1.5初等几何 ·17* 图1.9正方形的内接正八边 图1.10一正八边形的剖分 形，采自兰德纸草书问题48. 还是这本纸草书中的问题48给了我们一点启示，在该题中有一个与边长为9的正方形内接的 八边形（图1.9）.然而，没有陈述问题，光有计算8×8=64和9×9=81.如果书记员在同一正方形 中作一个内接圆，他可能发现它的面积与该正八边形的面积接近.由于正八边形的面积是正方形面 积的7/9，可能书记员直接令A=(7/9)d2[=(63/81)d2].显然书记员是想把结果表述成一个正方 形面积的形式.他关心化圆为方的问题，即求一个正方形，使它的面积和所给圆的面积相等.因此， 他要求这样一个正方形的边，它的面积等于(7/9)·81=63.求这条边长的办法之一是，在边长为9 的正方形内画一个内接正八边形，再划81个小正方形（图1.10）.顶上画了阴影的两个角块与顶行 中两个小方块相等，而底部两个小方块等于左列中的两个小方块.移动该行与列（将一方块移动两 次)，留下来的正方形的边长为原来正方形边长的8/9，这与正八边形的面积非常接近，因而也就与 圆的面积接近.这一重组的图形可能澄清了为什么书记员要坚持“减去直径的1/9”，然后将剩下的 加以平方.应当指出，问题50不是一个孤立的问题.在其余两个问题中，其中圆只是一个更复杂图 形的一部分，也用了相同的方法 在印度的《纯法经》中，也解决了化圆为方的问题，在这里问题涉及建造一个方形祭坛，使它的 面积与-一圆的面积相等：“如果你想把一个圆变成一个正方形，将直径分成八份，再将其中的每一份 又分成29份，除去其中28份，再去掉这剩下的一部分的六分之一减去这六分之一的八分之一”15.印 度祭司的这句话的意思是，这要求的正方形的边长为圆直径的 日+8X98×29x6+8×29女6×8： 1 这相当于取π为3.0883 巴比伦人与中国人处理面积问题的方法不同.在这两个文明中，圆的面积是用公式A=C/4 =（C/2)(d/2)来计算的，其中C为周长.他们也都用了公式A=C2/12,只要用C/3代替d就很 容易导出这个公式.实际上，巴比伦人对圆用的系数是1/12，圆的面积就是用周长的平方乘这个系 数来计算.中国人有时用公式A=3d/4,这可从在公式A=Cd/4中用3d代替C来导出，但也可 以用圆的内接正方形和外接正方形的面积的平均值来得出 巴比伦人和中国人是怎么发现公式A= 2 (C/2)(d/2),因而将面积的计算与周长的计算 联系起来的呢？和经常出现的情况一样，这个问 题在教材中没有答案.一种可能的解释是，他们 把圆切成扇形，然后把它们重新排列成一个近 似的矩阵（图1.11）.另一个可能的解释是，通过 将圆分割成许多无限细的同心圆来说明，这有 图1.11圆的剖分
·18· 第1章古代数学 中世纪的一些考证作依据.如果我们将圆从圆心开始直到边缘分成一些细窄的圆，并将这些同心圆 的狭条展开叠成一个三角形，这个三角形的底为圆周长，高为这个圆的半径.面积的公式立即可以 导得（图1.12）. 图1.12由无穷小的细条构成的圆. 处理平面图形的最后几个结果涉及计算弓形面积的公式.在这一情形，《九章》给出的法则是 A=(P+p)/2,其中s为弦长，P为“矢”长.*这个公式只有在弓形为半圆这个特殊情形下才是 对的（假定取π为3）.但这个公式用来计算高为p,上底和下底分别为p和s的梯形面积倒是正确 的.因此这个公式可能是出于用梯形来近似计算弓形面积（图1.13）.有趣的是在公元前3世纪的埃 及纸草书上也出现过这个公式，后人就把叫做“古法”.巴比伦人计算了两种不同的双弓形 种是“船形”，由两段四分之一圆弧围成，另一种叫“牛眼”，由两段三分之一圆弧围成（图1.14），但 计算方法大异其趣.这两种图形的面积分别由公式(2/9)a2及(a/32)a2给出，其中a为弧长.在假 设圆面积为C/12及W3=7/4的情况下，以上两个式子都是精确的. 在立体几何的公式方面，也有相当广泛的知识.计算长方体的公式V=lh与计算柱体体积法 则-一样众所周知.事实上，在《兰德纸草书》中的好几个问题里书记员用了计算柱体的体积公式 V=h,式中B为柱体的底面积，它由已经讨论过了的圆面积公式来计算. 图1.13对弓形面积的近似 图1.14巴比伦船和牛眼. 在巴比伦泥板文书和《九章》中都涉及了墙与坝的体积计算以及建造它们需用多少工人等问 题.在很多情况中墙的截面为梯形；这时体积就可由墙的长度与梯形面积相乘来计算 因为埃及最著名的建筑之一就是金字塔，人们可能希望能找到计算它的体积的公式.遗憾的 是，并没有找到这种公式.然而，在《莫斯科纸草书》中倒是有一个与金字塔有关的、引人注目的公 式，这就是计算截棱锥体体积的公式：“设一截棱锥体高为6肘，底边长为4肘，顶边长为2肘；先对4 *“矢”长是指弓形的高一泽注
