91.特殊函数常微分方程 16/81回 代入9.1-31),得 由此得两个分离变数形式的常微分方程 T'+k2a2T=0. 91-33) +k2y=0 (9.1-34) 常微分方程(9.1-33)的解为 T(t)=Ce-k-a't (9.1-35) 偏微分方程⑨.1-34也是 Helmholtz方程,下面就继续讨论 Helmholtz 方程 914 Helmholtz方程 1.球坐标系 利用球坐标系 Laplace算符△的表达式,可得球坐标系 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §9.1. Aϼê~©§ 16/81 \(9.1-31)§ T 0 a 2T = ∆v v = −k 2 . ddü©lCê/ª~©§ T 0 + k 2 a 2T = 0, (9.1-33) ∆v + k 2 v = 0. (9.1-34) ~©§(9.1-33)) T(t) = Ce −k 2a 2 t . (9.1-35) ©§(9.1-34)´ Helmholtz §§e¡ÒUY?Ø Helmholtz §© 9.1.4 Helmholtz § 1. ¥IX |^¥IX Laplace Î ∆ Lª§¥IX
91.特殊函数常微分方程 17/81回 Helmholtz方程的表达式 0 0 sin e radar r2 sin 0 aqp 06 02 +k2y=0 (9.1-36 r2 sin 0 acp 首先把变数产跟变数6,q分离开,以 (,q)=R(r)Y(6,q) 代入(9.1-36,用r2/TY遍乘各项,整理得 1 d/,dR 1 a aY 1 aY 十 sin e rdr d sin 0y a8 00)-y22(+1) 由此得两个分离变数形式的方程 Y a2Y sin e +l(l+1)Y=0, (9.1-37) sin 0r a8 a0/ sin2 0 a p d/ 2dR d +[k272-1(+1)R=0. (9.1-38) ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §9.1. Aϼê~©§ 17/81 Helmholtz §Lª 1 r 2 ∂ ∂r r 2∂v ∂r + 1 r 2 sin θ ∂ ∂ϕ sin θ ∂v ∂θ + 1 r 2 sin2 θ + ∂ 2 v ∂ϕ2 + k 2 v = 0. (9.1-36) ÄkrCê ~r Cê θ, ϕ ©lm§± v(θ, ϕ) = R(r)Y(θ, ϕ) \(9.1-36)§^ r 2 /TY H¦§n 1 R d dr r 2dR dr + k 2 r 2 = − 1 sin θY ∂ ∂θ sin θ ∂Y ∂θ − 1 Y sin2 θ ∂ 2Y ∂ϕ2 = l(l + 1). ddü©lCê/ª§ 1 sin θY ∂ ∂θ sin θ ∂Y ∂θ − 1 sin2 θ ∂ 2Y ∂ϕ2 + l(l + 1)Y = 0, (9.1-37) d dr r 2dR dr + k 2 r 2 − l(l + 1) R = 0. (9.1-38)
91.特殊函数常微分方程 18/81回 方程(91-37)就是球函数方程(91-3),把它进一步分离变数将得 到(91-8)和连带 Legendre方程(9,1-11).前面已提到,方程(91-1)和 在x=±1的“自然边界条件构成本征值问题,决定l只能取整数 值 常微分方程(91-38亦即 2r dR dr2 2r+[k2a2-l+1)R=0. 叫作l阶球Bese方程.