第一章概率论的基本概念 23 1P(A1)P(A2)…P(An)=1-(1 要使R≥0.9999,即要使1-0.04≥0.9999,亦即要使0.0001 ≥0.04”.故应有 lg0.0001 lg0.04 lg251.39792.86 因n为整数,故应有n≥3,即至少要用3只开关并联 28三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分 别为1/5,1/3,1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率 是多少 解以A表示事件“第i人能译出密码”,i=1,2,3.已知 P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4,则至少有一人能译 出密码的概率为 p=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3) 由独立性即得 3×4 3 5 也可以这样做因A1,A2,A3相互独立,知A1,A2,A3也相 互独立,即有 p=1-P(A1A243)=1-P(A1)P(A2)P(A3) 29.设第一只盒子中装有3只蓝球,2只绿球,2只白球;第二 只盒子中装有2只蓝球,3只绿球,4只白球.独立地分别在两只盒 子中各取一只球 (1)求至少有一只蓝球的概率; (2)求有一只蓝球一只白球的概率;
·24· 橛率论与数理统计习题全解指南 3)已知至少有一只蓝球,求有一只蓝球一只白球的概率 解以B2记事件“从第i只盒子中取得一只蓝球”,以W,记 事件“从第i只盒子中取得一只白球",i=1,2.由题设在不同盒 子中取球是相互独立的 (1)即需求P(B1∪B2)利用对立事件来求较方便,即有 P(B,UB2)=1-P(B1UB2)=1-P(B1B2) =1-P(B1)P(B2)=1-4×7 (2)即需求事件B1W2∪B2W1的概率注意到B1,W是互 不相容的,即B,W,=必,因而(B1W2)(B2W1)=,故有 P(BIW2UB2W1)=P(B, W2)+ P(B2W1) =P(B1)P(W2)+P(B2)P(W1) 4+2y216 9 (3)即需求条件概率p=P(B1W2UB2W1B1∪B2).因 (B1W2∪B2W1)CB1UB2,故有 P=P(B,W2UB2W1(BU B2)I/P(B,U B,) P(B1W2∪B2W1)/P(B1∪B2)=16/35 30.A、B、C三人在同一办公室工作.房间里有一部电话据 统计知,打给A、B、C的电话的概率分别为2/5,2/5,1/5.他们三 人常因工作外出,A、B、C三人外出的概率分别为1/2,1/4,1/4 设三人的行动相互独立求 (1)无人接电话的概率 (2)被呼叫人在办公室的概率, 若某一时间段打进3个电话,求 (3)这3个电话打给同一个人的概率; (4)这3个电话打给不相同的人的概率; (5)在这3个电话都打给B的条件下,B却都不在的条件概
篤一章概率论的基本概念 25 率 解①以A、B、C分别记事件A、B、C各人在办公室,以TA、 B、Tc分别记事件有人打电话给A、B、C,由题设 P(TA)=2/5,P(TB)=2/5,P(Tc)=1/5, 且知A、B、C不在办公室的概率分别为1/2,1/4,1/4.即有 P(A)=1/2,P(B)=1/4,P(C)=1/4,又知事件A,B,C相互 独立 (1)无人接电话,意味着A,B,C都发生,因已知事件A,B C相互独立,因而A,B,C也相互独立,故所求概率为 1、11 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=244-32 (2)即需求事件ATA∪BTg∪CTc的概率,一只电话只打给 个人且发话人与受话人行动是相互独立的,从而ATA,BTB, CTc两两互不相容,且A与TA,B与TB,C与Tc相互独立,故所 求概率为 P=P(ATA U BTBU CTO) P(ATA)+ P(BTB)+P(CTr) P(A)P(TA)+P(B)P(TB)+ P(C)P(Tc) =(1 13/20 (3)所求概率为 p3=P|[TA(1)TA(2)TA(3)]U[TB(1)T(2)TB(3)] ∪[Tc(1)Tc(2)Tc(3)]}, 此处TA(1),TA(2),TA(3)分别表示第1,第2,第3个电话是打给 A的,其余记号含义类似.上式中三个方括号所示的事件两两互 ①.按题意,本题只考虑题中的 关情况都是随机发生的、例如发话人与受 话人无事先约定,发话人之间也无事先约定等等,且电话只打给一个人
26 慨率论与数理统计习题全解指南 不相容,因此 p3=P[TA(1)TA(2)TA(3)]+P[TB(1)T(2)TB(3) +P[Tc(1)Tc(2)rc(3)], 又由各次电话的独立性且由题设P(TA(i))=2/5,P(T(i))= 2/5,P(Tc(i))=1/5,i=1,2,3,得 3)+(3)+() 125 (4)三个电话打给三个不相同的人,共有3!=6种搭配,例如 TA(1)T(2)Tc(3)或TA(1)TB(3)Tc(2)等这6种搭配两两互 不相容,每一种搭配的概率都是专×专x3=2(例如 PITA(1)T(2)Tc(3)]=P[TA(1)]P[TB(2)]P[Tc(3)] .) 从而所求概率为 P, 125125 (5)一只电话打给B的条件下B不在的条件概率为1/4,三只 电话都打给B的条件下而B都不在的条件概率为 1x1y1 因外来电话是相互独立的) 31.袋中装有m只正品硬币、n只次品硬币(次品硬币的两 面均印有国徽),在袋中任取一只,将它投掷r次,已知每次都得 到国徽问这只硬币是正品的概率为多少? 解以T记事件“将硬币投掷r次每次都出现国徽 记事件“所取到的是正品”,由题设P(A)=m/(m+n),P(A) =n/(m+n),P(T|A)=1,P(T|A)=1,需要求的是概率 P(A|T).由贝叶斯公式,所求概率为
第一章概率论的基本概念 27 P(AT)=2(A7) P(TAP(A P(T)P(TJAP(A+ P(TTAP(A) 2)/( n 2 32.设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为1/3,击伤的概 率为1/2,击不中的概率为1/6并设击伤两次也会导致潜水艇下 沉求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率.(提示:先求出击不 沉的概率.) 解“击沉”的逆事件为“击不沉”.击不沉潜艇仅出现于下述 两种互不相容的情况:(i)4枚深水炸弹全击不中潜艇(这一事件 记为A),(i)一枚击伤潜艇而另三枚击不中潜艇(这一事件记为 B).各枚炸弹袭击效果被认为是相互独立的,故有 P(A) 4 而 P(B) (因击伤潜艇的炸弹可以是4枚中的任一枚),又A,B是互不相容 的.于是,击不沉潜艇的概率为 P(A∪B)=P(A)+P(B)=13/64, 因此,击沉潜艇的概率为 p=1-P(AUB)=1-13/6 33.设根据以往记录的数据分析,某船只运输的某种物品损 坏的情况共有三种:损坏2%(这一事件记为A1),损坏10%(事件 A2),损坏90%(事件A3),且知P(A1)=0.8,P(A2)=0.15 P(A3)=0.05.现在从已被运输的物品中随机地取3件,发现这3 件都是好的(这一事件记为B).试求P(A1B),P(A2|B), P(A3(B)(这里设物品件数很多,取出一件后不影响取后一件是