第2章简单控制系统 31· 式中,y(∞)为y(1)的稳态值(见图22) 与式(2-59)相对应的阶跃响应量纲一形式为 y(1) (2-66) t≥r 式(2-66)中只有两个参数即T和r,因此只能根据两个点的测试数据进行拟合。为此 先选定两个时刻和b,其中12>1≥τ,从测试结果中读出y(1)和y(2)并写出下述联 立方程 y(1)=1 y(t2)=1 由式(26和式(2-67)可以解出 l-y(x)-n[1-y( ln[1-y(4)]-m[1-y(3) n[-y()-n (2-69) 为了计算方便,取y‘(1)=0.39,y'(l2)=0.63,则可得 2(12-1) (2-70) (2-71) 最后可取另外两个时刻进行校验,即 t4=27+,y(t1)=0.87 两点法的特点是单凭两个孤立点的数据进行拟合,而不顾及整个测试曲线的形态。此 外,两个特定点的选择也具有某种随意性,因此所得到的结果需要进行仿真验证,并与实 验曲线相比较。 (3)确实式(2-60)中参数K,τ,T,T2的方法。 如果阶跃响应是一条如图223所示的S形的单调曲线,它也可以用式(2-60)去拟合。 其中包含两个一阶惯性环节,因此可以期望拟合得更好 04-- 图223根据阶跃响应曲线上两个点的数据确定T和T2 增益κ同前,仍由输入/输出稳态值确定。再根据阶跃响应曲线脱离起始的亳无反应的
第 2 章 简单控制系统 ·31· ·31· 式中，y(∞ )为 y(t)的稳态值(见图 2.22)。 与式(2-59)相对应的阶跃响应量纲一形式为 0, ( ) 1e , t τ y t t τ T t τ ∗ ⎧ < ⎪ = ⎨ − ⎪ ⎩ ≥ - (2-66) 式(2-66)中只有两个参数即 T 和 τ ，因此只能根据两个点的测试数据进行拟合。为此 先选定两个时刻 t1 和 t2，其中 t2＞t1≥ τ ，从测试结果中读出 y∗ (t1)和 y∗ (t2)并写出下述联 立方程 1 2 1 2 () 1 e () 1 e t T t T y t y t τ τ − − ∗ − − ∗ ⎧ = − ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ = − (2-67) 由式(2-66)和式(2-67)可以解出 2 1 1 2 ln 1 ( ) ln 1 ( ) t t T yt yt ∗ ∗ − = ⎡ ⎤⎡ ⎤ − −− ⎣ ⎦⎣ ⎦ (2-68) 2 11 2 1 2 ln 1 ( ) ln 1 ( ) ln 1 ( ) ln 1 ( ) t yt t yt τ yt yt ∗ ∗ ∗ ∗ ⎡ ⎤⎡ ⎤ − −− ⎣ ⎦⎣ ⎦ = ⎡ ⎤⎡ ⎤ − −− ⎣ ⎦⎣ ⎦ (2-69) 为了计算方便，取 y∗ (t1)=0.39， y∗ (t2)=0.63，则可得 2 1 T tt = 2( ) − (2-70) 1 2 τ = 2t t − (2-71) 最后可取另外两个时刻进行校验，即 3 4 0.8 , 2 , t T t T τ τ = + = + 3 4 ( ) 0.55 ( ) 0.87 y t y t ∗ ∗ = = (2-72) 两点法的特点是单凭两个孤立点的数据进行拟合，而不顾及整个测试曲线的形态。此 外，两个特定点的选择也具有某种随意性，因此所得到的结果需要进行仿真验证，并与实 验曲线相比较。 (3) 确实式(2-60)中参数 K， τ ，T1，T2的方法。 如果阶跃响应是一条如图 2.23 所示的 S 形的单调曲线，它也可以用式(2-60)去拟合。 其中包含两个一阶惯性环节，因此可以期望拟合得更好。 图 2.23 根据阶跃响应曲线上两个点的数据确定 T1 和 T2 增益 K 同前，仍由输入/输出稳态值确定。再根据阶跃响应曲线脱离起始的毫无反应的
