五、时不变缆性系統x=Ax的稳定性判据 n维时不变系统的方程为 8-10 ∴=X 因是定常系统,不失一般性,可令t6=0: xt=ex 特征方程为de(s-A)=0(81) 系统(8-10的稳定性完全可由特征方程式(8-1)的根 及其相应的模式来决定。 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 dir. fineprint,com,cn
系统(8-10)的稳定性完全可由特征方程式(8-11)的根 及其相应的模式来决定。 n 维时不变系统的方程为 x x & = A (8-10) 0 ( ) 0 0 0 , ( ) : A t t x e x x t x - = = t = 0 因是定常系统，不失一般性，可令 0 : ( ) (0) At x t =e x 五、时不变线性系统 x x & = A 的稳定性判据 特 征 方 程 为 det(sI - A) = 0 (8-11) PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 / www.fineprint.com.cn ÿ/
1.运动模式及其收敛、发散、有界的条件 810)式中A阵的特征值称为模态,n重特征值 λ对应的运动形式可能有e",te,,,t-e均称为 系统的运动模式。但这些模式并非全部都出现,究竟 出现多少项取决于先的几何结构。例如下面不同的约 当形结构对应有不同的运动模式: 例题A-1 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 dir. fineprint,com,cn
1. 运动模式及其收敛、发散、有界的条件 1 1 A A é ù é ù ê ú ê ú = Þ = ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ê ú ë û l l l l l l t t t t e e e e 例题A-1 (8-10) 式中A阵的特征值称为模态，ni 重特征值 l 对应的运动形式可能有e lt , telt ,…, , 均称为 系统的运动模式。但这些模式并非全部都出现，究竟 出现多少项取决于l 的几何结构。例如下面不同的约 当形结构对应有不同的运动模式： n t t e i -1 l PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 / www.fineprint.com.cn ÿ/
e te t 1→e 尽管三者均具有相同的特征值且代数重数相等,但 却有不同的几何重数:他们分别为3、2、1。 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建v/ fineprint,com,cn
2 2 1 A A t t t t t e te e e e é ù é ù ê ú ê ú = Þ = ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ê ú ë û l l l l l l l 3 2 3 1 1 2 1 A A t t t t t t t e te t e e e te e é ù ê ú é ù ê ú = Þ = ê ú ê ú ë û ë û l l l l l l l l l 尽管三者均具有相同的特征值且代数重数相等，但 却有不同的几何重数：他们分别为3、2、1。 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn / ÿ/
注 1)代数重数n2:特征式中仅有的因子(s-1y 2)几何重数n:2对应的线性无关的特征向量的 个数,即属于A2的约当块的块数。几何重数五 可以如下求出: =n -rank(I-a) 例:若λ为6阶系统的三重根,且由计算得到 6-rank(I-A)=6-3=3 則表明λ有三个线性无关的特征向量。 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建v/ fineprint,com,cn
注： 1) 代数重数 ni ：特征式中仅有的因子 ( ) i n i s l - 例：若li为6阶系统的三重根，且由计算得到 6 ( I A) 6 3 3 i i n = - ran k l - = - = 则表明li有三个线性无关的特征向量。 2) 几何重数 ： l i对应的线性无关的特征向量的 个数，即属于li 的约当块的块数。 几何重数 可以如下求出： i n i n ( ) i i n = n - - ran k l I A PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn / ÿ/
以下几种提法是等价的(参看矩阵分 析):对特征值1 a)是最小多项式的单根 (b)的初等因子都是一次的; (c)对应的J是对角形; (d)对应的约当块的个数等于代数重数; (e)几何重数等于代数重数 PDF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprint,com,cn
5 以下几种提法是等价的（参看矩阵分 析）：对特征值li (a) li 是最小多项式的单根; (b) li 的初等因子都是一次的； (c) 对应的 Ji 是对角形； (d) 对应的约当块的个数等于代数重数； (e) 几何重数等于代数重数. PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn