所所以E系udox 改S当年术在,起之!于改现代术语u说HE(os单段亦由漫量 m’er代!左nt夹逼 uHeef Igh)自1bh),生足 (那量 gh称m称hh为bh包gh真 (创却u通s种「已知自」代x未 当丶Eu通常us!于两!御可具体u践任给m真可列从可冽硝 真可硼种Ⅱ已知乃是两者自所rHE1m)都具r同样 大小关系。改§当年术在表达,起之下述熟知u」代x未若mu上述 左nt夹逼Ef也是pu左nt夹逼Ef,x (所量 gh称/m 称bh为bh包gh真 于所r语整E子e成立,则m真°上述」代xu要点在于b包gh 在子无限增大时可以小到改意小,而m自所可能ru差别,之|m包p 总是要给bh包gh要小者也,所以它必须是零(起之m真去。以当 年u观点自术在来描述敉现以Em皆可§代!左nt夹逼HEEf lgh)自1bh)来加以刻划,它们之间Ⅱ关系是 师量g1≤….<gh≤gh+1≤.≤m≤…≤bh+1≤b≤.≤b 而且(h包gh量→0(小到改意小去。通常以符号gh→m←h表达之 再者,因为(bh包gh量→0所以被生足上述条件n代!Ef1gh)自 劢h)所左nt夹逼者是」代u,起之 (所量 gh→m←bh自gh→←bh→m真 (四去左nt夹過EfⅡ「被夹逼者」Ⅱ存在x自直践ud。ⅹ未 相!于代!左nt夹逼Ef(起之1gh)递增,lh)递减,而且 gh称h,(bh包gh量→0者去之「被夹逼者」u」代x,当然还可以 探讨其存在ⅹⅡ意知何在?在当丶Eu頑常s为了重建几何基础论u研 讨中,其所su夹逼Ef乃是为了夹逼代术已现u御可具体践任给 而造构者’所以是「ru造矢」,其存在x当然御成问题,而他所要 S者则是其「」代x」。到了当年uH析学’逼近法u应Su范畴自 基础H析学之代
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左net夹逼f 法gh)展左自化然产生一足为包为含真子集(创则去E包通t常 句e列t秆常句知」t未当f、题两御可具体然践则未当ft集( 绺皆列从把研讨归为于了便本绲把往後不可能述生生了t!讨;包分 较学生各则各克未当f定公研便本一後下定困h时朴基本t未当f然 皆列间 秋必即须左先明常句e列前业悉左前业悉然 等未当或「产便常句tme两」 当系然此见了人含、间釉内麽才」须于这定、题t事归各首要只後秕 法涵从把」两4b践则’滑」从把然产便本知很可能还不这 便把知 直f左时朴f然 足!1.研 然这定、题 归各首乃 後直二对归N往集这定未当ft直>恒非乃後直後夹逼不断t夹逼f ( the continuity of a straight line)两我们须于即条直t几何直後间它本 身後夹逼不断t然但後即剪列断两即条直C这大必即点P把直分隔成 不夹通t两段两由系可见然即条直後不能缺掉产生大何即点t然否则直 不後夹逼不断t对然後不才御可具体然这定未当ft帮定」t直 恒非一後缺掉常句于产间t那个点列直具了切断点後此讨然便例这 定未当ft肯定乃後直t夹逼ft解较描定绺皆列e量化然集切化讨 然通常把它叫做mert夹逼f( continuity of real number system)两它 後整个分较学t即个重于基石然後便了分较学t未当f定公t从把依 据两我们将当往後t章节生逐步逐克解说句近法左夹逼f当e公分较 生既自且广t1场两 1.2连续函数的基本概念 首先然让我们先来分较即下net夹逼ft直”恒非左应该如何赋 例往集t定义两!ney=f(x)t图象t几何直来说然(x)当即个 区间[待b这t夹逼f此一後产图象乃後即条秧逼不断」t曲两如 图1-1]便示然它可例看成即个动点P(t,f(t)当时间由t=待子t=b 便经过t轨迹然归x=t作微小t变动时然=f(t)此只能作微小t变 动两 基础分较学研即
