概率论与数理统计习题全解指南 由于P(D)+P(D)=1,得知P(D)=2/3,P(D)=1/3.由贝 叶斯公式得到 P(D|R)≈P(DR) P(R DP(D P(R) P(R D)P(D)+P(RD)P(D) 1-0.02)×(2/3 196 1-0.02)×(2/3)+0.01×(1/3)-197 24.有两箱同种类的零件,第一箱装50只,其中10只一等品 第二箱装30只,其中18只一等品.今从两箱中任挑出一箱,然后 从该箱中取零件两次,每次任取一只,作不放回抽样.求(1)第 次取到的零件是一等品的概率.(2)第一次取到的零件是一等品 的条件下,第二次取到的也是一等品的概率 解以H表示事件“从第一箱中取零件”,则H表示事件“从 第二箱中取零件”由已知条件P(H)=P(H)=1/2.又以A表 示事件“第次从箱中(不放回抽样)取得的是一等品 1,2 (1)由条件P(A1H)=1/5,P(A1|于)=3/5,故 P(A1)=P(AIH)P(H)+ P(A1 HP(H) l/10+3/10=2/5 P(A1A2 (2)需要求的是P(A2A1)因P(A2A1)=P(A1),而 P(A1A2)=P(A1A2| H)P(H)+P(A1A2 H)(H) 由条件概率的含义,P(A1A2H)表示在第一箱中取两次,每次 取一只产品,作不放回抽样,且两次都取得一等品的概率因第一 箱共有50只产品,其中有10只一等品,故有P(A1A2|H) 10 同理,P(A142|)=18×1,故有 3029 P(A2/A1)P(A1A2) P(A1) P(ADLP(A1A2 H)(H)+(A1A2lH)P()
第一章概率论的基本概念 19 1817 5049230292 951 4(4929/=0.4856 25.某人下午5:00下班,他所积累的资料表明: 到家时闾5:35~5:35:40~5:45:45-5:45:3~5:5迟于5:54 乘地长的概率0.10 0.25 0.15 0.05 来汽车的概率|0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车,结果他是5:47到家 的试求他是乘地铁回家的概率. 解以H表示事件“乘地铁回家”则H表示事件“乘汽车回 家”因到家时间为5:47,它属于区间5:45~5:49,以T记“到家 时间在5:45~5:49之间”,则需要求的是概率P(HT).已知 P(T|H)=0.45,P(TH)=0.20,又因他是由掷硬币决定乘地铁 还是乘汽车因此,P(H)=P(H)=0.5由贝叶斯公式得 P(HT)≈P(HT) P(THP(H) P(T P(T)P(H)+P(TIHP(H) 0.45×0.5 0.45×0.5+0.20×0.513 26(1)设有4个独立工作的元件1,2,3,4.它们的可靠性分 别为p1,p2,p3,p4,将它们按图1-1(1)的方式联接(称为并串联 系统); (2)设有5个独立工作的元件1,2,3,4,5它们的可靠性均为 图1-1
20· 概宰论与数理统计习题全解指南 p,将它们按图1-1(2)的方式联接(称为桥式系统).试分别求这 两个系统的可靠性 解(1)以A,表示事件“第i只元件正常工作”,i=1,2,3, 4,以A表示“系统正常工作”,已知各元件是否正常工作相互独 立,且有P(A;)=p(t=1,2,3,4)由图知 A=A,[(A2A3)UA4J=A,A2A3UAA4 由加法公式及各元件工作的独立性得到 P(A)=P(A1A2A3)+P(A1A4)-P{(A1A2A3)∩(A1A4)} =P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A4)-P(A1A2A3A4) 1p2P3+p1P4-P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) p1(p4+p23-p2B3P4) 2)以A4表示事件“第i只元件正常工作”,i=1,2,3,4,5 以A表示“系统正常工作”,已知各元件是否正常工作相互独立, 且有P(A2)=p(i=1,2,3,4,5) 解法〔i)(路径穷举法)根据系统逻辑框图(图1-1(2)),将 所有能使系统正常工作的路径一一列出,再利用概率的加法定理 和乘法定理来计算系统的可靠性P(A).由图知使桥式系统正常 工作的路径有下列4条:12,45,135,432.以B记事件第j(=1, 2,3,4)条路径正常工作,即有 B,=A1A2,B2=A4As, B3=A1A3AS, B4=A2A3A4 于是得系统的可靠性为 P(A)=P(B, UB,UB,UB) P(B ∑P(BB) P(B, BB,) ls<y≤4 1≤I<j<k≤4 P(B,B,B,B) =P(A1A2)+P(A4A5) P(A,A3As)+P(A2A3A4)-P(A1A2A4As) P(A1A2AAs)-P(A1A2A3A4)-P(A,A3A.As)
第一章概率论的基本概念 21 P(A2A3A4As)-P(A1A2A3A4As) P(AJA2A3A4As)+ P(A,A2A,A,As P(A,A,ArAAs)+P(A,A ARAras 5 P (AA,,As 2 2p2+2p-5力+2p 解法(i)(全概率公式法)按元件3处于正常工作与失效两 种状态,将原系统简化为典型的并串联和串并联系统,再用全概 率公式 P(A)=P(A|A3)P(A3)+P(A|A3)P(A3) 来计算原系统的可靠性 图1-2 当元件3正常工作时,系统简化成如图()所示,当元件3失 效时,系统简化成如图(b)所示因此 P(A|A3)=P[(A1UA4)(A2UA5)] P(AA3)=P(A,A,UAAs 故 P(A)=PL(A,U AA(A,U ASIP(A) +P(A1A2∪A4A5)P(A3) 注意到 P(A1∪A4)=P(A1)+P(A4)-P(A1A4)=2p-p2 同样 P(A,U As)=2P-p A44s)=P(A1)P(A2)+P(A4)P(A3)
22 概率论与数理统计习题全解指南 P(A1)P(A2)P(A4)P(A5)=2p2-p 即得原系统的可靠性为 P(A)=(2p-p2)2p+(2p2-p4)(1-pb) 2p-+2p-5p+2p 注意:本题易犯的错误是在使用概率的加法公式时,没有注 意两事件不是不相容的,例如在(1)中应有P(A1A243∪A1A4) =P(A1A2A3)+P(A1A4)-P(A1A2A3A4),而错误地将最后 项P(A1A2A3A4)漏了 27.如果一危险惰况C发生时,一电路闭合并发出警报,我们 可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性在C发生时这些开 关每一个都应闭合,且若至少一个开关闭合了,警报就发出如果 两个这样的开关并联联接,它们每个具有0.96的可靠性(即在情 况C发生时闭合的概率),问这时系统的可靠性(即电路闭合的概 率)是多少?如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统,则至 少需要用多少只开关并联?设各开关闭合与否是相互独立的 解以A1表示事件“第i只开关闭合 P(A2)=0.96,由此可得两只这样的开关并联而电路闭合的概率 为(注意各开关闭合与否是相互独立的) P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2) =P(A1)+P(A2)-P(A1)P(A2) 2×0.96-0.962=0.9984 设需要n只这样的开关并联,此时系统可靠性R P(UA,),注意到 UA:=AlUA2U …UA=A1A2…A 且由A1,A2,…,An的独立性推得A1,A2,…,An也相互独立故 R=P(∪A1)=1-P(∪A:)=1-P(A1A2…An)