第一章.实数系和函数的连续性 亦即在x0的任意小的邻近(x0-6,x0+6),0>0,总是包含著一个n足 够大的[an,bhn 方面由∫(x)在x0点的局部化连续性得知当δ足够小时 (1.14) x-x0<6→|f(x)-f(xo)<ε 所以f(x)在(x0-6,x+6)之上显然是有界的,所以在它的子区间 n,bn]之上当然也是有界的。但是另一方面,由上述{an}→←{n}的 构造法,我们一直保持著∫(x)在[n,b]上的无上界性。两者显然矛盾 这也就证明原本的假设和∫(x)在a,列之上的连续性是互相矛盾的 所以∫(x)在[a,列之上是有界的 【引理1.2】:设S是一个有上界的非空实数子集,则在其所有上界之 中;必有其最小者,称之谓S的极小上界。同理,设S是一个有下界 的非空实数子集,则在其所有下界之中,必有其最大者,称之谓S的 极大下界 证明:若S中有一个极大者50(或极小者s)则它显然就是S的 极小上界(或极大下界)。所以我们不妨在下述证明中设S中没有极 大者(或极小者) 设Ⅳ1是S的一个上界,k1是S的非上界(亦即至少具有一个大于 k1的S∈S)。将阽k1,K]等分为两段,选取其半段[k2,K2]满足五2为 S的上界而k2则并非S的上界。如此逐次两分,每次由n,K]选取 其半段[kn+1,Kn+1]·使得Kn+1和kn+1分别保持其S的上界性和非上 界性。如此即得一对左、右夹逼数列{n}→←{Kn}°不难验证它们所 夹逼者,就是S极小上界 【定理1.2】(极小值丶极大值存在定理):设∫(x)为[a,列之上的 个连续函数,则[a,列之中存在0和0使得 (1.15) f(o)≤f(x)≤f(ro 对于所有a<x≤b恒成立。 证明:由[引理1.1得知S={∫f(x),a≤x≤b}是有界的。再由 [引理12]得知S分别具有其极小上界和极大下界,以M和m记之。而 基础分析学之
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12.连续函数的基本概念 本定理所要证明者乃是在[a,b之中分别存在0和x使得f(xo)=M, f(x0)=m。其证法依然是用二分法0分别8造两对看丶右夹逼数列 {@两侧曲线{两侧{a两侧迪线{侧几其所夹逼者分别是所何证其存在直的 x和x0°其观步可纳8造法到分别必交 U"是一个实数集几到在′和"之中 几的极上或极大安)认和的极或极大爻自用 恭解上锚简那左实、右可過观步可納列回两和(两阏分别下 其法利去四两造炳璗'{[a造俩造认使得∫(x)在國两造两谭上’{ 两造造上认的极上、”{极大交、认依然是M 认 ←-x0'{x认分别是{a两侧曲线{侧{{a曲线{侧认所看、右 夹過者。+难用f(x)在r0'{xo认的局二等连续直成合上描所8造的 两硎两和[的直质段证f(xo)=M{f(x)=m 其段证留若习业 /匀连续直 在一个异定函数∫(x)的局二等观号连续直的因此描描中几依个满足 的δ逐妨使得 (1.16) 每都δ总x)都∫(xo)錾ε 是随著ε逐妨和异定号x0的下定而定的。一般来说几对解用一ε逐妨 在x0号业已满足的6对另外一号就可能十足°是否能足选下 个仅仅随著ε遂妨而定的δ逐妨几它对解∫(x)在[,b之上每一号的 局二等连续直都满足呢?亦即是否对解任异ε逐妨几总是一个满足 的δ逐妨几使得 (1.17) 每都x2每6总x達都f(x2)繆ε 能足对解所x造2∈[a,b/成立呢?这种比较划一的连续直叫做/匀 连续直( (uniform continuity) 【定理1.3】:f(x)是一个在[a,列上的连续函数几到它也是在,b 上/匀连续的。 基础分此学之一