1.5初等几何 ·19· 这样计算，将其平方，得16，再将此4加倍，得8.然后来计算2，将其平方，得4，将上述16,8和4加起 来，得28.计算6的1/3，得2.再将28二倍，结果为56.罗！它就是56.你已经找到了正确的结果”.16如 果将此算法译成公式，以a表下底长，以b表上顶长，以h表高，则它的结果就是正确的公式 V=号(a2+b+62).尽管没有哪种纸草书给出过底为正方形的完整的金字塔公式V=号a2h, 这里α为底边长，h为塔高，但只要在截棱锥的公式中令b=0就立即得出了这个公式.因此我们假 定埃及人是认识到了这个公式的.从另一方面来讲，要想从完整的棱锥体的体积公式导出截棱锥体 的体积公式，就需要较高的代数技巧.尽管提出了许多涉及剖分的中肯的建议，至今还无法肯定地 说埃及人是怎样发现他们的公式的， 《九章》提出了与《莫斯科纸草书》中一样的公式，同时还有完整的棱锥体的公式.3世纪的一位 《九章》的评注者用一种聪明的立体剖分方法给出了前一公式的一个证明，但在他的论证中必须用 到棱截体体积公式.自然，那位推出这个棱锥体体积公式的中国数学家又是如何证明它的，仍是无 人知晓* 巴比伦人也考虑过立体的体积，包括棱锥体.最好的例子来自泥板BM96594,在它上面有几个 涉及长方形棱锥状谷物堆，这里棱锥的顶是伸长了的，好像一个斜屋顶（图1.15a),求解的方法相当 于下述公式 v=(1+》 a D) 图1.15巴比伦人的谷物堆及其剖分 *这里所说的《九章》评注者，应指刘徽.对刘徽关于棱锥体体积公式的推导，D.B.Wagr已给出了一个令人信服的解释，参见 D.B.Wagner,An Early Chinese Derivation of the Volume of a Pywnid:Liu Hui,3rd Century A.D.Historia Mathematica,6(1979)
·20 第1章古代数学 其中1是该立体的长，w是它的宽，是它的高，t为它的顶部的长度.尽管在泥板上没有这个正确 公式的推导，我们能够通过把这个立体剖分成一三角棱柱，两边各加上一矩形棱锥的一半.于是其 体积就是这两个立体的体积之和（图1.15(b).这样一来，V=三角形棱柱的体积+矩形棱锥的体 积，或 v=+如0=+磐=(1+分》， 这正是我们想求的.1”至今尚未发现上面记有完整的棱锥体积公式的巴比伦泥板，但是和埃及人的 情况一样，从我们已讨论过的情况来看，可以合理地假定，巴比伦人是知道其正确公式的 因为有一块泥板上面有计算一个正方形底面积为α2、正方形顶面积为b2、高为h的截棱锥体 积的正确公式 v=()+21, 上面的假设就更令人信服了，当然，完整的棱锥公式可以从上式中令b=0推出.可是另一方面，有 这样的泥板，其中计算这种体积的公式是V=(2+b2)h,这是梯形面积公式的一个简单的，却 是错误的推广，然而，应当记住，尽管这个公式是不对的，但是它算出来的答案和正确的答案相差不 大.由于当时没有精确的体积测量方法，因此很难有人能发觉这个结果是错误的.无论如何，由于要 用到这个公式的问题都是实际问题，常常与要造一特定的建筑所需要的用工数有关，公式带来的小 小误差对最终答案并没有多大的影响. 1.6 天文计算 体积问题对埃及人和巴比伦人二者都很重要，这是因为这些问题在建造金字塔、庙宇和防洪设 施上有实际的应用.它对建筑师和工程师们确定这些建筑所需的材料数量来说是不可缺少的，他们 可以由此来算出所需的工人数以及供养这些工人所需的面包数.实际上，古巴比伦的系数表中就包 含了用于求解这类问题的一些标准比率，这些比率涉及工程量和应付各类工人的工资数， 这种庞大的土建工程项目很多都是为了祭神的目的而建造的.这种巨大的宗教建筑遍布全球 构筑这种巨型建筑要求有相当的技术水平和组织能力.但是在解决一般的工程问题之前，建造者首 先面临选址的问题.