第二章随机变量及其分布 33· PiX k p'q k (3)先写出X的分布律它是题(1)中p=0.45的情形.所求 分布律为 P|X=k}=0.45(0.55)k1,k=1,2,… 因X=∩X=k}=必,≠k,放X取偶数的概率为 PU(X=2k)=∑P{X=2k} =>0.45(0.55)2k-10.45×0.5511 1-0.5 5.一房间有3扇同样大小的窗子,其中只有一扇是打开的 有一只鸟自开着的窗子飞人了房间,它只能从开着的窗子飞出 去.鸟在房子里飞来飞去,试图飞出房间假定鸟是没有记忆的, 鸟飞向各刷窗子是随机的 (1)以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数,求X的分布律 (2)户主声称,他养的一只鸟是有记忆的,它飞向任一窗子的 尝试不多于一次以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次 数.如户主所说是确实的,试求Y的分布律 (3)求试飞次数X小于Y的概率;求试飞次数Y小于X的概 率 解(1)本题的试飞次数是指记录鸟儿飞向窗子的次数加上 最后飞离房的一次,其分布律为(参见第4题(1)) PX=k=(3)(3 ,免=1,2,… 2)由题意Y的可能值为1,2,3 Y=1表明鸟儿从3扇窗子中选对了一扇,因对鸟几而言 扇窗是等可能被选取的,故P{Y=1}=1/3 Y=2}表明第一次试飞失败(选错了窗子)失败方式有2, 故第一次失败概率为2/3,第二次,鸟儿舍弃已飞过的那扇窗,而
概率论与数理统计习题全解指南 从余下的一开一关的两窗选一,成功机会为1/2,故P{Y=2} (2/3)(1/2)=1/3 对有记忆鸟儿来说,∑PY=计=1,板PY=3}=1/3 即Y的分布律为 PY=i=1/3,i=1,2,3 (3)(i)X<Y}可分解为下列3个两两不相容的事件之 和,即 X<Y}=1(X=1)∩(Y=2)|U(X=1)∩(Y=3) U(X=2)∩(Y=3)}, 故 PX<Y}=P(X=1)∩(Y=2) +P{(X=1)∩(Y=3)} +PH(X=2)∩(Y=3)} 因为两只鸟儿的行动是相互独立的,从而 PiX< Y=PIX=PIY=2 +P{X=1}PIY=3}+P{X=2}P{Y=3} 1112 8 27 (ii) PY<X=1-PIX<YI-PIX=YH 1-8/27-∑ P{X=k)∩(Y k) 1-8/27 PiX=kIPIY=k 1-8/27-(1/3)(1/3)-(2/9)(1/3) -(4/27)(1/3)=38/81 6.一大楼装有5个同类型的供水设备调查表明在任一时刻 每个设备被使用的概率为01,问在同一时刻, (1)恰有2个设备被使用的概率是多少?
第二章随机变量及其分布 35 (2)至少有3个设备被使用的概率是多少? (3)至多有3个设备被使用的概率是多少? (4)至少有1个设备被使用的概率是多少? 解以X表示同一时刻被使用的设备的个数,则 X~b(5,0.1) (1)所求的概率为 P|X=2}=}0.12(1-0.1)3=0.0729 2 (2)所求的概率为 P{X≥3}=P{X=3+P{X=4}+P|X=5 0.1(1-0.1)2+)0.1(1-0.1)+0.1 3 4 =0.0081+0.00045+0.00001=0.00856 (3)所求的概率为 P{X≤3}=1-P{X=4」-P{X=5 1-0.00045-0.00001=0.99954 (4)所求概率为 P1X≥1}=1-PX=0 1-(1-0.1)3=0.40951 7.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3.当A发生不 少于3次时,指示灯发出信号.(1)进行了5次重复独立试验,求指 示灯发出信号的概率.(2)进行了7次重复独立试验,求指示灯发 出信号的概率 解(1)以X表示在5次试验中A发生的次数,则X b(5,0.3).指示灯发出信号这一事件可表为X≥3},故所求的概率 为 P{X≥ 3 0.3(1-0.3)
36 概率论与数理统计习题全解指南 0.34(1-0.3)+0.35=0.163 4 (2)以Y记在7次试验中A发生的次数,则Y~b(7,0.3). 故指示灯发出信号的概率为 PY≥3}=1-PY=0}-PY=1}-P|Y=2 1-0.3)7 (1-0.3)°·0.3 (1-0.3)50.32=0.353 8.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7.今各投3次 求(1)两人投中次数相等的概率;(2)甲比乙投中次数多的概率 解以X,Y分别表示甲、乙投中的次数,则 X-b(3,0.6),Y~b(3,0.7) (1)按题意需求事件{X=Y}的概率,而事件{X=Y}是 下列4个两两互不相容的事件之和: (X=0)∩(Y=0),(X=1)∩(Y=1), (X=2)∩(Y=2),(X=3)∩(Y=3) 自然,甲、乙投中与否被认为是相互独立的,从而 PX=Y}=∑P(X=i)∩(Y=) P(X=iIPIY=il (1-0.6)(1-0.7)2+(,}0.6(1-0.62(3)0.7(1-0.7)2 3 2 2(1-0.6)()0.72(1-0.7)+0.63×0 2 0.001728+0.054432+0.190512+0.074088=0.321. (2)按题意需求事件X>Y}的概率,而事件{X>Y}可 表示为下列两两互不相容的事件之和,即
第二章随机变量及其分布 37 X>Y}=(X=1)∩(Y=0)} U:(X=2)∩(Y≤1) U{(X=3)∩(Y≤2)} 由于甲、乙投中与否相互独立,所以 P{X>Y=P(X=1)∩(Y=0)} +P(X=2)∩(Y≤1)}+P{X=3)∩(Y≤2)} P(X=1)P(Y=0)+P(X=2)P(Y≤1) +P(X=3)P(Y≤2) =P(X=1)P(Y=0) +P(X=2)x[P(Y=0)+P(Y=1)] +P(X=3)[1-P(Y=3) 0.6(1-0.6)2(1-0.7) 1 2 062(1-0.6)×(1-0.7)3+(,j0.7(1-0.7) +0.63(1-0.73) 0.007776+0.093312+0.141912=0.243 9.有一大批产品,其验收方案如下,先作第一次检验:从中任 取10件,经检验无次品接受这批产品,次品数大于2拒收;否则作 第二次检验,其做法是从中再任取5件,仅当5件中无次品时接受 这批产品若产品的次品率为10%,求 (1)这批产品经第一次检验就能接受的概率 (2)需作第二次检验的概率 (3)这批产品按第二次检验的标准被接受的概率 (4)这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通 过的概率 (5)这批产品被接受的概率 解由教材第二章§2例2(第二版第39英或第三版第43 页)的说明知,若以X表示所抽得的10件产品中所含的次品数