这是因为对于k>0,可以把自变数r和函数 只R(r)分别换作x和y(x), k R(r) 则方程91-38)成为 dy 0 (9.1-39) dx 而(91-39)是l+1/2阶的 Bessel方程,其解见§93 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §9.1. Aϼê~©§ 18/81 . §. (9.1-37)Ò. ´. ¥. ¼. ê. . §. (9.1-3)§r. §. ?. . Ú. ©. l. C. ê. ò. . . (9.1-8)Ú. ë. . Legendre . §. (9.1-11)©c¡®J§. §. (9.1-11)Ú. 3. x = ±1 . “g. ,. >. .. ^. . ” . ¤. . . . ¯. K. §û. ½. l . U. . . ê. . © ~©§(9.1-38)½= r 2d 2R dr 2 = 2r dR dr + k 2 a 2 − l(l + 1) R = 0. . . l . ¥. Bessel . §. ©ù´Ïéu k > 0§±rgCê r Ú¼ê R(r) ©O x Ú y(x)§ x = kr, R(r) = r π 2π y(x), K§(9.1-38)¤ x 2d 2 y dx 2 + x dy dx " x 2 − l + 1 2 2 # y = 0, (9.1-39) (9.1-39)´. l + 1/2 . . Bessel . §. §Ù) § 9.3©
91.特殊函数常微分方程 19/81回 对于k=0,方程91-38)退化成 Euler型方程(91-2),相应的解 为(9.1-4),即R(r)=Cr+Dr-(+) Helmholtz方程来自波动方程和输运方程.上一章已着重指出用 分离变数法求解波动方程和输运方程的前提是边界条件为齐次的,如 有非齐次边界条件必须先“齐次化”.这样,我们将认定 Helmholtz方 程的边界条件是已齐次化的.方程(91-38)附加球面(r=r0)处的齐次 边界条件,构成本征值问题,决定k的可能数值在§94将会看 到,对这样的本征值问题,必然有本征值k2≥0.此本征值问题的求 解见§15 2.柱坐标系 利用柱坐标系 Laplace算符△的表达式,可得 Helmholtz方程的 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §9.1. Aϼê~©§ 19/81 éu k = 0§§(9.1-38)òz¤ Euler .§(9.1-2)§A) (9.1-4)§= R(r) = Crl + Dr−(l+1)© Helmholtz §5gÅħÚÑ$§©þÙ®XÑ^ ©lCê{¦)ÅħÚÑ$§cJ´>.^àg§X kàg>.^7Lk“àgz”©ù§·ò@½ Helmholta §>.^´®àgz©. §. (9.1-38)N. \. ¥. ¡. ( r = r0 )?. . à. g. >. .. ^. . §. ¤. . . . ¯. K. §û. ½. k . . U. ê. . ©3 § 9.4 ò¬w §éù ¯K§7,k k 2 ≥ 0©d ¯K¦ ) § 11.5© 2. ÎIX |^ÎIX Laplace Î ∆ Lª§ Helmholtz §
891.特殊函数常微分方程 20/81 表达式为 1 a/ a a2y 82 (9.1-40 p/p2 aqp2 az2 以分离变数形式的解 v(p, (p, z)=R(p)o(p)Z(z) 代入(9.1-40),一步一步分离变数,引进两个常数A和y2,不难分解出 三个方程 d"+AΦ=0, (9.1-41) z"+y2Z=0, (9.1-42) d2r 1dR R=0 (9.1-43) d d p- pap 方程(91-41)和没有写出的自然的周期条件 (q)=Φ(q+2) ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §9.1. Aϼê~©§ 20/81 Lª 1 ρ ∂ ∂ρ ρ ∂v ∂ρ + 1 ρ 2 ∂ 2 v ∂ϕ2 + ∂ 2 v ∂z 2 + k 2 v = 0. (9.1-40) ±©lCê/ª) v(ρ, ϕ, z) = R(ρ)Φ(ϕ)Z(z) \(9.1-40)§ÚÚ©lCê§Ú?ü~ê λ Ú ν 2§ØJ©)Ñ n§ Φ00 + λΦ = 0, (9.1-41) Z 00 + ν 2Z = 0, (9.1-42) d 2R dρ 2 + 1 ρ dR dρ + k 2 − ν 2 − λ ρ 2 R = 0. (9.1-43) . §. (9.1-41)Ú. v. k. . Ñ. . g. ,. . ±. Ï. ^. . Φ(ϕ) = Φ(ϕ + 2π)