·12· 第1章古代数学 点的位置，就得出这个除法问题的正确答案为1；15(=11/4) 11.30 1015 3045 23 1116.30 40 1 34.30 1218 501,15 在古代中国，算术计算是用算板来做的.一般来说当需要计算分数时，就要把它们表达成公共 分数(common fractions).中国人实际上是使用了我们现代的分数计算法则，包括公分母的办法.然 而有一些迹象表明，在早期只是把十进制分数当作算板上的附加列来用的，特别在计算长度和重量 时是这样.一个发展得很完善的十进制分数体系还是很久以后的事， 1.4 线性方程 绝大多数的古代数学资料都是有关于问题求解的；为了解这些问题用上了各种各样的数学技 巧.作为研究这些问题的开始，我们首先来研究几种用于求解我们今天称之为线性方程的方法.自 然，我们必须牢牢记住，古代没有谁用过我们今天用来表示运算或未知量的这样一套符号体系.然 而，这些书记员们能够纯粹用文字的技巧来解答这些问题 埃及纸草书给我们提供了几种处理线性方程的方法.例如，莫斯科纸草书就用了当今的方法来 求这样一个数，它的11/2（表示1之，译注）倍再加上4就等于10.用现代的记号，这个方程就是(1 1/2)x+4=10.书记员的解法和我们今天的作法一样：首先由10中减去4，然后将6乘以2/3（这是 11/2的倒数)，得解为4.类似地，《兰德纸草书》上的问题31是要求一个量，它与它的2/3，它的1/2 和它的1/7相加结果为33一即求x,使得x+(2/3)x+(1/2)x+(17)x=33.这个问题概念上 并不难，但算术运算富有挑战性.这个问题以及接下来的三个问题的目的可能都是为了说明除法方 法，因为书记员解这个问题时就是用1+2/3+1/2+1/7来除33.他所给的答案一而这是应加以 检验的一为144567194388679776（或用现代的记号为1428/97）.这两个问题是以纯粹抽象的 方式提出来的，一点也未涉及到实际的量，例如面积呀，或面包个数呀.事实上，很难找到一个现实 生活中的问题的解与这第二个例子有什么关系.书记员只是为了表明他的技术对任何问题，不管有 多难，都适用.另一方面，问题35却与实际有关，它需要算出一个戽斗的大小，使用它来量谷物31/3 次后刚好能填满一赫卡特斗*7.书记员所解的这个方程在今天写出来就是(313)x=1,通过将1 除以313就得解.他把答案510写下并对其正确性进行证明. 解线性方程的第二种技巧在《兰德纸草书》中的问题26中得到了说明，这个问题要求找出这样 一个量，它与自身的1/4相加结果为15，解这个问题用的是假位法一即，先设解为一适当的数，但 它不对，然后再对它进行适当的调整.对上述问题书记员的解法如下：“假设[解答为]4.那么4加4 的4为5…找一个乘5能得到15的数.答案是3.用4乘3.答案是12”8，用现代的记号，这个问题 就是求解x+(1/4)x=15.第一次猜它是4，因为4的1/4是个整数.但是接下来书记员发现 4+1/4·4=5.为了求得正确的答案，他必须将15被5除所得的商，即3乘以4.《兰德纸草书》有 好几个这种类似的问题，都是用假位法来求解的.因此书记员所采用的逐步法可以看成是解这类线 性方程的算法.尽管没有人讨论这个算法是这样发现的和为什么它能有效，有一点却是显然的，即 埃及的书记员懂得两个量之间线性关系这一基本概念一即其中第一个量乘以一个倍数的话，第 *赫卡特(hkat)是一种谷物干重的度量单位.约等于l/8蒲式耳一译注
