第四章线性动态方程和脉冲 响应矩阵 4.1引言 4.2动态方程的解 4.3等价动态方程 4.4脉冲响应矩阵和动态方程 木*2
第四章 线性动态方程和脉冲 响应矩阵 4.1 引言 4.2 动态方程的解 4.3 等价动态方程 4.4 脉冲响应矩阵和动态方程
4.1引言 本章主要研究动态方程的解,并以 状态转移矩阵来表示动态方程的解。 然后提出等价动态方程的概念并证明 个时不变动态方程均具有矩阵为常 值的等价动态方程,最后给出动态方程 和脉冲响应矩阵之间的关系 木*2
4.1 引言 本章主要研究动态方程的解,并以 状态转移矩阵来表示动态方程的解。 然后提出等价动态方程的概念并证明 一个时不变动态方程均具有矩阵为常 值的等价动态方程,最后给出动态方程 和脉冲响应矩阵之间的关系
4.2线性动态方程的解 、齐次方程的解 首先考虑一般的线性微分方程 文=A(t)x+f(t),x(t6)=x0∈R x, fER ,A(t=(a i (t)) 的解的性质。 ★
一、齐次方程的解 4.2 线性动态方程的解 首先考虑一般的线性微分方程： 的解的性质。 ( ) ( ), ( ) 0 0 , , ( ) ( ( )) × = ∈ ∈ = n n ij n n ttt t at x=A x+f x x R xf R A
定理:(解的存在和唯一性)设A及f的每 个元素a;(t),f均在(∽,+∞)上连续,则 对于任何∈(-,+)及任何常向量x,方程 恒有定义在整个(-,+∞)上的解x=x(t),满 足初值条件 X()=x 并且方程也只能有一个解满足。 ★
定理：（解的存在和唯一性）设A及f的每 个元素aij(t)，fi 均在 上连续，则 对于任何 及任何常向量x0，方程 恒有定义在整个 上的解x=x(t)，满 足初值条件： (, ) −∞ +∞ 0t ∈(, ) −∞ +∞ (, ) −∞ +∞ x x ( ) t0 = 0 并且方程也只能有一个解满足
说明:文=A(tx打开后的形式是 70 () A(t) 因此,其解向量x(t)必然属于R。称业()是 微分方程的一个解,系指 y(t)=A(ty(t) 木*2
N N 1 11 12 1 1 2 2 1 ( ) () () () () () ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ " % # % ## " " n n n nn n t x at at a t x x x x at a t x x x A 说明： =A( x t)x 打开后的形式是： 因此，其解向量x( t) 必然属于 。称 是 微分方程的一个解，系指： \ n Ψ( )t () () () = Ψ Ψ t tt A