P(x, ])dr+O(x, y)dy=0.g_og ay ax 通解为: u(x, y)=P(x, yo)dx+.o(x, y)dy C xo K
x Q y P P x y dx Q x y dy = ( , ) + ( , ) = 0,且 通解为: ( , ) ( , ) ( , ) . 0 0 u x y P x y0 dx Q x y dy C y y x x = + =
4.可降阶微分方程及解法比较 微分方程 解法 ym=f(x)连续积分n次 y=(x,y)令y=D(x则”=m1()=中 dx =f(,y1)令y=p(,则y=p 小y K
4．可降阶微分方程及解法比较 微分方程 解法 ( ) ( ) y f x n = y = f (x, y) dx dp 令y = p(x),则y = p(x) = y = f ( y, y) dy dp 令y = p( y),则y = p 连续积分n次
5.二阶常系数齐次线性微分方程y+p+q=0的解法 特征方程为r2+pr+q=0 特征根的情况通解的表达式 实根≠ y=Ce +c2e2 实根r1=2 y=(C1+C2xe'l 复根n,2=a士iy=e(Ccs+C2sin) 注意推广到n阶微分方程的情形. K心
5．二阶常系数齐次线性微分方程 y + py + qy = 0 的解法 0 2 特征方程为 r + pr + q = 特征根的情况 通解的表达式 1 2 实根r r r x r x y C e C e 1 2 = 1 + 2 1 2 实根r = r r x y C C x e 1 ( ) = 1 + 2 复根r1,2 = i ( cos sin ) y e C1 x C2 x x = + 注意推广到n阶微分方程的情形
6.二阶常系数非齐次线性微分方程 K心 y"+py2+qy=f(x)的解法 f(x)的形式 特解形式 keten(x) f(=e pm(r) 0,λ不是特征根 k={1,x是特征单根 2,A是特征复根 f(x)=e[P(x)cos ax y*=x lom(x)cos ax +Pn(x)sin ax +em(r)sin ax
6.二阶常系数非齐次线性微分方程 y + py + qy = f (x) 的解法 f (x)的形式 特解形式 f (x) e Pm(x) x = y* x e Qm(x) k x = = 是特征复根 是特征单根 不是特征根 2, 1, 0, k ( )sin ] ( ) [ ( )cos P x x f x e P x x n l x + = ( )sin ] * [ ( )cos (2) (1) Q x x y x e Q x x m m k x + =
7.Euer方程及解法 x y+pix" y(n-l+.+pm,-Ixy'+p,y=f(x) 令x=e或t=lnx化为常系数微分方程 8.微分方程的简单应用 K
7．Euler方程及解法 ( ) 1 1 ( 1) 1 ( ) x y p x y pn xy pn y f x n n n n + + + − + = − − 令x e 或t ln x化为常系数微分方程. t = = 8．微分方程的简单应用