第五章线性动态方程的可 控性和可观测性 5.1引言 5.2时间函数的线性无关性 5.3线性动态方程的可控性 5.4线性动态方程的可观测性 5.5线性动态方程的规范分解 5.6约当形(若当型)动态方程的可 控性和可观测性 木*2
第五章 线性动态方程的可 控性和可观测性 5.1 引言 5.2 时间函数的线性无关性 5.3 线性动态方程的可控性 5.4 线性动态方程的可观测性 5.5 线性动态方程的规范分解 5.6 约当形(若当型)动态方程的可 控性和可观测性
5.5线性时不变系統的规范分解 等价变换的性质 元=A+Bu y=Ca+ eu 令x=Px,det(P)≠0,则经等价变换后有 =artful y=Ca+ ew 其中: A=PAPB=PB. C=CPE=E 木*2
一、等价变换的性质 = + = + A B C E x xu yxu 令 ， ，则经等价变换后有 x = P x det( ) 0 P ≠ = + = + A B C E x xu yxu 其中： 1 1 ,, , − − A PAP B PB C CP E E = == = 5.5 线性时不变系统的规范分解
定理5-15:在任何等价变换之下,线性时不变系 统的可控性和可观测性不变。 注:定理5-15可以推广到线性时变系统。 证明:等价系统 x=Ax+Bu Cx+eu 可控,则有: ranklBAB Am-B=m BABA(mB]=P|BABA0nB]证完。 ★
定理5－15：在任何等价变换之下，线性时不变系 统的可控性和可观测性不变。 注：定理5－15可以推广到线性时变系统。 证明：等价系统 x x y x = + = + A Bu C Eu ( 1) ( 1) [B AB A B P[B AB A B ] ] n n − − = ( 1) [B AB A B] − = n rank n 而 证完。 可控，则有：
二、动态方程按可控性分解 设系统动态方程为 =a tBu y=c+eu x (553) 其可控性矩阵的秩为n<(n为a的维数),系统不 可控,但可分解出维的可控子系统,有以下定理 ★
= + = + A Bu C E x x yxu (5-53) 其可控性矩阵的秩为n1<n (n为x的维数)，系统不 可控，但可分解出n1维的可控子系统，有以下定理 设系统动态方程为 二、动态方程按可控性分解 ∫ 1 x 1 x − 1 u ∫ 2 x 2 x
定理5-16:n维线性时不变动态方程FE,若动态方程 的可控性矩阵有秩,则存在一个非奇异的常值矩阵 P及等价变换x=Px,将系统化为下列形式 B T°+ y=C 其中维子方程FE如下 c2 A x+b. C x+e 是可控的,且与原动态方程有相同的传遂图数矩
其中 n1维子方程FEc 如下： 12 0 0 [ ] ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = A A B A C C c c c c c x xu y x cc c c cc x xu y xu = + = + c A B C E 是可控的，且与原动态方程有相同的传递函数矩阵: 定理5-16: n维线性时不变动态方程FE，若动态方程 的可控性矩阵有n1秩，则存在一个非奇异的常值矩阵 P及等价变换 ，将系统化为下列形式 x = Px ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ cc x x x 1 1 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ #cc c cn xx x x