91.特殊函数常微分方程 ll/81回 幽下面分三种情况讨论(p=0,p>0,m<0) p=0 方程式91-19是 Euler方程,方程(91-18)和(91-19的解是 Z=C+Dz (9.1-20 E+ FIn R (9.1-21) Ep+ Fp ≠0 >0 对于方程91-19),此时常作代换 把自变数从P变换为x(注意x只代表Vp,并非直角坐标),则 dr rdx dr d dr d dr d2r d d dr dx dR dp2 dr dx/do ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §9.1. Aϼê~©§ 11/81 K e¡©n«¹?Ø£µ = 0, µ > 0, mu < 0¤© ✇ µ = 0 §ª(9.1-19)´ Euler §§§(9.1-18)Ú(9.1-19))´ Z = C + Dzm ; (9.1-20) R = ( E + F ln ρ, m = 0, Eρ m + Fρ −m , m , 0. (9.1-21) ✇ µ > 0 éu§(9.1-19)§d~ x = √ µρ, rgCêl ρ C x£5¿ x L √ µρ§¿I¤§K dR dρ = dR dx dx dρ = √ µ dR dx , d 2R dρ 2 = d dρ √ µ dr dx = d dx √ µ dR dx dx dρ = µ d 2R dx 2 ,
91.特殊函数常微分方程 12/81回 方程化为 d2r 1dR dr rd r x 十 mR=O, (9.1-22) 即 dr dR +(x2+m2)R=0. d 称为m阶 Bessel方程 以后(112)将要看到, Bessel方程附加以p=po处(即半径为 p的圆柱的侧面)的齐次边界条件构成本征值问题,决定p的可能数 值(本征值) 这时方程(91-18的解是 Z(z)= Ce vaz+De vaz. (9.1-23) <0 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §9.1. Aϼê~©§ 12/81 §z d 2R dx 2 + 1 x dR dx + 1 − m2 x 2 R = 0, (9.1-22) = x 2d 2R dx 2 + x dR dx + (x 2 + m 2 )R = 0. ¡ m Bessel §© ±(§ 11.2)òw§Bessel §N\± ρ = ρ0 ?(=» ρ0 Îý¡) àg>.^¤ ¯K§û½ µ Uê ( )© ù§(9.1-18))´ Z(z) = Ce √ µz + De − √ µz . (9.1-23) ✇ µ < 0
91.特殊函数常微分方程 13/81回 记-=y2>0,则方程(91-18)成为 z"+y2Z=0, 其解为 Z(z)=C coS vz D sin vz. (9.1-24) 我们知道,若对此附加以z=x1和z=z2处即柱体的上下底面)的齐 次边界条件,便构成本征值问题,决定y的可能数值,从而决定y2的 可能数值(本征值,至于方程(91-19),以=-2代入,并作代换 则方程化为 d 2r 1dR 1+-,)R=0, (9.1-25) d r ar 即 dr dr x2+m2)R=0. d ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §9.1. Aϼê~©§ 13/81 P −µ = ν 2 > 0§K§(9.1-18)¤ Z 00 + ν 2Z = 0, Ù) Z(z) = C cos νz + D sin νz. (9.1-24) ·§eédN\± z = z1 Ú z = z2 ?(=ÎNþe.¡)à g>.^§B¤ ¯K§û½ ν Uê§l û½ ν 2 Uê( )§u§(9.1-19)§± µ = −ν 2 \§¿ x = νρ, K§z d 2R dx 2 + 1 x dR dx − 1 + m2 x 2 R = 0, (9.1-25) = x 2d 2R dx 2 + x dR dx − (x 2 + m 2 )R = 0.
91.特殊函数常微分方程 14/81 称为m阶虚宗量 Bessel方程.事实上,如把 Bessel方程(9122的宗 量x改成虛数ⅸx,就成了(9.1-25).虚宗量Bese方程的求解见94 912波动方程 考察三维波动方程 U1t-a2△n=0 (9.1-26) 分离时间变数和空间变数产,以 (,t)=T(t)v(力) (9.1-27) 代入式⑨.1-26),得 k a2T 由此得两个分离变数形似的常微分方程 T"+k2a2T=0, (9.1-28) ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §9.1. Aϼê~©§ 14/81 ¡ m Jmþ Bessel §©¯¢þ§Xr Bessel §(9.1-22)m þ x U¤Jê ix§Ò¤ (9.1-25)©Jmþ Bessel §¦) § 9.4© 9.1.2 Åħ nÅħ Utt − a 2∆u = 0. (9.1-26) ©lmCêÚmCê ~r§± u(~r, t) = T(t)v(~r) (9.1-27) \ª(9.1-26)§ T 00 a 2T = ∆v v = −k 2 . ddü©lCê/q~©§ T 00 + k 2 a 2T = 0, (9.1-28)
91.特殊函数常微分方程 15/81 Ay+kv=0 (9.1-29) 常微分方程(91-28的解为 ∫T()= C cos kat+ D sin kat or ceikat+Dekn,k≠ 7(=C+D, ks09.1-30) 偏微分方程(9.129叫作 Helmholtz方程,或仍叫作“波动方 程”. Helmholtz方程下面还要继续讨论 913输远方程 考察三维输运方程 △a=0, 91-31) 把分离变数形式的解 y(,t)=T(t)v(力 9.1-32) ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §9.1. Aϼê~©§ 15/81 ∆v + k 2 v = 0. (9.1-29) ~©§(9.1-28)) ( T(t) = C cos kat + D sin kat or Ce ikat + De −ikat , k , 0, T(t) = C + Dt, k = 0. (9.1-30) . . ©. . §. (9.1-29). . Helmholtz . §. §½E“ÅÄ §”©Helmholtz §e¡UY?Ø© 9.1.3 ѧ nÑ$§ ut − a 2∆u = 0, (9.1-31) r©lCê/ª) y(~r, t) = T(t)v(~r) (9.1-32)