第2章简单控制系统 (7)操作人员的培训系统 对工业过程数学模型的要求随其用途不同而不同,总的说是简单且准确可靠。但这并 不意味着越准确越好。应根据实际应用情况提出适当的要求。在线性运用的数学模型还有 实时性的要求,它与准确性要求往往是矛盾的。 一般说,用于控制的数学模型由于控制回路具有一定的稳健性,所以不要求非常准 确。因为模型的误差可以视为扰动,而闭环控制在某种程度上具有自动消除扰动影响的 能力。 实际生产过程中的动态特性是非常复杂的。控制工程师在建立其数学模型时,不得不 突出主要因素,忽略次要因素,否则就得不到可用的模型,为此往往需要作很多近似处理 例如线性化、分布参数系统集总化和模型降阶处理等。在这方面有时很难得到工艺工程师 的理解。从工艺工程师的角度来看,有些近似处理简直是难以接受的,但它却能满足控制 的要求。 建立过程数学模型的基本方法有两个,即机理法和测试法。 2.机理法建模及举例 用机理法建模就是根据工业生产过程的机理,写出各种有关的平衡方程,如物质平衡 方程;能量平衡方程;动量平衡方程;相平衡方程以及反映流体流动、传热、传质、化学 反应等基本规律的运动方程;物性参数方程和某些设备的特性方程等,从中获得所需的数 学模型 用机理法建模物理概念清楚、准确,不但给出厂系统输入/输出变量之间的关系,也给 出了系统状态和输入输出之间的关系,使人们对系统有一个比较清晰的了解,故称为“白 箱模型”。机理法建模在工艺过程尚未建立时(如在设计阶段)也可进行,对尺寸不同的设 备也可类推 用机理法建模的首要条件是生产过程的机理必须已经为人们充分掌握,并且可以比较 确切地加以数学描述。用机理法建模时,有时也会出现模型中某些参数难以确定的情况 这时可以用实验数据或实测工业数据来确定这些参数。 机理法建模的一般步骤如下 l)根据建模对象和模型使用目的作出合理假设 任何一个数学模型都是有假设条件的,不可能完全精确地用数学公式把客观实际描述 出来。即使可能的话,结果也往往无法实际应用。在满足模型应用要求的前提下,结合对 建模对象的了解,把次要因素忽略掉。对同一个建模对象,由于模型的使用场合不同,对 模型的要求不同,假设条件可以不同,最终所得的模型也不相同。如对一加热炉系统建模, 若假设加热炉中每点温度一致则得到用微分方程描述的集中参数模型;若假设加热炉中每 点温度非均匀,则得到用偏微分方程描述的分布参数模型 2)根据过程内在机理建立数学模型 建模的主要依据是物料、能量和动量平衡关系式及化学反应动力学,一般形式是 系统内物料(或能量)蓄藏量的变化率=单位时间内进入系统的物料量(或能量)一单位 时间内系统流出的物料量(或能量)+单位时间内系统产生的物料量(或能量) 蓄藏量的变化率是变量对时间的导数,当系统处于稳态时,变化率为零
第 2 章 简单控制系统 ·21· ·21· (7) 操作人员的培训系统。 对工业过程数学模型的要求随其用途不同而不同，总的说是简单且准确可靠。但这并 不意味着越准确越好。应根据实际应用情况提出适当的要求。在线性运用的数学模型还有 实时性的要求，它与准确性要求往往是矛盾的。 一般说，用于控制的数学模型由于控制回路具有一定的稳健性，所以不要求非常准 确。因为模型的误差可以视为扰动，而闭环控制在某种程度上具有自动消除扰动影响的 能力。 实际生产过程中的动态特性是非常复杂的。控制工程师在建立其数学模型时，不得不 突出主要因素，忽略次要因素，否则就得不到可用的模型，为此往往需要作很多近似处理， 例如线性化、分布参数系统集总化和模型降阶处理等。在这方面有时很难得到工艺工程师 的理解。从工艺工程师的角度来看，有些近似处理简直是难以接受的，但它却能满足控制 的要求。 建立过程数学模型的基本方法有两个，即机理法和测试法。 2. 机理法建模及举例 用机理法建模就是根据工业生产过程的机理，写出各种有关的平衡方程，如物质平衡 方程；能量平衡方程；动量平衡方程；相平衡方程以及反映流体流动、传热、传质、化学 反应等基本规律的运动方程；物性参数方程和某些设备的特性方程等，从中获得所需的数 学模型。 用机理法建模物理概念清楚、准确，不但给出厂系统输入/输出变量之间的关系，也给 出了系统状态和输入/输出之间的关系，使人们对系统有一个比较清晰的了解，故称为“白 箱模型”。机理法建模在工艺过程尚未建立时(如在设计阶段)也可进行，对尺寸不同的设 备也可类推。 用机理法建模的首要条件是生产过程的机理必须已经为人们充分掌握，并且可以比较 确切地加以数学描述。用机理法建模时，有时也会出现模型中某些参数难以确定的情况， 这时可以用实验数据或实测工业数据来确定这些参数。 机理法建模的一般步骤如下。 1) 根据建模对象和模型使用目的作出合理假设 任何一个数学模型都是有假设条件的，不可能完全精确地用数学公式把客观实际描述 出来。即使可能的话，结果也往往无法实际应用。在满足模型应用要求的前提下，结合对 建模对象的了解，把次要因素忽略掉。对同一个建模对象，由于模型的使用场合不同，对 模型的要求不同，假设条件可以不同，最终所得的模型也不相同。如对一加热炉系统建模， 若假设加热炉中每点温度一致则得到用微分方程描述的集中参数模型；若假设加热炉中每 点温度非均匀，则得到用偏微分方程描述的分布参数模型。 2) 根据过程内在机理建立数学模型 建模的主要依据是物料、能量和动量平衡关系式及化学反应动力学，一般形式是： 系统内物料(或能量)蓄藏量的变化率=单位时间内进入系统的物料量(或能量)－单位 时间内系统流出的物料量(或能量)+单位时间内系统产生的物料量(或能量)。 蓄藏量的变化率是变量对时间的导数，当系统处于稳态时，变化率为零
过程控制与自动化仪表 3)简化 从应用上讲,动态模型在满足控制工程要求、充分反映过程动态特性的情况下,尽可 能简单,是十分必要的。常用的方法如忽略某些动态衡算式,分布参数系统集总化和模型 降阶处理等。 在建立过程动态数学模型时,输出变量、状态变量和输入变量可用三种不同形式,即 用绝对值、增量和量纲一形式。在控制理论中,增量形式得到广泛的应用,它不仅便于把 原来非线性的系统线性化,而且通过坐标的移动,把稳态工作点定为原点,使输出/输入关 系更加简单清晰,便于运算。在控制理论中广泛应用的传递函数,就是在初始条件为零的 情况下定义的。 对于线性系统,增量方程式的列写很方便。只要将原始方程中的变量用它的增量代替 即可。对于原来非线性的系统,则需进行线性化,在系统输入输出的工作范围内,把非线 性关系近似为线性关系。最常用的线性化方法是切线法,它是在静态特性上用经过工作点 的切线代替原来的曲线。线性化时要注意应用条件,系统的静态特性曲线在工作点附近邻 域没有间断点、折断点和非单值区 下面举几个机理法建模的例子。 【例21】液体储罐的动态模型。 如图2.15所示液体储罐,进水量和出水量的体积流量分别是Q和Q。,出水量的液位 为h,液体储罐的横截面积为A。试建立该液体储罐的动态模型。 图215液位过程 液位的变化满足下述物料平衡方程液体储罐内蓄液量的变化率=单位时间内液体流入 量-单位时间内液体流出量,即 A.=0-o (2-24) 式中 Q.=k√h (2-25) 式(2-25)代入式(2-24),得 Q-k√h 这就是储罐液位的动态数学模型,它是一个非线性微分方程,当液位由0到满罐变化 时,都满足此方程。复杂非线性微分方程的分析较困难,如果液位始终在其稳态值附近很 小的范围内变化,则式(2-26)可线性化
·22· 过程控制与自动化仪表 ·22· 3) 简化 从应用上讲，动态模型在满足控制工程要求、充分反映过程动态特性的情况下，尽可 能简单，是十分必要的。常用的方法如忽略某些动态衡算式，分布参数系统集总化和模型 降阶处理等。 在建立过程动态数学模型时，输出变量、状态变量和输入变量可用三种不同形式，即 用绝对值、增量和量纲一形式。在控制理论中，增量形式得到广泛的应用，它不仅便于把 原来非线性的系统线性化，而且通过坐标的移动，把稳态工作点定为原点，使输出/输入关 系更加简单清晰，便于运算。在控制理论中广泛应用的传递函数，就是在初始条件为零的 情况下定义的。 对于线性系统，增量方程式的列写很方便。只要将原始方程中的变量用它的增量代替 即可。对于原来非线性的系统，则需进行线性化，在系统输入/输出的工作范围内，把非线 性关系近似为线性关系。最常用的线性化方法是切线法，它是在静态特性上用经过工作点 的切线代替原来的曲线。线性化时要注意应用条件，系统的静态特性曲线在工作点附近邻 域没有间断点、折断点和非单值区。 下面举几个机理法建模的例子。 【例 2.1】 液体储罐的动态模型。 如图 2.15 所示液体储罐，进水量和出水量的体积流量分别是 Qi 和 Qo，出水量的液位 为 h，液体储罐的横截面积为 A。试建立该液体储罐的动态模型。 图 2.15 液位过程 液位的变化满足下述物料平衡方程液体储罐内蓄液量的变化率=单位时间内液体流入 量-单位时间内液体流出量，即 i o d d h A Q Q t ⋅ = − (2-24) 式中 Q kh o = (2-25) 式(2-25)代入式(2-24)，得 i d d h A Q kh t ⋅ =− (2-26) 这就是储罐液位的动态数学模型，它是一个非线性微分方程，当液位由 0 到满罐变化 时，都满足此方程。复杂非线性微分方程的分析较困难，如果液位始终在其稳态值附近很 小的范围内变化，则式(2-26)可线性化