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12.连续函数的基本概念 y [图1-1] 把上述直观内含局部化到一个取定点x0的微小邻近来看’亦即 「f(x)和∫(xo)的差别是可以小到任意小的’只要x和xo的差别小到 足够小」。改用数学语句来说·即为 对于任给ε>0,恒有δ>0使得 x-xo<6→|f(x)-f(xo)< 其实’这也就是limf(x)=f(xo)的定义是也。 【定义】(函数连续性):函数∫(x)在x=x点连续的定义就是 imf(x)=f(xo):f(x)在区间[a,之上连续的定义乃是f(x)在[a, 之中的每一点面都是连续的(亦即在[,上到处连续)。 我们也可以改用数列术语来叙述∫(x)在四,冽之上的连续性’即 设{sn}是一个取值于∫(x)的定义区间[,b之中的数列,而且 lim s=入,则恒有 inf(sn)=f,亦即imf(sn)=f(ims) [注 个函数∫(x)在一个给定点xo的连续性乃是上述极限式对于 所有以x0为其极限值的数列皆成立。由此可见,一个函数f(x)在[a 之上的连续性乃是上述局部化的连续性对于[a,b之中的每一点皆成立 ,其所包含的条件是非常庞大的 注二]:自然界各种各样的动态事物’其变动的常态是逐渐的改变’亦 即连续地改变·所以描述它们的参变量之间的函数往往自然而然地是 基础分析学之一
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第一章.实数系和函数的连续性 连续函数。当然也会有某些特殊的临界情况’会出现不连续的改变 其相应的函数就会出现不连续的「奇点」( singularity) 接著让我们研讨在闭区间[a,列之上的连续函数所具有的某些基本性 质,它们在分析学的基础理论中扮演著重要的角色。 【定理1.1】(中间值定理):设f(x)是在[a,列之上连续的函数,而 C是介乎于∫(a)和∫(b)之间的任给实数,则至少存在一个a,b之间的 点x0使得f(x0)=c。 令g(x)=f(x)-c,则由上所 (1 g(a)·g(b)=(f(a)-c)·(f(b)-c)<0 而我们所要证明者就是存在a<0<b使得g(xo)=0。由g(x)的图象 来看,它是一条端点(即(a,9(a)和(b,y(b)分居于x-轴的两侧的 条连续曲线。从几何直观上是可以想到它必须和x-轴至少有一个交点 y y=9(x)和y=-g(x)之图象 图 首先’我们要认清上述存在性的证明自然要用到实数系连续性的解析描 述’即那个左丶右夹逼数列「所夹逼者」的存在性。而下述证法也就是 利用g(x)在,b之上的连续性和g(a)·g(b)<0去构造一对左、右夹逼 数列{an}→←{n},使得其所夹逼者x0就是所求者’亦即g(xo)=0 以a,的中点(a+b)把[a,列二等分成左、右两段。若9((a+b)=0 则定理业已得证。不然,则9((a+b)≠0必然和异号的{g(a),9()}中 之一异号,因此必有一个半段1,b1]依然满足{g(a1),g(b1)}异号者 如此逐次二等分(不妨设每次的分点都不是g(x)的零点),每次总是 基础分析学之
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续b数]基之概上 具巍纸杯础理论中要得【91顾要g1要}依)保:设∫ T样是构造而得而对C介夹任数给【则少【窍个它具0 9 g傳1宛得0对=所0证令9 此个具·数系1,续性即得它们所夹任者1存一性个令理为x0个即 4=.t 再者个具glx.],续性和1[.9.-式即o mgl德=邮mg德mg1宛 【定义】:而个定义=区间癫上1b数f1x.个若理值恒小=或等 而个给定常数K个则称之谓上0界者1 bounded above.个而K则是 【f1,质≤x≤分]而个上界个亦即 质<x<分 若把上式]“≤F”改为“≥K”恒令9测称K为【f1,质≤x≤分 而个下界个而f1x.则为下0界者1 bounded below.o 上介下均0界者个通常简称为。界者1 bounded.o 【引理[[】:设f为巍上]而个,续b数个测/,是0界者 证明:上0界性和下0界性]证明之质完全而样个我们将用反证法 来证明理上。界性。 设∫lr.—巍上没0上界。将巍硎*等分为两个论中个则∫Lx 至少一而个论中上没0上界。如此逐次二等分个每次础理论中个依) 保:∫1.-理上是没0上界者个样是构造而得而对C介于夹任数给 【膑则少【他得f1x.-*橄上是没0上界 个再用 数系],续性得知存一被理所夹任]x0个亦即 邮m底=0=m 基础分析学之而
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