1.4线性方程 ·13· 二个量也乘以一个相同的倍数 这一认识在求解比例的问题中得到了进一步的例证.例如，问题75是问：用做155个20比苏的 面包同样多的面粉，可以做多少个30比苏的面包？（比苏是埃及人用来度量面包与“强度”相反的单 位，可以表示为：比苏=[面包个数]/儿谷物的赫卡特数]，其中赫卡特是大约为18蒲式耳的干容 量.)于是上述问题就成了去计算比例式x30=155/20.书记员是这样来做的：将155除以20，所得 结果再乘以30，最后得2321/2.在《兰德纸草书》和《莫斯科纸草书》的其他地方也有类似的问题. 最后一个来自《兰德纸草书》的线性问题，尽管是特别怪的一个，使用的是一种完全不同的技 巧.问题64是这样：“如果对你讲，让你把10赫卡特的大麦分配给十个人，使每个人与他的邻人分到 的大麦的赫卡特数之差为1/8，每个人分到的是多少？”9在本题不言而喻的是，分配的数额是按等 差级数来分的，这在纸草书中别的类似问题中也是一样的.平均份额是1赫卡特.最大份额可以这 样来求：在平均份额上加上1/8乘以份额差的数目的一半.然而，因为这里只有9个份额差，是奇数， 书记员的办法是，将平均份额加上公差一半(1/16)的9倍，从而得最大的份额为19/16(1216).由 此值分别9次减去1/8，就得到每一个份额，这样完成了问题的全部解. 在中国的《九章算术》第三章中出现过一些商品分配的类似问题.例如，问题1中要求计算在五个 官员中按比例5：4：3：2：1分配五只鹿.作者是这样来解这个问题的：把比例中的五个项加起来得15， 然后依次将比例中的每一项乘以五只鹿，再被15来除.这样最重要的官员获得5·5/15=12/3只鹿， 第二位官员获得11/3只，由此类推. 在《九章》的第二章还有很多类似于埃及人的面包问题的，涉及简单的比例问题.例如，假设50 单位的小米可以交换24单位抛光大米，问题3是问：用45/10单位的小米能换得多少大米.用现代 的记号来写就是要解比例式45/10：x=50:24.中国的作者将右边约化为25：12，并如下来解这 个问题：12乘45/10，然后除以25，和我们的解法一样 在巴比伦的教科书中很少有单个的线性方程，又没有提供求解的算法.例如，在YBC4652号泥 板上有个问题是：“我找到一块大石，但没有称它；在我给它加上（总重的）七分之一以后又加十一 分之一，其重为1米拉(mina)[=60斤(gn)].这块石头原重若干？”o.我们可以把它翻译成现代的 方程(x+x7)+(x+x/7)）=60.书记员只是直接写下答案，这里为x=4818.可能这类问题 解题的过程是记在某些尚未发现的泥板上， 另一方面，对两个未知量的方程组倒是给出了较为详细的解题过程.所用方法中有一个是利用 方便的猜测然后再加以调整，这表明巴比伦人也懂得了线性性质.下面是从古老的巴比伦泥板书 VAT8389中摘出的一个例子：两块田地中-一块每沙尔(sar)出产2/3西拉(sila)谷物，另一块每沙尔 产1/2西拉(sar和sila分别为面积和容积的度量).第-一块地的产量比第二块的多500西拉；两块地 的面积总共为1800沙尔.每块地是多大？以x和y来代表未知面积，很容易把这个问题翻译成由两 个方程组成的方程组： 2 子x-2y=50, x+y=1800 一个现代的解法可能是这样来做的，从第二个方程中解出x,并将其结果代入第一方程，但在 这个问题中巴比伦书记员的做法是，开始假设x和y都等于900.然后计算2/3·900-1/2·900= 150.所要求的500与150之差是350.为了调整答数这个书记员可能认识到：x的值每增加一个单位， 则y的值会减少一个单位，从而“函数”(2/3)x-（1/2)y就会增加2/3+1/2=7/6.因此他只需要解 方程(7/6)s=350,得知必须增加s=300.再900加300得x的值为1200,900-300得y的值为600
