于是 f(xo +Ax, yo+ Ay)-f(xo, yo) G (xo, yo)Ax+2 (xo, yo)ArAy+f(xo, yo)Ay+aAx+2BAxAy+yy p2Vx(x0,y)32+2fn(x0,y)7+fy(x0,y0)m2+o(1) 其中E=,m=y 由于2+n2=1,因此,判断f(x0,y)是否为极值的问题就转化为 判断二次型 8(5,m)=fx(x,y)52+2f(x0,y)57+fy(x0,y) 在单位圆周 S=(5,m)∈R2|52+m 上是否保号的问题
于是 2 2 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 ( , ) 2 ( , ) ( , ) 2 2 1 ( , ) ( , ) f x y x f x y x y f x y y x x y y f x x y y f x y = xx + xy + yy + + + + + − ( , ) 2 ( , ) ( , ) (1) 2 1 2 0 0 0 0 2 0 0 2 = f xx x y + f xy x y + f yy x y + o ( → 0)， 其中 x y = = , 。 由于 1 2 2 + = ，因此，判断 ( , ) 0 0 f x y 是否为极值的问题就转化为 判断二次型 2 0 0 0 0 2 0 0 g(,) = f xx (x , y ) + 2 f xy (x , y ) + f yy (x , y ) 在单位圆周 S {( , ) 1} 2 2 2 = R + = 上是否保号的问题
若二次型g(,m)是正定的,那么g(,η)在S上的最小值一定满足 min{8(,m)}=m>0。 (5,n)∈S 因此当p≠0且p充分小时 f(xo+Ax, yo+ Ay)-f(xo, yo) 2p2{(xy)2+2/0(xy)+f(x2+( ≥P2{m+o(}>0 即f(xny)为极小值
若二次型 g( ,)是正定的，那么 g( ,)在 S 上的最小值一定满足 ( , ) min { ( , )} 0 g m = S 。 因此当 0且 充分小时， 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 ( , ) ( , ) 1 ( , ) 2 ( , ) ( , ) (1) 2 1 (1) 0, 2 xx xy yy f x x y y f x y f x y f x y f x y o m o + + − = + + + + 即 ( , ) 0 0 f x y 为极小值
若二次型g(,m)是正定的,那么g(,η)在S上的最小值一定满足 min{8(,m)}=m>0。 (5,n)∈S 因此当p≠0且p充分小时 f(xo+Ax, yo+ Ay)-f(xo, yo) 2p2{(xy)2+2/0(xy)+f(x2+( ≥P2{m+o(}>0 即f(xny)为极小值。 类似地,若二次型g(5,m)为负定的,那么f(x0,y3)为极大值。 若二次型g(5,m)是不定的,同样易知f(xn,y)既不是极大值,也 不是极小值
若二次型 g( ,)是正定的，那么 g( ,)在 S 上的最小值一定满足 ( , ) min { ( , )} 0 g m = S 。 因此当 0且 充分小时， 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 ( , ) ( , ) 1 ( , ) 2 ( , ) ( , ) (1) 2 1 (1) 0, 2 xx xy yy f x x y y f x y f x y f x y f x y o m o + + − = + + + + 即 ( , ) 0 0 f x y 为极小值。 类似地，若二次型g(,) 为负定的，那么 ( , ) 0 0 f x y 为极大值。 若二次型g(,) 是不定的，同样易知 ( , ) 0 0 f x y 既不是极大值，也 不是极小值
综合以上讨论,结合代数学的知识,就得到 定理12.6.2设(xn,y)为f的驻点,f在(x02y)附近具有二阶连 续偏导数。记 f (xo, yo), b=f(xo, yo), C=f(xo, yo) 并记 =AC-B, B O 那么 (1)若H>0:A>0时f(x02y)为极小值;A<0时f(x0,y)为极大 值 (2)若H<0:f(x02y)不是极值。 (3)当H=0时,不难举例说明,∫(x,υ)可能是极值,也可能不 是极值
综合以上讨论，结合代数学的知识，就得到 定理 12.6.2 设( , ) 0 0 x y 为 f 的驻点， f 在( , ) 0 0 x y 附近具有二阶连 续偏导数。记 ( , ), ( , ), ( , ) 0 0 0 0 0 0 A f x y B f x y C f x y = xx = xy = yy ， 并记 2 AC B B C A B H = = − ， 那么 （1）若H 0： A 0时 ( , ) 0 0 f x y 为极小值； A 0时 ( , ) 0 0 f x y 为极大 值； （2）若H 0： ( , ) 0 0 f x y 不是极值。 （3）当H = 0时，不难举例说明， ( , ) 0 0 f x y 可能是极值，也可能不 是极值
例12.6.1求函数f(x,y)=x(a-x-y)(a≠0)的极值。 解先找驻点,即解方程组 x(a-x-y)-xy=0 易解出驻点为(00)(aQ(0a)和(aa) 33 再求二阶偏导数, =a-2x-2 x axon
例 12.6.1 求函数 f (x, y) = x y(a − x − y) (a 0) 的极值。 解 先找驻点，即解方程组 = − − − = = − − − = ( ) 0. ( ) 0, x a x y x y y f y a x y x y x f 易解出驻点为(0,0), (a,0), (0,a)和 3 , 3 a a 。 再求二阶偏导数， x y f a x y x y f y x f 2 , 2 2 , 2 2 2 2 2 2 = − = − − = −