上述定义是使得指数定则在指数等于整数时恒成立的唯一定义法, 即有 ()(7) a\mtn m7,7∈ z m,n∈z 注]:以有理数作为指数的定义需要用到实数系的连续性·我们将会在 往後的章节系统地研讨其本质。 0.4实数系 在概念上和研讨方法上’由有理数系到实数系是一个大幅度的跃进 在人类理性文明发展史上’这个跃进发生于纪元前五、四世纪古希 腊几何学家在定量几何基础理论的深入研究中’由长度度量而产生的 可公度性的问題。在这里我们把 Eudoxus所创的逼近原理和逼近法, 改用现代通用的术语’把从有理数系到实数系的扩张的精要之点,作 简朴明确的叙述。(参看基础几何学之一的§2.4’这是理性文明一个 重大篇章,是引人入胜丶启发人深思的一段史话。 1.不可公度直线段的发现( Hippasus)·事实胜于雄辩地证明了简单 初等的有理系是不足以表达任给两个直线段之间的比值的;足以用 来表达丶研讨长度的度量的数系肯定要包含许多许多那些不可公度的 长度比值的非比实数( irrational numbers)。总之,它是一个比有理数系 更大的数系,我们称之为实数系 2.Eudωus的比较原则和逼近原理明确了实数系和有理数系之间的 关系,以逼近法用有理数逼近非比数·从而提供了研讨实数系的有效 途径 3.在当年 Eudoxus所要研讨的长度度量问题上,比值a:b是「原 者」·对于每个n,他证明存在由a:b而定的m使得 71l1
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从而构造得a:b的一对左丶右夹逼数列{rn}和{sn},所以根本没有 「存不存在一个被它们所左丶右夹逼的实数?」这种存在性问題,因为 它就是原给的「a:b」!但是在近代数学中’特别是分析学,我们经常 会用到以种种方式构造而得的数列,因而讨论它们的极限的存在性问題 就自然而然地成为很有其必要了。归根研底’在近代数学中各种各样 的存在性定理之所本就是被上述左丶右夹逼数列所夹過者的存在性 总结上面三点’实数系的发现和理解都和长度度量问題密切关联 而实数系中任何一对左、右夹逼数列都存在有(唯 个被它们 所夹逼的实数(亦即它们的共同极限)则是直线连续不断的解析描述 称之为实数系的连续性’而它又是近代数学中各种各样存在性定理 (例如 Sturn定理、代数基本定理等等)的证明之所据。再者,实数 系是有理数系的一种自然扩张,任何一个实数都能用一对左、右夹逼 的有理数数列去唯一地描述它;反之’任给一对左丶右夹逼的有理数 数列也都描述著一个实数。这样不但简明扼要地刻划了有理数系和实 数系之间的关系’而且也提供了用有理数系去研讨实数系的有效途径 和方法。 0.5复数系 在数系的逐步扩张中,不论在概念的跳跃上和所涉及的方法论和技 术性上,从有理数系到实数系这一步都是跨得最大也是所涉最为艰巨 者。所幸者’实数系和直线段长度度量问题紧密相关,所以其直观性 极强’而且是定量几何学上必须充分理解的基础。这也就是为什麼实 数系的理解在 Eudoxus重建定量几何基础理论时业已大体完成。 相比起来,由实数系到复数系这一步实在要简单得多。本质上只是 引进一个平方为-1的「虚数」单位i( unit of imaginary number),然 後用简单自然的代数公式定义所有能够表示成a+b,a,b∈R的复数 ( complex numbers)之间的加法和乘法,即 (a+b)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a+bi).(c+ di)=(ac-bd)+(ad+ bc)i
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第一章 实数系和函数的连续性——连续函 数的基本性质和定理举例 直线是连续不断的,但是一剪即断,这是几何直观上至为明显者 但是几何直观是不能用来计算或用作分析的。 Eudoxus所创的逼近法和 逼近理论’亦即任给左丶右夹逼数列总是(唯一)存在著为其所夹逼的 实数,则把上述直观几何概念转化为便于讨论的「直线连续性的解析 描述」·从而重建定量几何基础理论及创积分法之雏形σ本章将以直 线(亦即实数系)的连续性为基础,进而研讨函数的连续性( continuity of functions 1.1实数系的连续性 当年古希腊几何学家们基于「可公度性普遍成立」这个「公设」, 对于定量平面几何的重要公式,例如矩形面积公式、毕氏定理和相似 角形定理都给以严格的证明·从而建立起洋洋大观的定量平面几何基础 初论。不可公度性的发现( Hippasus),使得古希腊的整个几何学界经历 了近半世纪的严峻挑战氵从全人类的理性文明发展史来看· Hippasus的 发现乃是人类在理解大自然的进程上·第一次触及空间本质中的连续性 它对于当年的几何基础初论而言’则是其所有论证的基本假设的全 面否定。因此其所证者,其实只是在可公度的特殊情形的证明,而不 可公度的一般情形·则整个理论亟待补证。当年 udonis就是在这样 个迫切任务的挑战下’促使他首创過近法( method of approximation
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第一章.实数系和函数的连续性 来达成几何基础论的重建工程。逼近法的思想简朴精到,它不但是理 解连续性和重建几何基础论的有效途径(如今反观’它其实也是唯 的途径)’而且其用途广泛深远,乃是整个分析学和数理分析的基本 方法’所以 Eudoxus当年在重建几何基础论的成就,其实也就是分析 学的基础和源起之所在 改用现代的术语来说· Hippasus的发现使得我们认识到有理数系是 不足以表达直线段的长度者,亦即由长度的度量( measurement of length 所自然产生的数系—一称之为实数系—一乃是一个包含有理数系为其真 子集的数系’而 Eudoxus所创的逼近法则是用有理数去理解实数的有 效途径。用通常的语句来说,乃是一种以「已知」去理解「未知」 以「简」去御「繁」的具体实践’亦即任给实数皆可用有理数列去逼 近之’从而把实数系的研讨,归于其逼近有理数列的研讨 为了便于往後分析学的研讨让我们改用现代的数列术语来叙述 Eudoxus的逼近原理和逼近法 (一) Eudoxus比较原则 当年 Eudoxus在运用其所创的逼近法去克服不可公度量在当年定量 几何基础论所产生的困难时,他充分认识到不可公度的线段比和有理 数之间比较大小的原则必须先行明确。前者是有待明确的「未知量 而後者则是业已熟悉的「已知量」,两者当然不会相等,所以乃是 或大丶或小的不等关系。由此可见,唯有明确了两者之间比较大小的 直观内含之後,才能够运用这种大小关系去以已知研讨未知。此事乃 是运用逼近法去研讨各种各样未知量的首务之要。其实,也只有确定 了体现其正确的直观内涵的比较原则’才能确保基于这种比较原则 用逼近法所逼近者乃是具有正确直观内含的待定者。例如在研讨不可 公度线段比AB:B时, Eudoxus明确其比较原则为 (1.1) AB:a'B m n分mAB mAB 二) Eudoxus過近原理 对于一个给定的不可公度线段比AB:B和任给正整数N,恒有 个非负整数m,使得 mab. AB m+I N 基础分析学之
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