过程控制与自动化仪表 阶段,开始出现变化的时刻,就可以确定参数τ。此后剩下的问题就是用下述传递函数去 拟合已截去纯迟延部分并已化为量纲一形式的阶跃响应y(1),于是有 T1≥72 (2-73) (Ts+1)(2s+1) 与式(2-73)对应的阶跃响应为 7-7272-7 T y*() 根据式(2-74),就可以利用阶跃响应上两个点的数据[,y(和t,y()确定参数 T和2。例如,可以取y(1)分别等于04和0.8,从曲线上定出n和(见图223),就可以 得到下述联立方程 T1-T2T1-T2 T T22T2=0 式(2-75)的近似解为 (1+t2) 2.16 ≈1.74 t0.55 l2 对于用式(2-60)表示的二阶的对象,应有 0.32≤≤046 上述结果的正确性可验证如下。已知,当T2=0时,式(2-60)变为一阶对象,而对于一 阶对象阶跃响应应有 L=0.32,1+12=2.127 (2-79) 当T2=T1时,即式(2-60)中的两个时间常数,根据它的阶跃响应解析式可知 4=046,4+12=218×27 如果1/2>0.46,则说明该阶跃响应需要用更高阶的传递函数才能拟合得更好,例如可 取为式(2-61)。此时,仍根据y(1)等于04和0.8分别定出和l,然后再根据比值t/2 利用表2-2查出n值,最后再用式(2-81)计算式(2-61)中的时间常数T: (2-81)
·32· 过程控制与自动化仪表 ·32· 阶段，开始出现变化的时刻，就可以确定参数 τ 。此后剩下的问题就是用下述传递函数去 拟合已截去纯迟延部分并已化为量纲一形式的阶跃响应 y∗ (t)，于是有 1 2 1 2 1 () , ( 1)( 1) Gs T T Ts Ts = + + ≥ (2-73) 与式(2-73)对应的阶跃响应为 1 2 1 2 1 2 12 21 1 1 12 12 () 1 e e 1 () e e t t T T t t T T T T y t TT TT T T y t TT TT − − − − ∗ =− − − − −∗ = − − − (2-74) 根据式(2-74)，就可以利用阶跃响应上两个点的数据[t1， y∗ (t1)]和[t2， y∗ (t2)]确定参数 T1 和 T2。例如，可以取 y∗ (t)分别等于 0.4 和 0.8，从曲线上定出 t1 和 t2(见图 2.23)，就可以 得到下述联立方程： 1 1 1 2 1 1 12 12 2 2 1 2 1 2 12 12 e e 0.6 e e 0.2 t t T T t t T T T T TT TT T T TT TT − − − − − = − − − = − − ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ (2-75) 式(2-75)的近似解为 1 2 1 2 ( ) 2.16 t t T T + + ≈ (2-76) 12 1 2 12 2 1.74 0.55 ( ) TT t TT t ⎛ ⎞ ≈ − ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ (2-77) 对于用式(2-60)表示的二阶的对象，应有 1 2 0.32 0.46 t t ≤ ≤ (2-78) 上述结果的正确性可验证如下。已知，当 T2=0 时，式(2-60)变为一阶对象，而对于一 阶对象阶跃响应应有 1 12 1 2 0.32, 2.12 t tt T t = += (2-79) 当 T2=T1 时，即式(2-60)中的两个时间常数，根据它的阶跃响应解析式可知 1 12 1 2 0.46, 2.18 2 t tt T t = += × (2-80) 如果 t1/t2＞0.46，则说明该阶跃响应需要用更高阶的传递函数才能拟合得更好，例如可 取为式(2-61)。此时，仍根据 y t( ) ∗ 等于 0.4 和 0.8 分别定出 t1 和 t2，然后再根据比值 t1/t2， 利用表 2-2 查出 n 值，最后再用式(2-81)计算式(2-61)中的时间常数 T： 1 2 2.16 t t nT + ≈ (2-81)
第2章简单控制系统 表2-2高阶惯性对象1(7s+1)中阶数与比值tt2的关系 m123 0.62 0.46 5678 0 0.75 0.53 11 0.685 0.735 除了较简单的图解法和较严格的解析法之外,也可以采用曲线拟合的数值方法,按照 以误差的方差为最小的目标,搜索待求的参数值,例如,在已经获得了阶跃响应数据, 并假定模型形式为式(2-59)后,可以对参数进行三维的数值搜索,目标是使G(s)的响应曲 线数据与实验所得的响应曲线数据间误差的方差为最小;特别是随着计算机技术的迅速 发展与搜索方法的不断进步,这些方法已变得相当有效,在精确性和方便性两方面都能 令人满意。 2.2.3对象各环节特性对控制品质的影响 过程控制中,一阶惯性加纯滞后的过程是最常遇到,下面主要针对这类过程,讨论过 程参数K、T、τ对控制品质的影响。 对广义对象来说,外作用有两类,一是控制作用(1),二是扰动作用f(),两条通道的 过程参数不一定相同,而且它们的影响也不一样;需要区别开来分析。如图224所示,设 控制通道、扰动通道的传递函数分别为 Koe- o G(s) ,G1(s) (2-82) ToS+I TS+I 图224广义过程对象 1.增益(放大系数)K的影响 在其他因素相同的条件下,即在T,τ相同的条件下,控制通道的增益K。越大,则控 制作用u()的效应越强;反之,K越小,则u舶的影响越弱。要达到同样的控制效果,控制 作用(1)须按K。值作相应的调整。假定控制器的增益为K,则在K。大的时候,K应该取 得小一些,否则难以保证闭环系统有足够的稳定裕度;在K小的时候,K。必须取大一些 否则克服偏差的能力太弱;消除偏差的进程太慢。在使用DCS( Distributed Control System) 或单元组合控制仪表时,(1)和y(1)的量纲相同,K是量纲一的数,因此K。值的大小,方 便于直接进行比较 扰动通道增益K的情况却复杂一些。特别是在K采用有量纲形式表示时,不同扰动的 K值的大小,并不能直接反映各扰动的稳态影响的强弱,例如,大的K值乘上很小的∫值
第 2 章 简单控制系统 ·33· ·33· 表 2-2 高阶惯性对象 1/(Ts+1)n 中阶数与比值 t1/t2 的关系 n t1/t2 n t1/t2 n t1/t2 n t1/t2 1 2 3 4 0.32 0.46 0.53 0.58 5 6 7 8 0.62 0.65 0.67 0.685 9 10 11 12 — 0.71 — 0.735 13 14 — — 0.75 — 除了较简单的图解法和较严格的解析法之外，也可以采用曲线拟合的数值方法，按照 以误差的方差为最小的目标，搜索待求的参数值，例如，在已经获得了阶跃响应数据， 并假定模型形式为式(2-59)后，可以对参数进行三维的数值搜索，目标是使 G(s)的响应曲 线数据与实验所得的响应曲线数据间误差的方差为最小；特别是随着计算机技术的迅速 发展与搜索方法的不断进步，这些方法已变得相当有效，在精确性和方便性两方面都能 令人满意。 2.2.3 对象各环节特性对控制品质的影响 过程控制中，一阶惯性加纯滞后的过程是最常遇到，下面主要针对这类过程，讨论过 程参数 K、T、 τ 对控制品质的影响。 对广义对象来说，外作用有两类，一是控制作用 u(t)，二是扰动作用 f (t)，两条通道的 过程参数不一定相同，而且它们的影响也不一样；需要区别开来分析。如图 2.24 所示，设 控制通道、扰动通道的传递函数分别为 0 o o 0 e ( ) 1 s K G s T s −τ = + ， f f f f e ( ) 1 s K G s T s −τ = + (2-82) 图 2.24 广义过程对象 1. 增益(放大系数)K 的影响 在其他因素相同的条件下，即在 T， τ 相同的条件下，控制通道的增益 Ko越大，则控 制作用 u(t)的效应越强；反之，Ko 越小，则 u(t)的影响越弱。