§8-3李雅普诺夫第二方法 为了分析运动的稳定性李雅普诺夫提出了两 种方法 第一方法包含许多步骤,包括最终用微分方 程的显式解来对稳定性近行分析,是一个间接的 方法 第二方法不是求解微分方程组,而是通过构 造所谓李雅普诺夫函数(标量函数)来直接判断 运动的稳定性,因此又称为直接法 李雅普诺夫第二方法目前仍是研究非线性、时 变系统最有效的方法,是许多系统控制律设计的 基本工具
§8-3 李雅普诺夫第二方法 为了分析运动的稳定性,李雅普诺夫提出了两 种方法: 第一方法包含许多步骤，包括最终用微分方 程的显式解来对稳定性近行分析，是一个间接的 方法。 第二方法不是求解微分方程组，而是通过构 造所谓李雅普诺夫函数（标量函数）来直接判断 运动的稳定性，因此又称为直接法。 李雅普诺夫第二方法目前仍是研究非线性、时 变系统最有效的方法，是许多系统控制律设计的 基本工具
例:考虑如下系统关于零解的稳定性 首先构造一个正定函数: V(X=X 显然,v(x)>0Vx≠0,且v(x)=0台x=0。 现在,我们考虑ν沿上述微分方程的解对时间t的 导数,有 v=2xx=-10x2<0Vx≠0 由于v(x)正定,v负定,意味着y(x)收敛,从而x 必将渐进收敛到0。我们得出了这个结论,却并 未求解微分方程
例:考虑如下系统关于零解的稳定性： x x = −5 首先构造一个正定函数： 2 v x x ( ) = 显然，v x x v x x ( ) 0 0, ( ) 0 0 = = 且 。 现在，我们考虑 沿上述微分方程的解对时间 的 导数，有 v t 2 v xx x x = = − 2 10 0 0 由于v(x)正定， 负定，意味着v(x)收敛，从而x 必将渐进收敛到0。我们得出了这个结论，却并 未求解微分方程。v
例:考虑小阻尼线性振动系统: →阻尼比=0.5 x2 试研究其平衡状态x=0,x2=0的稳定性。 类似于前例,取一个函数,通常称为v函数 v(x12x2)=3x1+2xx2+2x2 易于验证,这是一个正定函数。而方程 3x2+2x2+2x2=C,当0<C<时表示一个椭圆族 般说来,微分方程的解不能求得,故v的显式不 能得到。但却可求出ν沿微分方程解的导数 +(2x1+4x2 )( )=-2(x1+x2) OX
例：考虑小阻尼线性振动系统： 1 2 2 1 2 0.5 x x x x x = = = − − 阻尼比 1 2 试研究其平衡状态x x = = 0, 0的稳定性。 类似于前例，取一个函数，通常称为v函数： 2 2 1 2 1 1 2 2 v x x x x x x ( , ) 3 2 2 = + + 易于验证，这是一个正定函数。而方程 2 2 1 1 2 2 3 2 2 , 0 x x x x C C + + = 当 时表示一个椭圆族。 1 x 2 x 一般说来，微分方程的解不能求得，故 v 的显式不 能得到。但却可求出 v 沿微分方程解的导数： 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (6 2 ) (2 4 )( ) 2( ) = + = + + + − − = − + v v v x x x x x x x x x x x x x
当x1和x2不同时为零时,即在相 平面上,除原点x1=x2=0外,总有 dv/dt<0,这说明v总是沿着微分 方程的运动而减小的,也航是说, 运动轨线从vC的椭圆的外面穿 过椭圆走向其内部。因此,系统 关于零解必是渐近稳定的 以上例子说明,我们借助于一个特殊的v函数, 不求解微分方程,就可以按v及d/ot的符号性质来判 断零解的稳定性,而我们知道,在大多数情况下,求 解微分方程是做不到的
1 x 2 x 当x1和x2不同时为零时，即在相 平面上，除原点x1=x2=0外，总有 dv/dt<0，这说明v总是沿着微分 方程的运动而减小的，也就是说， 运动轨线从v=C的椭圆的外面穿 过椭圆走向其内部。因此，系统 关于零解必是渐近稳定的。 以上例子说明，我们借助于一个特殊的v函数， 不求解微分方程，就可以按v及dv/dt的符号性质来判 断零解的稳定性，而我们知道，在大多数情况下，求 解微分方程是做不到的
因此,利用 Lyapunov函数判断零解的稳定性 包含如下要点: 1)构造一个函数vx1…xn)它具有一定的符号特性, 例如证明渐近稳定时要求v(x1xn)=CC>0),且当C 趋向于零时是一闭的、层层相套的、向原点退缩 的超曲面族; 2)v(x1…,xn沿着解x1=x1(t)…,xn=xn(t)的时间导数d/dt= W(x1…,x)也具有一定的符号性质,例如负定或半 负定
因此，利用Lyapunov 函数判断零解的稳定性 包含如下要点： 1) 构造一个函数v(x1 ,…,xn ),它具有一定的符号特性， 例如证明渐近稳定时要求v(x1 ,…,xn )=C(C>0),且当C 趋向于零时是一闭的、层层相套的、向原点退缩 的超曲面族； 2) v(x1 ,…,xn )沿着解x1=x1 (t),…,xn =xn (t)的时间导数dv/dt= w(x1 ,…,xn )也具有一定的符号性质，例如负定或半 负定