第2章简单控制系统 在平衡工况下 (2-27) 若以增量形式(Δ)表示各变量偏离起始稳态的程度,即 Δh=hh,△Q=Q-00,△Q。=Q-Qo (2-28) 则有 △ 非线性特性存在于液位与流出量之间,线性化方法是将非线性项进行泰勒级数展开, 并取线性部分 √马 √马 2(s) k (2-31) (s)2ho R 式中,R为液阻,式(2-31)代入式(2-29)得 dAh R 整理并省略增量符号 h= RO H(s) R 【例22】串联液体储罐的动态模型。 如图216所示液位过程,它有两个串联在一起的储罐。来水首先进入储罐1,然后再 通过储罐2流出。试分析液位h2在进水Q变化时的动态特性。 R 图216串联液体储罐 由物料平衡方程,列微分方程为 (2-33) dh 91-Q
第 2 章 简单控制系统 ·23· ·23· 在平衡工况下 0=Qi0-Qo0 (2-27) 若以增量形式(∆ )表示各变量偏离起始稳态的程度，即 ∆ h=h-h0，∆ Qi=Qi-Qi0， ∆ Qo=Qo-Qo0 (2-28) 则有 i o d d h A Q Q t ∆ ⋅ =∆ −∆ (2-29) 非线性特性存在于液位与流出量之间，线性化方法是将非线性项进行泰勒级数展开， 并取线性部分。 0 o o o0 0 o0 0 d ( ) d 2 h h Q k Q kh Q h h Q h t h = = + −= + ∆ = (2-30) o o o0 0 2 k QQQ h h ∆= − = ∆ o 0 ( ) 1 ( ) 2 Q s k Hs R h = = (2-31) 式中，R 为液阻，式(2-31)代入式(2-29)得 i d d h h A Q t R ∆ ∆ ⋅ =∆ − 整理并省略增量符号 i i d () , d () 1 h Hs R A h RQ t Q s RAs ⋅ += = + (2-32) 【例 2.2】 串联液体储罐的动态模型。 如图 2.16 所示液位过程，它有两个串联在一起的储罐。来水首先进入储罐 1，然后再 通过储罐 2 流出。试分析液位 h2 在进水 Qi 变化时的动态特性。 图 2.16 串联液体储罐 由物料平衡方程，列微分方程为 1 1 i 1 d d h A Q Q t = − (2-33) 2 2 1 o d d h A Q Q t = − (2-34)
·24· 过程控制与自动化仪表 Q=k√-h (2-35) Co=k2m 注意到流量Q1不仅与液位h1有关,而且与液位h2有关,线性化有 ,-h Q Q。,h为中间变理,需消去,在此利用框图化简。首先将各环节进行拉普拉斯变换 H(s、1 Q()-9(s) e()H,(s)-H2(s) H2(s)=[Q(s)-Q(s) Q(s)=H2(s) R 由各环节传递函数画出框图如图217所示。 o(s) ?团9 Q)| 图217串联液体储罐的框图 框图经过等效变换,可以得出传递函数 H2(s) R (2-37) @(S)(RA, R2A2)s-+(RA+R2A2+R2A)s+1 式中,T1=R1A1;T2=R242;T3=R241;K=R2 式(2-37)就是液位h2的运动方程 【例2.3】气体压力储罐的动态模型 对于气体压力储罐,需要考虑其压力的动态响应。建立气体压力储罐的压力动态 模型可以从物料平衡关系式和气体状态方程来进行。图2.18所示气体压力储罐,气体 经阀1进入储罐,然后经阀2流出储罐。储罐压力为p,进口阀前压力p,出口阀后压 力p 假设无化学反应;储罐与周围环境传热良好,温度保持不变;忽略进、出口管线的阻 力损失。 物料平衡有 24