要达到同样的控制效果，控制 作用 u(t)须按 Ko 值作相应的调整。假定控制器的增益为 Kc，则在 Ko 大的时候，Kc应该取 得小一些，否则难以保证闭环系统有足够的稳定裕度；在 Ko 小的时候，Kc必须取大一些， 否则克服偏差的能力太弱；消除偏差的进程太慢。在使用 DCS(Distributed Control System) 或单元组合控制仪表时，u(t)和 y(t)的量纲相同，Ko 是量纲一的数，因此 Ko 值的大小，方 便于直接进行比较。 扰动通道增益 Kf的情况却复杂一些。特别是在 Kf采用有量纲形式表示时，不同扰动的 Kf值的大小，并不能直接反映各扰动的稳态影响的强弱，例如，大的 Kf值乘上很小的 f 值
过程控制与自动化仪表 其效应并不强。因此,不如用Kf的这一乘积作为比较的尺度,这里的∫应取正常情况下的 波动值。K∫的量纲与c和y都相同,代表了在系统没有闭合时所引起的偏差。在对系统进 行分析时,应该着重考虑K∫乘积大的扰动,必要时应设法消除这种扰动,例如,当蒸汽 加热器的蒸汽进入压力波动很大时须设置压力控制回路,或者引入按扰动进行控制的前馈 作用,以保证控制系统达到预期的品质指标 K。和K都反映稳态关系。在不同工作点,不同负荷下,K。是否恒定也是需要考虑的问 题。只有在K基本恒定时,系统才有可能在这些工作点上都控制得令人满意。只要能作 y和u的稳态关系曲线,导出两者间的关系式,就可以很清楚地看出K。恒定与否。控制阀 流量特性形式的选择,就是以能使K。不随工作点或负荷而变为主要准则。 2.时间常数T的影响 在控制通道方面,下面讨论只有一个时间常数T和具有多个时间常数T。1,T T>T )两类情况 如果只有一个时间常数T,则在K。和r/T保持恒定的条件下,T的变动主要影响控制 过程的快慢,T越大,则过渡过程越慢。而在K和f保持不变的条件下,T的变动将同时 影响系统的稳定性。T。越大,系统越易稳定,过渡过程越是平稳。一般地说,T。太大则变 化过慢,T太小则变化过于急剧。 如果有两个或更多个时间常数,则最大的时间常数决定过程的快慢,而T。2/o1则影响 系统易控制的程度。α与ω的比值越小,则越接近一阶环节,系统越易稳定。设法减小T 值往往是提高系统控制品质的一条可行途径,这在设备设计与检测元件选型时很值得考虑 在扰动通道方面,与其取T值来比较,不如用T/作为尺度。在闭环情况下 Y(s) G1(s) G(s)G1(3) (2-83) F(s)1+G(s)G。(s)1+G(s)G(s)G。(s) Y(s) G(s) U(s) 1+G(SG.(s) 因此,扰动通道与控制通道在闭环传递函数上的差别是扰动通道乘上了G(s)Gs(s)项。 般地说,如果G(s)和Ga(s)都没有不稳定的极点,则T的数值并不影响闭环系统的稳定 性。但从动态上分析,如T>T,则G(s)G(s)等效于一个滤波器,能使过滤过程的波形趋 平坦;如Tr<T,则Gs)G(s)成为一个微分器,将使波形更为陡峭。因此,Tr/的比值 越大,过滤过程的品质越好。 3.时滞τ的影 对控制通道来说,取。/T。作为衡量时滞影响的尺度更为合适。 产生时滞的原因可能是由于信号传输需要时间,如一些取温度或成分作为被控变量的 情况:可能是由于对象本身是分布参数过程或高阶过程,响应曲线的起始部分变化很慢, 这种情况近似作为时滞来处理 z。的存在不利于控制。测量方面有了时滞,使控制器无法及时发现被控变量的变化情 况;控制对象有了时滞,使控制作用不能及时产生效应。用经典控制理论的根轨迹法或频 率法来分析,都同样可得出τ不利于控制的结论。 r。/T是一个量纲一的值,它反映了时滞的相对影响。这就是说,在T大的时候,τ。的 值稍大一些也不要紧,过渡过程尽管慢一些,但很易稳定;反之,在T。小的时候,即使
