第一章概率论的基本概念 13 以A表示事件“拨号不超过3次拨通电话”,则有 A=A1UA1A2∪A1A2A3 因A1,A1A2,A1A2A3两两互不相容,且P(A1)=1/10 P(A1A2)=P(A21A1)P(A1)=1y9 P(A,A2A3)= P(A3 A,A2)P(A2lA,P(A,) 8+ 10 即有 P(A)=P(A1)+P(A1A2)+P(A1A2A3) 111_3 1010·1010 当已知最后一位数是奇数时,所求概率为 解法(i)沿用解法(i)的记号,知 P(A)=1-P(拨号3次都接不通)=1-P(A1A2A3) 1-P(A3A1A2)P(A21A1)P(A1) 8、8 91010 当已知最后一位是奇数时,所求概率为 p=1 2x3y43 19.(1)设甲袋中装有n只白球、m只红球;乙袋中装有N只 白球、M只红球今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中,再从乙袋 中任意取一只球问取到白球的概率是多少? (2)第一只盒子装有5只红球,4只白球;第二只盒子装有4只 红球5只白球先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去,然 后从第二盒子中任取一只球求取到白球的概率 解法〔)(1)E:从甲袋任取一球放入乙袋(此为试验E1)
概率论与数理统计习题全解指南 再从乙袋任取一球观察其颜色(此为试验E2).试验E是由E1和 E2合成的以R表示事件“从甲袋取得的是红球”,以W表示事件 从乙袋取得的是白球”,即有 W=SW=(R∪R)W=RW∪RW,(RW)(RW)= 于是P(W)=P(RW)+P(RW) P(WR)P(R)+ P(WR)P(R). P(R)= P(R)= 在计算P(w|R),P(W|R)时,注意在试验E2中,乙袋球数 为N+M+1只;在求P(W|R)时,乙袋白球数为N,但在求 P(W|R)时,乙袋白球数为N+1,故 P(w) n+M+In+ n+M+in+m r+N(n +m) )(N+M+1) (2)E:从第一盒中任取2只球放人第二盒(E1),再从第二盒 任取一球观察其颜色(E2)以R(i=0,1,2)表示事件“从第一盒 中取得的球中有i只是红球”,以W表示事件“从第二盒取得一球 是白球”由于R0,R1,R2两两互不相容,且R0UR1UR2=S, 故 W= sW=(RoURiUR2)w=Row+R,w+R2w 从而 P(W)=P(Row)+P(R,w)+P(R2 w) =P(W|R0)P(R0)+P(W|R1)P(R1) +P(w|R2)P(R2) 而 P(R0) 4)(9}=1/6,P(R2) 51//9 22 5/18 2/2 P(R1)=1-P(R0)-P(R2)=1-1/6-5/18=10/18
第一章概率论的基本概念 15 并注意到,在试验E2中第二盒球的个数为11,故 P(W|R0)=7/11,P(W|R1)=6/1,P(Ww|R2)=5/11, 所以 P(W)=7x1+6y1051899 53 解法[i)(1)以A表示事件“最后取到的是白球”,以B表 示事件最后取到的是甲袋中的球”,因 A=SA=(B∪B)A=BA∪BA,(BA)(BA)=, 于是 P(A)=P(BA)+P(BA) P(A B)P(B)+ P(AJB)P(B) 而 P(B)=N+M+1,P(B)-N+M, (这是因为最后是从乙袋中取球的,此时乙袋中共有N+M+1只 球,其中只有一只是甲袋中的球) 又有P(A|B)= ,P(AIB) M+NS 故 P(A) NN+M m N +M+1+MN N(n +m) m)(N+M+1 (2)以A表示事件“最后取到的是白球”,以B表示事件“最后 取到的是甲袋中的球”,因 A=SA=(B∪B)A=BA∪BA,(BA)(BA)= 得 P(A)=P(AIB)P(B)+ P(A B)P(B) 4 9×i+g×11=9
16 概率论与数理统计习题全解指南 20.某种产品的商标为“ MAXAM”,其中有2个字母脱落,有 人捡起随意放回,求放回后仍为 MAXAM”的概率 解以H1,H2,H3,H4,H依次表示事件“脱落M、M",“脱 落A、A",“脱落M、A”,“脱落ⅹ、A”,“脱落X、M”,以G表示事 件“放回后仍为 MAXAM”,所需求的是P(G).可知H1,H2,H3, H4,Hs两两不相容,且H1∪H2UH3∪H4∪H=S.已知 2\5 P(H1) 2(2 L10,P(H2) 1/10, 2/(2/ 2/2}/15 P(H3)= =4/10,P(H4)= 1121/5 I)(1 2 11(215 P(H5) 2/10 而 P(G|H1)=P(G|H2)=1, P(GH3)=P(G|H4)=P(G|H5)=1/2 由全概率公式得 P(G)=∑P(G|H1)P(H1)=1+ 2 21.已知男子有5%是色盲患者,女子有0.25%是色盲患者 今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲者,问 此人是男性的概率是多少? 解以A表示事件“选出的是男性则A表示事件“选出的是 女性”,以H表示事件“选出的人患色盲”,则表示“选出的人不患 色盲”由题设P(A)=P(A)=1/2,P(HA)=0.05,P(HA) 0.0025,所需求的概率是P(AH)由贝叶斯公式得 P(AIH)=P(AH) P(HJAP(A H) P(HTAP(A+ P(HAP(A) 0.05× 50020 0.05×+0.0025× 152521
第一章概率论的基本概念 ··17 22.一学生接连参加同一课程的两次考试.第一次及格的概 率为p,若第一次及格则第二次及格的概率也为p;若第一次不及 格则第二次及格的概率为p/2.(1)若至少有一次及格则他能取 得某种资格,求他取得该资格的概率.(2)若已知他第二次已经及 格,求他第一次及格的概率 解E:-学生接连参加一门课程的两次考试以A;表示事 件“第i次考试及格",i=1,2;以A表示“他能取得某种资格” (1)按题意A=A1∪A1A2.因A1∩(A1A2)=0,且由已 知条件 P(A1) P(A1)=1-p, P(A21A1)=p,P(A2|A1)=p/2 故 P(A)=P(A1UA1A2)= P(Ai+P(A,A2) p+P(A2|A1)P(A1)=p+(p/2)(1-p) =(3/2)p-(1/2)p2 (2)P(A1A2)= P(AA2) P(A P(A2|A1)P(A1) P(A2A1)P(A1)+P(A2A1)P(A1) p 2p 巾×p+(p/2)(1 户)p+1 23.将两信息分别编码为A和B传送出去,接收站收到时,A 被误收作B的概率为0.02,而B被误收作A的概率为0.01.信息 A与信息B传送的频繁程度为2:1.若接收站收到的信息是A,问 原发信息是A的概率是多少? 解以D表示事件“将信息A传递出去”,则D表示事件“将 信息B传递出去”,以R表示“接收到信息A”,则R表示事件“接 收到信息B”,按题意需求概率P(D|R).已知 P(R|D)=0.02,P(R|D)=0.01,且有P(D)/P(D)=2/1