1 条件期望
条件期望 1
条件期望 2 类似于条件概率，常需要在某事件发生的条件下， 对随机变量进行分析 ▣在事件A的条件下，随机变量X的条件期望可定义 为 EXIA=∑ xP(X xlA) X 其中，求和是对X所有可能取值而言。这里， P(X=x|A)被称为事件A的条件下的X的条件分布 律
条件期望 类似于条件概率，常需要在某事件发生的条件下， 对随机变量进行分析 在事件𝑨的条件下，随机变量𝑿的条件期望可定义 为 𝑬[𝑿 | 𝑨] = 𝒙 𝒙𝑷 𝑿 = 𝒙 𝑨) 其中，求和是对𝑿所有可能取值而言。这里， 𝑷 𝑿 = 𝒙 𝑨)被称为事件𝑨的条件下的𝑿的条件分布 律。 2
条件期望 3 口特别地， EXIY==∑xP(X=xIY=y) 例：随机抛骰子两次。X1:第一个点数；X2:第二个点数；X:点 数和 4 E[K1K=5]= x=1 p=1x=)=∑京 8 KX=习x==2)-∑，后号 11 X=3
条件期望 特别地， 𝑬[𝑿 | 𝒀 = 𝒚] = 𝒙 𝒙𝑷 𝑿 = 𝒙 𝒀 = 𝒚) 例：随机抛骰子两次。𝑿𝟏:第一个点数；𝑿𝟐:第二个点数；𝑿: 点 数和 𝑬 𝑿𝟏 𝑿 = 𝟓 = 𝒙=𝟏 𝟒 𝒙𝑷 𝑿𝟏 = 𝒙 𝑿 = 𝟓) = 𝒊=𝟏 𝟒 𝒙 𝟏 𝟒 = 𝟓 𝟐 𝑬 𝑿 𝑿𝟏 = 𝟐 = 𝒙=𝟑 𝟖 𝒙𝑷 𝑿 = 𝒙 𝑿𝟏 = 𝟐 = 𝒙=𝟑 𝟖 𝒙 𝟏 𝟔 = 𝟏𝟏 𝟐 3
全期望公式 4 类似于全概率公式，我们有 口对于随机变量X和Y, E[X=∑P(Y=y)ExIY=yI y 这里假设所有的期望均存在。 证明：基于条件概率和条件期望的定义即可
全期望公式 类似于全概率公式，我们有 对于随机变量𝑿和𝒀, 𝑬 𝑿 = 𝒚 𝑷 𝒀 = 𝒚 𝑬[𝑿 | 𝒀 = 𝒚] 这里假设所有的期望均存在。 证明：基于条件概率和条件期望的定义即可。 4
例：几何分布的期望 5 口设XG(p),利用全期望公式证明E(X) 口X:重复伯努利试验直至事件A发生的次数 思路：根据第一次试验中事件A是否发生分情况讨 论 Y= 1第一次试验中A发生 o 否则
例：几何分布的期望 设𝑿~𝑮(𝒑)，利用全期望公式证明𝑬 𝑿 = 𝟏 𝒑 . 𝑿: 重复伯努利试验直至事件𝑨发生的次数 思路：根据第一次试验中事件𝑨是否发生分情况讨 论 𝒀 = ቊ 𝟏 第一次试验中𝑨发生 𝟎 否则 5