·34· 过程控制与自动化仪表 ·34· 其效应并不强。因此，不如用 Kf f 的这一乘积作为比较的尺度，这里的 f 应取正常情况下的 波动值。Kf f 的量纲与 c 和 y 都相同，代表了在系统没有闭合时所引起的偏差。在对系统进 行分析时，应该着重考虑 Kf f 乘积大的扰动，必要时应设法消除这种扰动，例如，当蒸汽 加热器的蒸汽进入压力波动很大时须设置压力控制回路，或者引入按扰动进行控制的前馈 作用，以保证控制系统达到预期的品质指标。 Ko 和 Kf都反映稳态关系。在不同工作点，不同负荷下，Ko 是否恒定也是需要考虑的问 题。只有在 Ko 基本恒定时，系统才有可能在这些工作点上都控制得令人满意。只要能作出 y 和 u 的稳态关系曲线，导出两者间的关系式，就可以很清楚地看出 Ko恒定与否。控制阀 流量特性形式的选择，就是以能使 Ko 不随工作点或负荷而变为主要准则。 2. 时间常数 T 的影响 在控制通道方面，下面讨论只有一个时间常数 To 和具有多个时间常数 To1，To2，… (T o1>T o2 > …)两类情况。 如果只有一个时间常数 To，则在 Ko 和 τ /T 保持恒定的条件下，To 的变动主要影响控制 过程的快慢，To 越大，则过渡过程越慢。而在 Ko 和 fo 保持不变的条件下，To 的变动将同时 影响系统的稳定性。To 越大，系统越易稳定，过渡过程越是平稳。一般地说，To 太大则变 化过慢，To 太小则变化过于急剧。 如果有两个或更多个时间常数，则最大的时间常数决定过程的快慢，而 To2 /To1 则影响 系统易控制的程度。To2与 To1的比值越小，则越接近一阶环节，系统越易稳定。设法减小 To2 值往往是提高系统控制品质的一条可行途径，这在设备设计与检测元件选型时很值得考虑。 在扰动通道方面，与其取 Tf值来比较，不如用 Tf /To 作为尺度。在闭环情况下： f f o co co o () () () ( ) () 1 () () 1 () () () Ys G s G s G s Fs G sG s G sG s G s ==⋅ + + (2-83) o c o ( ) ( ) () 1 () () Y s G s U s G sG s = + (2-84) 因此，扰动通道与控制通道在闭环传递函数上的差别是扰动通道乘上了 Gf(s)/Go(s)项。 一般地说，如果 Gf(s)和 Go(s)都没有不稳定的极点，则 Tf 的数值并不影响闭环系统的稳定 性。但从动态上分析，如 Tf＞To，则 Gf(s)/Go(s)等效于一个滤波器，能使过滤过程的波形趋 于平坦；如 Tf <To，则 Gf(s)/Go(s)成为一个微分器，将使波形更为陡峭。因此，Tf /To 的比值 越大，过滤过程的品质越好。 3. 时滞 τ 的影响 对控制通道来说，取τ o /To作为衡量时滞影响的尺度更为合适。 产生时滞的原因可能是由于信号传输需要时间，如一些取温度或成分作为被控变量的 情况；可能是由于对象本身是分布参数过程或高阶过程，响应曲线的起始部分变化很慢， 这种情况近似作为时滞来处理。 τ o 的存在不利于控制。测量方面有了时滞，使控制器无法及时发现被控变量的变化情 况；控制对象有了时滞，使控制作用不能及时产生效应。用经典控制理论的根轨迹法或频 率法来分析，都同样可得出τ o 不利于控制的结论。 τ o /To 是一个量纲一的值，它反映了时滞的相对影响。这就是说，在 To 大的时候，τ o 的 值稍大一些也不要紧，过渡过程尽管慢一些，但很易稳定；反之，在 To 小的时候，即使τ o
第2章简单控制系统 的绝对数值不大,影响却可能很大,系统容易振荡。一般认为τ/T≤0.3的对象较易控制, 而π。/。>(0.5~06)舶的对象较难处理,往往需用特殊控制规律。 在设计和确定控制方案时,设法努力减小τ值是必要的,像减少信号传输距离,提高 信号传输速率等都属常用方法。 扰动通道的时滞τ并不起同样的作用。c“属于G(s)的分子项,r1并不影响闭环极点 分布,所以它不影响系统的稳定性。由式(2-82)可以看出,r大些或小些仅使过渡过程迟 或早一些开始,也可以说是把过渡过程在时间轴上平移一段距离。