·14· 第1章古代数学 这是正确答案 中国人也对线性方程组有兴趣，并用了两种基本的方法来处理它们.第一种方法叫盈不足术， 见于《九章》的第七章，它主要用于求解用今天的话说就是两个未知量的两个方程组问题.解法和 巴比伦的相像，开始也是“猜测”可能的解，然后调整所猜的解以获得正确的解，这表明中国人也已 经懂得了线性关系的概念 现在来讨论问题17：“今有善田一亩价三百，恶田七亩价五百，今并买一顷，价钱一万，问善恶 田各几何？”把这个问题翻译成现代的语言就是一组两个未知量的两个方程： x+y=100, 500 300x+3y=10000. 中国人解这个问题的法则是这样说的：“假令善田20亩，恶田80亩，盈1714号钱；令之善田10亩，恶 田90亩，不足571号钱”.这样按照中国作者的说法，其求解过程就是：将20乘以57137,10乘以 17142/7,将此二乘积相加，最后将此和再除以17142/7与5713/7.这样就很容易求得结果为“善田 一十二亩半，恶田八十七亩半”. 九章的作者没有说明他是怎样得出这个算法的，这个算法后来首先是在伊斯兰世界中出现，又 过了一千多年才在欧洲出现.我们可以将这个算法表示成为下面的公式 x=12+b2出 b1+b2 其中b1是猜测善田为x,时的盈余数，而b2为猜测善田为x2时的不足数.对这一算法是怎样被发现 的有一种猜想，认为这可能是基于注意到了未知量的值从正确答案x变为猜想值20时会引起“函 数”300x+(500/7)y改变17142/7，而当从10变到x时又会引起函数值改变5713/7.由于线性意味 着自变量的改变与函数的改变的比值前后两次应该相等，我们得到下述比例式 20-x=x-0 1714号 3’ 5717 或在一般的情况下， =。 b1 b2 由此即推得我们想求的解x, 第7章中的所有20个问题都是用“盈不足术”的这种或那种修正形式来求解的.例如，两个不 同的猜测解可能都得出盈余.在每种情况下，作者都对所采用的适合的方法作出了解释.由于所有 这种问题用近代的符号来表示都可以写成一种形式，并且有单一的（代数的）解法，读者应该牢牢 记住，不论是中国人，还是其他古代的人都从未采用过这种能使类似问题解起来毫不费力的符号系 统.所有的问题及其解都是用文字表述的.即使如此，那些书记员们总是迫不及待地推出带有这种 笨拙解法的问题，也许是他们想说服他们的学生相信，只要熟练地掌握了这些方法他们就能解决甚 至很困难的问题 《九章》一书的第八章讲述了求解方程组的第二种方法，也是通过各种略有不同的例题来讲解 的.不过，在这一情况下，近代方法并不更简单.事实上，中国人的解法实质上与高斯消除法一致，而 且是用矩阵的形式表示出来的.例如，考虑该章的问题1：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实 三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六
1.4线性方程 ·15· 斗.问上、中、下禾实一秉各几何？”*这个问题用现代术语翻译出来就是下述方程组： 3x+2y+z=29, 2x+3y+z=34, x+2y+3z=26. 求解的方法是这样讲的：“置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方.中、左行列如右 方.”这个排列用图形表示如下： 123 232 311 263439 该书继续说：“以右行上禾遍乘中行，而后直除.”这就是说，将中间这一列乘以3（右列中的上禾 数)，减去右列的一个倍数（在本例中为2），从而中间列的第一个数化为0.同样对左列进行类似的 操作结果表示如下： 10 3 003 252 452 311 811 262439 392439 “然以中行中禾不尽者遍乘左行，而以直除”.即用中间这一列对左列进行类似操作.结果为 003 052 3611 992439 因为上图等价于下述三角形方程组 3x+2y+z=39, 5y+z=24, 36z=99. 作者接着解释了如何从z=99/36=23/4开始，用今天所谓的“回代”法求解这个方程组12 遗憾的是，正如在所有原始材料中一样，对为什么这个算法好使，或者说，这个算法是怎么推导 出来的，没有说明.我们只能猜想，中国人发现了，将一方程的倍数减去另一方程所得出的新方程组 与原来的那个方程组有相同的解.有一点是清楚的，这个方法相当于在算板上用不同方框中的算筹 来求解.有人会问，如果这种矩阵运算在某个方框中得出了一个负值，那会怎么样呢？观察同一章中 的问题3就会发现，这没有关系.对下述方程 2x+y=1, 3y+z=1, x+4z=1. 这个方法自始至终都完全是可行的.事实上，作者给出了包括正、负数的加法与减法法则.“对于减 法一如果两数符号相同，则从一数中减掉另一数；如符号不同，则将两者相加；从无中拿走正数 就得负数，如从无中去掉负数，就得正数.对于加法一一如两数符号不同，则由一数减去另一数；如 *这里“禾”是指庄稼，“秉”是“捆”，“实”是“粮食”一译注