·24· 过程控制与自动化仪表 ·24· Q kh h 1 = 11 2 − (2-35) Q kh o = 2 2 (2-36) 注意到流量 Q1 不仅与液位 h1 有关，而且与液位 h2 有关，线性化有 1 2 1 1 h h Q R − = ， 2 o 2 h Q H = Qo，h1 为中间变理，需消去，在此利用框图化简。首先将各环节进行拉普拉斯变换： [ ] 1 i 1 1 1 H s Qs Qs () () () A s = − 1 2 1 1 () () ( ) Hs Hs Q s R − = 2 o [ ] 1 2 1 H s Qs Qs () () () A s = − 2 o 2 ( ) ( ) H s Q s R = 由各环节传递函数画出框图如图 2.17 所示。 图 2.17 串联液体储罐的框图 框图经过等效变换，可以得出传递函数 2 2 2 i 11 2 2 11 2 2 21 ( ) () ( ) ( ) 1 Hs R Q s RA RA s RA RA RA s = ⋅ + ++ + (2-37) 式中，T1=R1A1；T2=R2A2；T3=R2A1；K=R2。 式(2-37)就是液位 h2 的运动方程。 【例 2.3】 气体压力储罐的动态模型。 对于气体压力储罐，需要考虑其压力的动态响应。建立气体压力储罐的压力动态 模型可以从物料平衡关系式和气体状态方程来进行。图 2.18 所示气体压力储罐，气体 经阀 1 进入储罐，然后经阀 2 流出储罐。储罐压力为 p，进口阀前压力 1 p ，出口阀后压 力 2 p 。 假设无化学反应；储罐与周围环境传热良好，温度保持不变；忽略进、出口管线的阻 力损失。 物料平衡有
第2章简单控制系统 阀 图2.18气体压力储罐 式中,G为经阀1进入储罐的气体质量流量:G。为经阀2流出储罐的气体质量流量;N为 气体物质的量;M为气体摩尔质量。 气体压力罐中压力不高时,气体服从理想气体状态方程 PV=NRT (2-39) 式中,V为容积;R为气体常数;T为气体的热力学温度。 在本例中,由于作为恒温过程看待,各变量对时间求导 于是,得到气体压力储罐的动态模型 dp G1,G。可用下列质量流量方程式表示 G=KK√P1-p)P1 (2-42) G=KKv2V(p-P)p 式中,Kv1,Kv2为进、出口阀的流量系数,取决于阀的开度:K在恒温情况下是常数。 进行线性化与增量化,得 oP2 式中,各个括号项都是偏导数,按正常工况下的稳态值代入,成为相应的系数。例如 aG /P-PP (n)=-G 2(P1-P) 式中,字母上方加“”号表示稳态值
第 2 章 简单控制系统 ·25· ·25· i o d( ) d NM G G t = − (2-38) 图 2.18 气体压力储罐 式中，Gi 为经阀 1 进入储罐的气体质量流量；Go 为经阀 2 流出储罐的气体质量流量；N 为 气体物质的量；M 为气体摩尔质量。 气体压力罐中压力不高时，气体服从理想气体状态方程 pV=NRT (2-39) 式中，V 为容积；R 为气体常数；T 为气体的热力学温度。 在本例中，由于作为恒温过程看待，各变量对时间求导 d d d d p RT N tVt = (2-40) 于是，得到气体压力储罐的动态模型 i o d ( ) d p RT G G t MV = − (2-41) Gi，Go 可用下列质量流量方程式表示 i V1 1 1 G KK p p p = − ( ) (2-42) o V2 2 G KK p p p = − ( ) (2-43) 式中，KV1，KV2 为进、出口阀的流量系数，取决于阀的开度；K 在恒温情况下是常数。 进行线性化与增量化，得 i ii i V1 1 V1 1 G GG G K pp K pp ⎛ ⎞ ∂ ∂∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∆ = ∆ + ∆+ ∆ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2-44) o o o o V2 2 V2 2 G GG G K pp K pp ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛∂ ⎞ ⎛ ⎞ ∆ = ∆ + ∆+ ∆ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2-45) 式中，各个括号项都是偏导数，按正常工况下的稳态值代入，成为相应的系数。例如 i V1 i 1 1 1 1 ( ) 2( ) 2( ) G G K K p p p p p pp ∂ = ⋅ − =− ∂ − − (2-46) 式中，字母上方加“ ”号表示稳态值