从物理概念上看,r1的 存在等于使扰动隔了τ,的时间再进入系统,而扰动在什么时间出现,本来是无法预知的, 因此r并不影响控制系统的品质。需要注意的是,τ不影响控制系统的品质,是仅对反馈 控制来说的,对于前馈控制,τ值将影响到前馈控制规律。 2.3控制器基本控制规律 23.1PD控制算法 在控制器中,设定值r与测量值y相比较,得出偏差ε=-υ,并依据偏差的情况,给出 控制作用。 在时间连续类型,线性控制规律的组成部分不外乎以下三种 (1)与e成比例的分量,称为比例(P)控制作用a (2)与e对时间的积分∫。cd成比例的分量,称为积分(制作用hn (3)与e对时间的导数e=de/d成比例的分量,称为微分(D控制作用u 然也可有与二阶导数e成比例的分量,但当信号中杂有噪声时,在二阶导数中将放 大得很厉害,因此一般少用。 常用的表示形式是 k(e edt+T. U(3s)=K:(1 式中,K为控制器比例增益;T和T都具有时间量纲,分别称为积分时间和微分时间 当上述控制算法公式只包含第一项时,称为比例(P)作用;只包含第二项时,称为积分 (D)作用;但只包含第三项的单纯微分①D)作用是不采用的,因为它不能起到使被控变量接近 设定值的效果;只包含第一、二项是P作用,只包含一、三项的是PD作用,同时包含这 项的是PID作用 1.比例(P)作用控制算法 P作用控制算法的方程式是 △=ke (2-87) 或
第 2 章 简单控制系统 ·35· ·35· 的绝对数值不大，影响却可能很大，系统容易振荡。一般认为τ o / o T ≤0.3 的对象较易控制， 而τ o /To>(0.5～0.6)的对象较难处理，往往需用特殊控制规律。 在设计和确定控制方案时，设法努力减小τ o 值是必要的，像减少信号传输距离，提高 信号传输速率等都属常用方法。 扰动通道的时滞 f τ 并不起同样的作用。 f e−τ s 属于 Gf(s)的分子项， f τ 并不影响闭环极点 分布，所以它不影响系统的稳定性。由式(2-82)可以看出， f τ 大些或小些仅使过渡过程迟一 些或早一些开始，也可以说是把过渡过程在时间轴上平移一段距离。从物理概念上看， f τ 的 存在等于使扰动隔了 f τ 的时间再进入系统，而扰动在什么时间出现，本来是无法预知的， 因此 f τ 并不影响控制系统的品质。需要注意的是， f τ 不影响控制系统的品质，是仅对反馈 控制来说的，对于前馈控制， f τ 值将影响到前馈控制规律。 2.3 控制器基本控制规律 2.3.1 PID 控制算法 在控制器中，设定值 r 与测量值 y 相比较，得出偏差 e=r-y，并依据偏差的情况，给出 控制作用。 在时间连续类型，线性控制规律的组成部分不外乎以下三种。 (1) 与 e 成比例的分量，称为比例(P)控制作用 up。 (2) 与 e 对时间的积分 0 d t e t ∫ 成比例的分量，称为积分(I)控制作用 uI。 (3) 与 e 对时间的导数e et d /d ⋅ = 成比例的分量，称为微分(D)控制作用 uD。 虽然也可有与二阶导数e ⋅⋅ 成比例的分量，但当信号中杂有噪声时，在二阶导数中将放 大得很厉害，因此一般少用。 常用的表示形式是 c d 0 i 1 d ( d) d t e u K e et T T t =+ + ∫ (2-85) 或 c d i 1 U s K TsE s ( ) (1 ) ( ) T s = ++ (2-86) 式中，Kc为控制器比例增益；Ti和 Td都具有时间量纲，分别称为积分时间和微分时间。 当上述控制算法公式只包含第一项时，称为比例(P)作用；只包含第二项时，称为积分 (I)作用；但只包含第三项的单纯微分(D)作用是不采用的，因为它不能起到使被控变量接近 设定值的效果；只包含第一、二项是 PI 作用，只包含一、三项的是 PD 作用，同时包含这 三项的是 PID 作用。 1. 比例(P)作用控制算法 P 作用控制算法的方程式是 ∆u =Kce (2-87) 或