·16 第1章古代数学 符号相同，则二者相加；正数与无相加为正数，负数与无相加为负数”.13 作为一个难点不同的例子，考虑最后一个问题13.这是一个有六个未知量的方程组： 2x+y =S, 3y+z =S, 4z+u =S, 5u+v=s, +6v=3. 用矩阵方法最后将得到方程v=76s/721.如果s=721,则v=76.只给出了这一个答案.遗憾的是，不 知道中国人是否考虑了取其他值的可能性，或者说是否考虑了有无限多个解的可能性.不过，在大多 数情况下，巴比伦人和中国人都只讨论了未知数与方程个数相等的情祝况.至于为什么在上述情况下只 产生惟一的解，或者在其他情况下会怎样，这方面的讨论没有任何记载. 1.5 初等几何 记载表明，我们讨论过的所有古代人都知道如何计算简单的直线图形的面积.书本中有大量用 标准公式A=bh和A=(1/2)bh来分别计算矩形和三角形面积的例子，只是在这里指定长度为b 和h的直线是否互相垂直这一点不总是很明确.巴比伦人提出了很多公式来计算各种图形的面积， 其中包括有相当于今天所谓的系数表一一种反映不同几何图形的某些数学关系的常数表.譬 如，对三角形给出的系数0：30(=1/2)是指三角形的面积是高和长的乘积的一半，类似地对三角形 的高给出系数0；52,30(=7/8)就是指等边三角形的高是底的7，/8，当然这个结果只是近似正确.正确 的倍数应该是3/2=0.866.事实上，古代的书记员们对长度和面积求得一个合理的近似值就满足了. 估算圆的周长与面积是使用合理近似的一个重要例子.没有一个简便的方法来估算一个给定 直径的圆的周长，或者准确地来计算它的面积.现代的公式C=πd和A=πr2二者均含有同一常数 π.显然，周长与半径成正比，面积与半径的平方成正比，但这两个比例常数相同（今天写成π）这一 点就不那么明显了.古代人知道周长与直径成正比，有各种书籍表明这点.至于谈到面积，埃及人是 独立于周长来计算面积的.然而，巴比伦人和中国人是知道一个圆的面积、周长和直径这三者之间 的关系的 在许多巴比伦人的泥板上，圆的周长是当作直径的三倍来计算的.类似地，在《九章》第一章问 题31中有“今有圆田，周三十步，径十步”的说法.而在希伯来圣经中，“诸王本纪7：23谈到公元前 950年左右所罗门王在位的时期，其中写道：“他俦造了一个大盆，从边缘到边缘为10肘尺，盆面呈 圆形…一根长为30肘尺的线可绕它一周”.在这里周长也取为直径的三倍.在某种意义上来讲， 这个结果很难理解，因为甚至很粗糙的测量就会表明周长会比直径的三倍大.这一数值使用了这么 长的时间，可能是由于这样算起来方便，而对于实用来讲，它得出的结果精度也足够了.也许还因为 它是一代一代这样传下来的，传统很难改变 然而，在讨论圆的多数问题中，要求的不是周长，而是面积.这方面有各种不同的结果.《兰德纸 草书》的问题50是这样讲的：“直径为9的圆田的例子.面积是多少？减去直径的1/9，剩下为8，将8 乘以8，得64.于是面积为64”.14换言之，埃及书记员用的公式为A=（d-d/9)2=[(8/9)d]2.将 它与公式A=（π/4)d2相比，表明埃及人所取π的数值在计算面积时为256/81=3.16049….埃及 人是从哪儿得来这个值的？为什么答案是用(8/9)d的平方形式而不是用现代的、以直径的平方乘 以一个倍数（在此为64/81）的形式来给出？