形式上也是各式各样的。 用测试法建立被控对象的数学模型,首要的问题就是选定模型的结构。典型的工业过 程的传递函数可以取为各种形式,例如: (1)一阶惯性加纯滞后 (2)二阶或n阶惯性加纯滞后: K (2-60) (Ts+1)(2s+1) (2-61) (3)用有理分式表示的传递函数 G(s)
第 2 章 简单控制系统 ·29· ·29· 图 2.21 由矩形脉冲响应确定阶跃响应 在图 2.21 中，矩形脉冲输入可视为两个阶跃输入的叠加，它们的幅度相等但方向相反 且开始作用的时间不同，因此 u(t)=u1(t)-u1 ( ) t t -∆ (2-56) 假定对象无明显非线性，则矩形脉冲响应就是两个阶跃响应之和，即 y(t)= 1 y (t)- 1 y ( ) t t -∆ (2-57) 所求的阶跃响应即为 yl(t)=y(t)+ 1 y ( ) t t -∆ (2-58) 根据式(2-58)可以用逐段递推的作图方法得到阶跃响应 1 y t( ) 。 2) 由阶跃响应确定近似传递函数 根据测定到的阶跃响应，可以把它拟合成近似的传递函数。为此，文献中提出的方法 很多，它们所采用的传递函数在形式上也是各式各样的。 用测试法建立被控对象的数学模型，首要的问题就是选定模型的结构。典型的工业过 程的传递函数可以取为各种形式，例如： (1) 一阶惯性加纯滞后： e ( ) 1 s K G s Ts −τ = + (2-59) (2) 二阶或 n 阶惯性加纯滞后： 1 2 e ( ) ( 1)( 1) s K G s Ts Ts −τ = + + (2-60) e ( ) ( 1) s n K G s Ts −τ = + (2-61) (3) 用有理分式表示的传递函数： 1 0 1 0 ... () e ... m m s n n b s bs b G s as as a ++ + −τ = ++ + (2-62)
过程控制与自动化仪表 需注意的是,对于非自衡过程,其传递函数应含有一个积分环节,传递函数可取为 G(s) (2-63) 传递函数形式的选用决定如下。 (1)关于被控对象的验前知识。 (2)建立数学模型的目的,从中可以对模型的准确性提出合理要求。 确定了传递函数的形式以后,下一步的问题就是如何确定其中的各个参数使之能拟合 测试出的阶跃响应。各种不同形式的传递函数中所包含的参数数目不同。一般说,参数越 多,就可以拟合得更完美,但计算工作量也越大。考虑到传递函数的可靠性受到其原始资 料即阶跃响应的可靠性的限制,而后者一般是难以测试准确的,因此没有必要过分追求拟 合的完美程度。 3)下面给出几个确定传递函数的参数的方法 (1)确定一阶惯性加纯滞后中参数K,T和τ的作图法。 如果阶跃响应是一条如图2.22所示的S形的单调曲线,就可以用式(2-59)去拟合。设 阶跃输入为q,输出响应为y(),新稳态值为y(∞),注意此处变量均为相对于原稳态值的 增量。增益K可由输入输出的稳态值直接算出 y(∞) 图222用图法确定参数TT 而T和τ则可以用作图法确定。为此,在曲线的拐点P作切线,它与时间轴交于A点 与曲线的稳态渐近线交于B点,这样就确定了T和τ的数值 显然,这种作图法的拟合程度一般是很差的。首先,与式(2-59)所对应的阶跃响应是一 条向后平移了τ时刻的指数曲线,它不可能完美地拟合一条S形曲线。其次,在作图中, 切线的画法也有较大的随意性,这直接关系到T和τ的取值。然而,作图法十分简单,而 且实践证明它可以成功地应用于PID控制器的参数整定。它是 J G. Ziegler和 N B. Nichols 早在1942年提出的,至今仍然得到广泛的应用 2)确定式(2-59)中参数K,T和τ的两点法。所谓两点法就是利用阶跃响应y(1)上两个 点的数据去计算t和τ。增益K仍按输入输出的稳态值计算,同前 为便于处理,首先需要把y(n转换成它的量纲一形式y‘(r),即 y() yo 30
·30· 过程控制与自动化仪表 ·30· 需注意的是，对于非自衡过程，其传递函数应含有一个积分环节，传递函数可取为 () e K s G s Ts −τ = ， () e ( 1) K s G s s Ts −τ = + (2-63) 传递函数形式的选用决定如下。 (1) 关于被控对象的验前知识。 (2) 建立数学模型的目的，从中可以对模型的准确性提出合理要求。 确定了传递函数的形式以后，下一步的问题就是如何确定其中的各个参数使之能拟合 测试出的阶跃响应。各种不同形式的传递函数中所包含的参数数目不同。一般说，参数越 多，就可以拟合得更完美，但计算工作量也越大。考虑到传递函数的可靠性受到其原始资 料即阶跃响应的可靠性的限制，而后者一般是难以测试准确的，因此没有必要过分追求拟 合的完美程度。 3) 下面给出几个确定传递函数的参数的方法 (1) 确定一阶惯性加纯滞后中参数 K，T 和 τ 的作图法。 如果阶跃响应是一条如图 2.22 所示的 S 形的单调曲线，就可以用式(2-59)去拟合。设 阶跃输入为 q，输出响应为 y(t)，新稳态值为 y( ∞ )，注意此处变量均为相对于原稳态值的 增量。增益 K 可由输入/输出的稳态值直接算出 y( ) K q ∞ = (2-64) 图 2.22 用图法确定参数 T,τ 而 T 和 τ 则可以用作图法确定。为此，在曲线的拐点 P 作切线，它与时间轴交于 A 点， 与曲线的稳态渐近线交于 B 点，这样就确定了 T 和 τ 的数值。 显然，这种作图法的拟合程度一般是很差的。首先，与式(2-59)所对应的阶跃响应是一 条向后平移了 τ 时刻的指数曲线，它不可能完美地拟合一条 S 形曲线。其次，在作图中， 切线的画法也有较大的随意性，这直接关系到 T 和 τ 的取值。然而，作图法十分简单，而 且实践证明它可以成功地应用于 PID 控制器的参数整定。它是 J.G.Ziegler 和 N.B.Nichols 早在 1942 年提出的，至今仍然得到广泛的应用。 (2) 确定式(2-59)中参数 K，T 和 τ 的两点法。所谓两点法就是利用阶跃响应 y(t)上两个 点的数据去计算 t 和 τ 。增益 K 仍按输入/输出的稳态值计算，同前。 为便于处理，首先需要把 y(t)转换成它的量纲一形式 y t( ) ∗ ，即 ( ) ( ) ( ) y t y t y ∗ = ∞ (2-65)