“一笔划”问题 7
“一笔划”问题 ？
欧拉通路和欧拉回路 口定义：包含图（无向图或有向图)中每条边的简单通 路称为欧拉通路。 注意：欧拉通路是简单通路（边不重复），但顶点可重复 口定义：包含图中每条边的简单回路称为欧拉回路。 口如果图G中含欧拉回路，则G称为欧拉图。如果图G中 有欧拉通路，但没有欧拉回路，则G称为半欧拉图。 //备注：通常假设G是连通的
欧拉通路和欧拉回路 定义：包含图（无向图或有向图）中每条边的简单通 路称为欧拉通路。 注意：欧拉通路是简单通路（边不重复），但顶点可重复 定义：包含图中每条边的简单回路称为欧拉回路。 如果图G中含欧拉回路，则G称为欧拉图。如果图G中 有欧拉通路，但没有欧拉回路，则G称为半欧拉图。 //备注：通常假设G是连通的
欧拉图的充要条件 连通图G是欧拉图当且仅当G中每个顶点的度数均 为偶数。 口证明： →设C是G中的欧拉回路，则HEVc,d()必等于v在C上出现 数的2倍（起点与终点看成出现一次）。 ←可以证明： (1)G中所有的边可以分为若干边不相交的简单回路。 (2)这些回路可以串成一个欧拉回路
连通图G是欧拉图 当且仅当 G中每个顶点的度数均 为偶数。 证明： 设C是G中的欧拉回路，则vVG , d(v)必等于v在C上出现 数的2倍(起点与终点看成出现一次)。 可以证明： （1）G中所有的边可以分为若干边不相交的简单回路。 （2）这些回路可以串成一个欧拉回路。 欧拉图的充要条件
欧拉图的充要条件 (1)若图G中任一顶点均为偶度点，则G中所有的边包含在若 干边不相交的简单回路中。 口证明：对G的边数m施归纳法。 口当m=1,G是环，结论成立。 口对于k≥1，假设当m≤k时结论成立。 口考虑m=k+1的情况：注意δG≥2，G中必含简单回路，记为 C,令G’=G-E。设G’中含s个连通分支。显然，每个 连通分支内各点均为偶数（包括0），且边数不大于k。则根 据归纳假设，每个非平凡的连通分支中所有边含于没有 公共边的简单回路中，注意各连通分支以及C两两均无公 共边，于是，结论成立
(1) 若图G中任一顶点均为偶度点，则G中所有的边包含在若 干边不相交的简单回路中。 证明：对G的边数m施归纳法。 当m=1, G是环，结论成立。 对于k1，假设当mk时结论成立。 考虑m=k+1的情况：注意G2, G中必含简单回路，记为 C，令G’=G-EC , 设G’中含s个连通分支。显然，每个 连通分支内各点均为偶数(包括0)，且边数不大于k。则根 据归纳假设，每个非平凡的连通分支中所有边含于没有 公共边的简单回路中，注意各连通分支以及C两两均无公 共边，于是，结论成立。 欧拉图的充要条件
欧拉图的充要条件 ②)若连通图G中所有的边包含在若干边不相交的简单回路中， 则G中含欧拉回路。 口证明：对G中简单回路个数d施归纳法。当d左1时显然。 ▣假设飞(21)时结论成立。考虑d正+1. 按某种方式对+1个简单回路排序，令G’=G-E(Ck+),设G’ 中含s个连通分支，则每个非平凡分支所有的边包含在相互 没有公共边的简单回路中，且回路个数不大于k。由归纳假 设，每个非平凡连通分支G均为欧拉图，设其欧拉回路是 C'。因G连通，苡Ck+1与诸C’都有公共点。 o G中的欧拉回路构造如下：从C+1上任一点（设为v)出发遍历 Ck+1上的边，每当遇到一个尚未遍历的C与Ck+1的交点（设为 v),则转而遍历C上的边，回到继续沿Ck+1进行
欧拉图的充要条件 (2) 若连通图G中所有的边包含在若干边不相交的简单回路中， 则G中含欧拉回路。 证明：对G中简单回路个数d施归纳法。当d=1时显然。 假设dk(k1)时结论成立。考虑d=k+1. 按某种方式对k+1个简单回路排序，令G’=G-E(Ck+1)，设G’ 中含s个连通分支，则每个非平凡分支所有的边包含在相互 没有公共边的简单回路中，且回路个数不大于k。由归纳假 设，每个非平凡连通分支Gi均为欧拉图，设其欧拉回路是 Ci '。因G连通，故Ck+1与诸Ci ’都有公共点。 G中的欧拉回路构造如下：从Ck+1上任一点(设为v0 )出发遍历 Ck+1上的边，每当遇到一个尚未遍历的Ci '与Ck+1的交点(设为 vi '), 则转而遍历Ci '上的边，回到vi '继续沿Ck+1进行