广东第二师范学院：《常微分方程》课程教学资源（PPT课件）第五章 线性微分方程组 5.3 常系数线性微分方程组

(2)基解矩阵的一种求法对n阶矩阵A设A=T-JT其中T为非奇异矩阵J为Jordan矩阵则eA" =T-le"T.J其中J2J2J=k注1：由e"T-}=T-le"知,T-le"也是基解矩阵金《常微分方程》教学课件广东第二师范学院上一真结束首页二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (2) 基解矩阵的一种求法 对n阶矩阵A设 1 A T JT − = 其中 为非奇异矩阵 为 矩阵 T J Jordan , . 则 1 . At Jt e T e T − = 其中 1 2 , k J J J J     =         1 2 , k J t J t Jt J t e e e e       =       注1: 1 1 1 . At Jt Jt e T T e T e − − − 由 知, 也是基解矩阵 =

二基解矩阵的计算公式1基解矩阵与其特征值和特征向量的关系类似第四章4.2.2,寻求(5.33)x =Ax,形如p(t)=e"c,c+0,(5.43)的解，其中常数入和向量c是待定的将（5.43）代入（5.33）得Ne"c=Ae"c,因e"￥0.上式变为(2E-A)c=0,(5.44)A\A1《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一页结束二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 二 基解矩阵的计算公式 类似第四章4.2.2,寻求 ' x Ax = , (5.33) 形如 ( ) , 0, (5.43) t t e c c   =  的解 其中常数 和向量 是待定的 , .  c 将(5.43)代入(5.33)得 , t t e c Ae c    = 0, t e  因 上式变为  ( ) 0, (5.44) E A c − = 1 基解矩阵与其特征值和特征向量的关系

(2E-A)c=0,(5.44)x=Ax,(5.33)方程（5.44)有非零解的充要条件是：det(2E-A)=0微分方程组（5.33）有非零解（t）=ec的充要条件是结论2是矩阵的特征根c是与2对应的特征向量即p(t)=e"c为(5.33）解(aE-A)c=0有非零解35例3试求矩阵A-特征值和特征向量-53解A的特征值就是特征方程2-33-5det(aE-A)5-3=22-6+34=0的根，=3+5i,=3-5i.A二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页上市二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 方程(5.44)有非零解的充要条件是: det( ) 0, E A − = 结论 (5.33) ( ) t t e c  微分方程组 有非零解 的充要条件是  =   是矩阵 的特征根 是与 对应的特征向量 A c, . ( ) (5.33) t t e 即  =  c为 解 ( ) 0 E A c − = 有非零解 例3 3 5 . 5 3       − 试求矩阵A= 特征值和特征向量 解 A的特征值就是特征方程 3 5 det( ) 5 3 E A      − − − =     − 2 = − + =  6 34 0 的根, 1 2   = + = − 3 5 , 3 5 . i i ' ( ) 0, (5.44) E A c − = x Ax = , (5.33)

对特征根=3+5的特征向量u=（uu）满足5ii-5-u一=0(E-A)u55iiuz门1α0u=α解得i对特征根=3-5的特征向量v=（v,）满足-5i-5V=0(2E-A)u=5-5iLV21V=B,β±0.解得A二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上二页结束二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 1 1 2 3 5 ( , )T 对特征根 的特征向量 满足  = + = i u u u ( ) E A u − = 1 2 5 5 0 5 5 i u i u   −   =       解得 1 u , 0. i     =      2 1 2 3 5 ( , )T 对特征根 的特征向量v 满足  = − = i v v ( ) E A u − = 1 2 5 5 0 5 5 i v i v   − −   =      −   解得 , 0. 1 i v     =     

53x的解为微分方程组x3-5[1]ix=e(3+5i)1=e(3-5i)11i11X=e(3+5i)te3(cos5t+isin5t)1icostcost+isintsint3t=e3+ie3=e-sint+icost-sintcostcostsint故解为:x=e3"5=e32-sintcostAI福《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一克结束二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ' 3 5 5 3 x x   =     − 微分方程组 的解为 (3 5 ) 1 1 , i t x e i +   =     (3 5 ) 2 ; 1 i t i x e −   =     (3 5 ) 1 1 i t x e i +   =     3 (cos5 sin5 ) t = + e t i t 1 i       3 cos sin sin cos t t i t e t i t   + =     − + 3 cos sin t t e t   =     − 3 sin cos t t ie t   +     故解为: 3 1 cos , sin t t x e t   =     − 3 2 sin . cos t t x e t   =    