28 概率论与数理统计习题全解指南 否为好品的概率) 解在被运输的物品中,随机取3件,相当于在物品中抽取3 次,每次取一件,作不啟回抽样.又根据题中说明抽取一件后,不 影响取后一件是否为好品的概率,已知当A1发生时,一件产品是 好品的概率为1-2%=0.98,从而随机取3件,它们都是好品的 概率为0.983,即 P(BA1)=0.98 同样 P(B|A2)=0.9,P(B|A3)=0.1 又知 P(A1)=0.8,P(A2)=0.15,P(A3)=0.05 现在AA,=奶,≠j,i,=1,2,3,且P(A,∪A2UA3)= P(A1)+P(A2)+P(A3)=1,由教材23页的附注知道此时全概 率公式、贝叶斯公式都能够应用,由贝叶斯公式得到 P(A1B) P(BA,P(A, P(BIASP(A,+ P(BA2)P(A)+P(BIAP(A (0.98)×0.8 0.8624 =0.8731, P(A2|B)=09×0.15 0.8624 =0.1268, P(A3B)0.13×0.05=0.0001. 0.8624 34.将A、B、C三个字母之一输入信道,输出为原字母的概 率为a,而输出为其它一字母的概率都是(1-a)/2.今将字母串 AAAA,BBBB,CCC之一输人信道,输人AAAA,BBBB,CCCC 的概率分别为p1,p2,p3(p+p2+p3=1),已知输出为ABCA, 问输入的是AAAA的概率是多少?(设信道传输各个字母的工作
第一章概率论的基本概念 29 是相互独立的.) 解以A1、B1、C1分别表示事件“输人AAAA”、“输人 BBBB”、“输入CCCC”,以D表示事件“输出ABCA”.因事件A1, B1,C1两两互不相容,且有P(A1∪B1山C1)=P(A1)+P(B1) P(C1)=p1+p2+p3=1,因此全概率公式和贝叶斯公式可以 使用(参见教材23页附注).由贝叶斯公式有 P(A1 D)=P(AID) P(D) P(D A1)p DAP+ P(d B1)p2+ P(DCi)p3 在输入为AAAA(即事件A1)输出为ABCA(即事件D)时,有两 个字母为原字母,另两字母为其他字母,所以 P(DIA1 同理P(D|B1)=P(D|C1)=a 代人上式并注意到p1 p2+p3=1,得到 P(AID) 2apl P1
第二章随机变量及其分布 1.一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3 只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分 布律 解从1~5五个正整数中随机取3个,以X表示3个数中 的最大值x的可能值为3,4,5在五个数中任取3个共有( 3 10种取法 X=3}表示取出的3个数以3为最大值,其余两个数是t, 2,仅有这一种情况,故P{X=3=1 1/10. 3 X=4表示取出的3个数以4为最大值,其余两个数可在 1,2,3中任取2个,共有种取法故P1X=4|= 3/10 X=5}表示取出的3个数以5为最大值,其余两个数可在 1,2,3,4中任取2个,共有种取法.故P{X=5} 2/(3)=3/5.PX=5也可由1-PX=3}-PX=41得 到 X的分布律为 103/106/10
第二章随机变量及其分布 31 2.将一颗骰子抛掷两次,以X表示两次中得到的小的点数, 试求X的分布律 解以Y1,Y2分别记第一次、第二次投掷时骰子出现的点 数,样本空间为 s=1(y1,y2)|y1=1,2,…,6;y2=1,2,…,6}, 共有6×6=36个样本点 X=min(Y1,Y2)所有可能取的值为1,2,3,4,5,6这6个 数,当且仅当以下三种情况之一发生时事件{X=k(k=1,2 3,4,5,6)发生: (i)Y1=且Y2=k+1,k+2,…,6(共有6-k个点); (i)Y2=k且Y1=k+1,k+2,…,6(共有6-k个点); (i)Y1=k且Y2=k(仅有一个点) 因此事件{X=k}共包含(6-k)+(6-k)+1=13-2k个 样本点,于是X的分布律为 PiX=ki 13-2k 36 ,k=1,2,3,4,5,6 或写成表格形式 X 6 11/369/367/365/363/361/36 3.设在15只同类型的零件中有2只是次品,在其中取3次, 每次任取1只,作不放回抽样.以X表示取出的次品的只数.(1) 求X的分布律;(2)画出分布律的图形 解(1)在15只零件(其中有2只次品)中抽样3次,每次任 取1只作不放回抽样,以X表示所得的次品数,X所有可能取的 值为0,1,2,且有 P{X=0} 1312
32 概率论与数理统计习题全解指南 Px=11=51413+13·1 151413 14·13)=据 PX=2}=1-P1X=0}-P1X=1}=1 分布律为 PINky 2235 X 22/3512/351/35 12/35 (2)分布律的图形如图2-1 35 2 t 进行重复独立试验,设每次试 验成功的概率为p,失败的概率为 图2 q=1-p(0<p<1) (1)将试验进行到出现一次成功为止,以X表示所需的试验 次数求X的分布律(此时称X服从以p为参数的几何分布,) (2)将试验进行到出现r次成功为止,以Y表示所需的试验 次数,求Y的分布律.(此时称Y服从以r,p为参数的巴斯卡分 布或负二项分布.) (3)一篮球运动员的投篮命中率为45%.以X表示他首次投 中时累计投篮的次数写出X的分布律,并计算X取偶数的概率 解(1)此试验至少做1次,此即X可能值的最小值.若需做 k次,则前k-1次试验均失败最后一次成功,由于各次试验是相 互独立的,故分布律为 PX=k 户=(1-p)p,k=1,2,3, (2)此试验至少做r次,若需做k次,则第k次必为成功,而前 k-1次中有r-1次成功,由于各次试验是相互独立的,故分布律 为