1 几个典型的离散型随 机变量
几个典型的离散型随 机变量 1
0-1分布 2 如果随机试验只有两个结果：A与A,则称该试 验为伯努利(Bernoulli)试验。 Jacob Bernoulli 口定义随机变量 1 x=0 若A发生 若A不发生 记P(A)=卫，则称X服从0-1分布 Jacob Bernoulli X P1-p
0-1分布 如果随机试验只有两个结果：𝑨与𝑨ഥ，则称该试 验为伯努利(Bernoulli)试验。 定义随机变量 𝑿 = ቊ 𝟏 若𝑨发生 𝟎 若𝑨不发生 记𝑷 𝑨 = 𝒑，则称𝑿服从0-1分布 2 X 0 1 P 1-p p
0-1分布的特点与用途 3 口若X服从参数为卫的0-1分布，则 E(X)=卫=P(X=1). ▣对随机事件A,可以定义指示变量 XA= 1 若A发生 0 若A不发生 则X4服从0-1分布。 引入指示变量是简化问题分析的有效手段
0-1分布的特点与用途 若𝑿服从参数为𝒑的0-1分布，则 𝑬 𝑿 = 𝒑 = 𝑷 𝑿 = 𝟏 . 对随机事件𝑨，可以定义指示变量 𝑿𝑨 = ቊ 𝟏 若𝑨发生 𝟎 若𝑨不发生 则𝑿𝑨服从0-1分布。 3 引入指示变量是简化问题分析的有效手段
例：随机置换的不动点个数 4 0 设p为集合[n]上的一随机置换。对于i∈[n],若 p()=i,则称i为p的一个不动点。求p的不动点个 数X的期望。 口思路：将X分解成个指示变量之和，再利用期望 的线性性质求解。 此方法具有典型意义. 解：对于i∈[n],引入指示变量 X1= 1 若i为p的不动点 00 否则 则E(X,)=P(X:=1)= 因此，E(X)=E(∑iX)=∑iE(X)=1
例：随机置换的不动点个数 设𝝆为集合[𝒏]上的一随机置换。对于𝒊 ∈ [𝒏],若 𝝆 𝒊 = 𝒊,则称𝒊为𝝆的一个不动点。求𝝆的不动点个 数𝑿的期望。 思路：将𝑿分解成𝒏个指示变量之和，再利用期望 的线性性质求解。 解：对于𝒊 ∈ [𝒏],引入指示变量 𝑿𝒊 = ቊ 𝟏 若𝒊为𝝆的不动点 𝟎 否则 则𝑬 𝑿𝒊 = 𝑷 𝑿𝒊 = 𝟏 = 𝟏 𝒏 . 因此，𝑬 𝑿 = 𝑬(σ𝒊𝑿𝒊) = σ𝒊𝑬 𝑿𝒊 = 𝟏 4 此方法具有典型意义
n重伯努利试验 5 口有一类独立重复试验概型，具有如下特点： 口每次试验只有两种结果：A与A 口试验进行n次，每次试验结果相互独立 则称该独立重复试验为n重伯努利试验。 记P(A)=卫，P(A)=1-卫=q. 口设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数， pX=0=(p(1-p)m-,i=0,1,,n 二项分布
𝒏重伯努利试验 有一类独立重复试验概型，具有如下特点： 每次试验只有两种结果：𝑨与𝑨ഥ 试验进行𝒏次，每次试验结果相互独立 则称该独立重复试验为𝒏重伯努利试验。 记𝑷 𝑨 = 𝒑, 𝑷 𝑨ഥ = 𝟏 − 𝒑 = 𝒒. 设𝑿为𝒏重伯努利试验中事件𝑨发生的次数， 𝑷 𝑿 = 𝒊 = 𝒏 𝒊 𝒑 𝒊 𝟏 − 𝒑 𝒏−𝒊 ,𝒊 = 𝟎, 𝟏, … ,𝒏 5 二项分布