广东第二师范学院：《常微分方程》课程教学资源（PPT课件）第五章 线性微分方程组 5.3 常系数线性微分方程组

(3）若T是非奇异的,则exp (T-AT)= T-(expA)Texp("AT)-"AT)由于：k!k=0SarinT-"AT2=E+=E+k!k!k=1k=lAh8=T-T+ T-(Z07k!k=1Ah8W=T-(E+)T = T(exp A)Tk!k=1A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院上一真结束首页二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (3) , 若 是非奇异的 则 T AT A T ) (exp ) . = -1 -1 exp(T T 由于: AT) = -1 exp(T 1 0 ( ) ! k k T AT k  − =  = + E 1 1 ( ) ! k k T AT k  − =  = + E 1 1 ! k k T A T k  − =  1 T T− = + 1 1 ( ) ! k k A T T k  − =  1 1 ( ) ! k k A T E T k  − = = + = (exp ) . A T -1 T

3常系数齐线性微分方程组的基解矩阵矩阵(1）定理9Φ(t) = exp At是（5.33)的基解矩阵，且Φ（O）=E证明：当t=O时,由expAt定义知Φ(O)=E;(t)=(expAt)又因为AAAm2=A++t+-1H-22!(m-1)!Amt2=AE+At+tm+.)=AexpAt=AΦ(t)m!故Φ(t)=expAt是基解矩阵《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页一市面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 3 常系数齐线性微分方程组的基解矩阵 (1)定理9 矩阵  = ( ) exp t At 是(5.33)的基解矩阵,且  = (0) . E 证明: 当 时由 定义知 t At = 0 , exp  = (0) ; E 又因为 ' '  = ( ) (exp ) t At 2 3 2 1 1! 2! ( 1)! m A A A m A t t t m − = + + + + + − = A = A 故 是基解矩阵  = ( ) exp t At 2 2 ( ) 2! ! m A A m E At t t m + + + + + exp At = A( ), t

例1如果A是一个对角矩阵aazA=an试求出x=Ax的基解矩阵解由(5.34)得aaia22a2texpAt=E+中21112aannA教学课件广东第二师范学院《常微分方程》首页.结束克

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 例1 如果A是一个对角矩阵 1 2 n a a A a     =           ' 试求出 的基解矩阵 x Ax = . 解 由(5.34)得 exp At = E 1 2 1! n a a t a     +           2 1 2 2 2 2 2! n a a t a       +        

aneianettm+··+m!anant-21试求出xx的基解矩阵例202解因为22010A=十00200福而后面两个矩阵是可交换的A教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页上一真结束二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 + 1 2 ! m m m m n a a t m a       +         + 1 2 n a t a t a t e e e       =         例2 ' 2 1 . 0 2 x x   =     试求出 的基解矩阵 解 因为 2 1 0 2 A   =     2 0 0 1 0 2 0 0     = +         而后面两个矩阵是可交换的

200O02E,一20000020C故expAt=expoxexp20002102t010eXE+t+00002!0210T1TO2tX02t福0金《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页V市

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 2 0 2 , 0 2 E   =     2 0 1 0 0 , 0 0 0 0     =         故 exp At 2 0 exp( ) 0 2 t   =     0 1 exp( ) 0 0 t        2 2 0 0 t t e e   =     2 2 0 1 0 1 { } 0 0 0 0 2 ! t E t      + + +         2 2 0 0 t t e e   =     1 0 1  t     2 1 . 0 1 t t e   =    