许多巨型建筑都与一些重大的天文事件密切相关，所以我们可以认为建筑师们 很熟悉天文学的基础.这方面的知识不仅在建设大型建筑时要用到，对制订历法也是不可或缺的. 因而天文学的问题在某些数学工具的发展上有决定性的意义，这在后来的历史中也是如此， 古代人对上天知道些什么呢？当时最重要的天体就是太阳和月亮，显然这二者都是从东方升 起，在西方落下，但每一个的实际运动却要复杂得多.例如，在春分时太阳准确地从东方升起，在夏 季却在东偏北升起，到了秋分这一天又从正东升起，可是到了冬季，升起的地方又转到东偏南，以上 情况至少在北半球是如此.在任何地方都会观察到太阳的这一循环是按一定的时间间隔重复的.只 要有这种计算的记录，这一时间间隔，即年的长度，均被确定为约365天. 如果你想确定年历中的重要日子，你必须要会观察太阳的位置.部分地正是由于这个原因，在 公元前三千年开始的时候在英国的斯通亨格(Stonehenge)建造了一座巨大的石庙（图1.l6).在英 国的其它地方以及北欧的一些地方都建有许多类似但较小一些的建筑.尽管建造这些建筑的理由 还不完全清楚，但是大多数的学者都认为，它有一个目的就是为了确定太阳上升和下落的最北和最
1.6天文计算 。21· 南的位置.18例如，公元前3200年左右，在爱尔兰，米思郡的纽格兰奇(Newgrange)建造的一座带廊 道的墓宅是这样设计的，使得在冬至前后三到四天的时间里一一也只有在这几天 一初升的太 阳光线能够穿过屋顶的一条缝隙照亮这个建筑的后部（图1.17）.在一些其他的建筑中，石头之间 的连线或一块石头与地平线上的某个重要自然标志物的连线准确标记了冬至日太阳升起或下降的 方向 a (b) 图1.16一张英国邮票上的斯通亨 图1.17(a)法国卡那克(Carnac)地方石阵的排列：(b)爱尔兰 格石庙，表明它是用于天文观测的 邮票上纽格兰奇廊式墓穴在冬至被阳光照射的情况 从理论上讲，以太阳升起的位置为基础，历书就可以制定出来.但在多数有记载的文明中，是月 球的运动确定了一年内的重要时段一月份.和太阳一样，月球在东方地平线上升起的位置也是 变化的，多年耐心的观察使斯通亨格石庙的建造者们显然能够标记出月球升起的最北和最南的位 置，他后来也可能已经注意到了月球升起的最北和最南位置有一个18.6年的周期变化，用这个周 期可以帮助我们来预测月食，月食和日食对古代人民来讲意义重大.对这样惊人的现象有预测的能 力一并通过适当祭祀活动让那些被“吃掉”了天体重现一是祭司们的一项重要职能.9 然而，月球在空中表现出来的最突出的特征不是它升起的地点，而是它的月相.所有早期文明 都注意到了月球从小小的一弯新月开始，变成满月，再变成看不见，最后又重新变成一弯新月这个 过程所经历的时间，这些观察很可能就是迄今所发现的最早的数字记号的基础.埃及人与巴比伦人 都用月相来确定一年中的月份，但方法不同.从太阳刚下山开始在西天出现一弯新月，经过各个月 相到下一次新月出现所历时间很容易确定，大约为29)天，遗憾的是，没有29号的某一整数倍能 等于一个太阳年的天数365，所以要编制一种历书，它能协调月相和由太阳所确定的季节，这一工 作并不简单.早期的埃及人对此作了彻底的简化.他们采用了一种12个月的历书，每个月由30天组 成，再将5天附在末尾以构成365天的一年.这种历书不得不忽略月球的周期变化.此外，由于一年 实际上有3651/4天，最后甚至每年的年历也不能与季节同步.换言之，从一年的起始将在1460年 (4×365)中经历一个完整的季节周期，这一点埃及的祭司也早就知道得很清楚了.于是，祭司们为 了各种宗教目的，始终保持记录阴历月.在埃及尼罗河，一年一度的泛滥会在农田中带来大量的泥 沙，是农业上最重要的事件，祭司们还发现，洪水总是在黎明前不久一段黑暗时期当东方天空上出 现一颗亮星一天狼星之后开始泛滥.因此他们对此作出精确的预言，而这有助于确立他们的 权威 在巴比伦历书的情况则不一样.那里的祭司们要想使历书能同时适应太阳和月亮的运动，使得 一给定的农事能在每一年的同一月份里出现.因此月份的天数一般来说是在29和30天之间交替变 化，一个新的月份总是随着黄昏时新月初现的一刻而开始.因为12个这样的月只有354天，所以他 们决定每过几年增加一个额外的月份.在早期，他们只是在感到必要时通过临时法令来实施这一