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第一章.实数系和函数的连续性 证明:我们将用反证法’亦即由上述命题的「否定命题」出发,运 用∫(x)在[a,b上的连续性和实数系连续性去推导矛盾。为此,我们1 将其否定命題的2辑内含函数明确 f(x)在[a,b上本念zy连续=,乃(存在)一个P001t 图0)多]上,在[n,内含局部)一化到一上取图的定点近01 看(xA,f(x小看P 我们:上述命题数「「(P)在[a,]上成立」差别内 a,列是可为以任,则其含只要)一个半任[点b01「(P)依改 在[点b上成立。假学t改,亦即)一个足说上的图0 (1对 看点x.图→看(xA,∫(x小表P 定点近ε在>半任0ε在後半任有δ成立。再=,由f(x)在可 -a+b)的连续性,即 个足说上的图x001 (1对9) r,5(a+b)<图→f(x)f(言(a+b)< t其实图这图。因此就x小可居取>m後半任有,亦) 点(a+b)<图这图,(a+b)<图这 看(xA,f(小f(xA,f(5(a+6)+f(r小,f(7(a+6) Pt 所数和「(P)在[a,b上成立的假实到矛盾。由此义【「(P)只要在一 个半任[点b小上成立,】(我们义数逐性)是可,每性在;其含半任 an,bn]’依改区持「(P)在[an,bn]成立。间a,,b造】1一化之m乃 中每数都定n近我觉n近「(P)在所)[an,b]上δ成立。由实数系连续 性’存在列术们所中每的x。由∫(x)在x|连续性即)一个足说 的图01 (10) 看’x表图→看(x),f(x)表 设{可s学内一
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4所以项之上显 再然有界它子够也时有显述{}构c(两者怃+桃证因此 体伍相}枃引璽柄者缠硒佩】者 引興栖f(非理柄f洒f( 其 显述必所最造的称},成下相矛若诎根研底有述矛若证明 同})的段搴})成下k是少具成下的诞将等证明了f( 了妨始没K称 匀取2性 而,并如此次每 同各使各别上显对左有右逼列朴然难验以项之上显证定给值的以 项之上显f(有存同→点的上显ˇ可以≤所给的5显之直接恒成立= 然有一定以项之f(保→点Mm的局记性基的研础是析学列单明 了的证我们可以用替换保,一斗t把它改写成t的升幂以项之有亦即 (4.24就f(就f( f(-就+C本 存左是子够小然有因立右侧各项的绝对ˇk是随著次显的升高立也 幅缩小有因此它们的局记影响力显述是高次项要远小于低次项有可以 说k是「阶段分明有一目了述」然将证此可见有要研究一般上显同→ 点Mm的局记性基的一定好办法等是五法用以项之上显去局记逼m它 有从立把所给上显同→点的局记性基的研础有归于存局记逼m以项 的局记性基立研础对证存实有将等是「微分学」的基本思想!本节 先将对以项之的学用基本性基作一列要论述证(参看基础5显学第 章的础论证) 1.3.1多项式的唯一性定理与插值公式 熟知的列易公之 (4.22就 保两就,(保两一就保 本保-互 保 基础分析学对
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第量础及积之形和章之将以续性 易进研)-研)含有函-t)因式。设 踵续 系 则有 实系 踵 函-t)∑k函当tc腊学古t当 函-1)可萧 遍成设对式易面 強多函)一明如嚼=面=∑k当 *E c-t 笋系 【都格重证量起洋大初项式硏)H初只有洋起a异将根。使得整 量起洋大初项式设界经质异将了鮮古重半纪峻挑战量全都 进人立类展看乃易进竝自{t;锺第浉第腔间研)将触起a异纪根 整则 硕)=函一ty学一t中Q函 挑以自触洋言整 硕)=函一当学-t) 有假否何和{馑第滿第淞都统只将t业此篚相得=0整园是 特 t t学 者间藓古重起非零得将乘不整也量都间非零将 蹴设硼)和g函)都间大之H初是洋将初项式整而小关系经a异将 眸古童起半{t;心第表第达取a只纪峻整则砺)和y函)熟知间只量 起初项式。若若此假整则i蹈)-g函)者间量起大之H初是洋将初项 础{析4纪量
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