Hermite阵 定理65设A,B为 Hermite矩阵,则A,B同时酉相似于 实对角矩阵AB=BA
Hermite 阵 定理 6.5 设 A B, 为 Hermite 矩阵，则 A B, 同时酉相似于 实对角矩阵 AB BA =
Rayleigh商 设A是n阶 Hermite矩阵,称 R(x)=r(x)= (Ax, x) x≠0 为A的 Ray leigh商(实数)
Rayleigh商 设 A 是n 阶 Hermite 矩阵，称 ( , ) ( ) ( ) ( , ) A Ax x R x R x x x = = ， x 0 为 A 的 Rayleigh 商（实数）
Hermite矩阵的特征值性质 定理66 1)R(kx)=R(x),k∈C.(零齐次) 2)R(x)是x的连续函数,即R(x)-R(y)≤clx-y 3)存在常数M≥m,使得m≤R(x)≤M对任意x成立, 且上下界皆可达到
Hermite矩阵的特征值性质 定理 6.6 1) R kx R x ( ) ( ) = ， k C .（零齐次） 2) R x( )是 x 的连续函数，即 R x R y c x y ( ) ( ) − − . 3) 存在常数 M m ，使得 m R x M ( ) 对任意 x 成立， 且上下界皆可达到
Hermite矩阵的特征值性质 定理67设n阶矩阵A满足A=A,若v,vn∈C",有 1=R(v),2=R(V), 则成立Av1=1v,Avn=1nvn
Hermite矩阵的特征值性质 定理 6.7 设 n 阶矩阵 A 满足 H A A = ，若 1 , n n v v C ，有 1 1 ( ), ( ) = = R v R v n n ， 则成立 1 1 1, Av v Av v = = n n n
Hermite矩阵的特征值性质 定理68(极小极大原理)设A=A,1≥12…≥n为其特征值,则 A=max min r(x) 极大极小 SK =mn·max(x 极小极大 Snk41x∈S 其中S三C"为k维子空间 推论:设A同定理68,则存在k维子空间V与n-k+1维子空间 n-k+1 使得 n =min r(x)=max r(x) X∈Vn-k+1
Hermite矩阵的特征值性质 定理 6.8 （极小极大原理）设 H A A = ， 1 2 n 为其特征值，则 max min ( ) k k k S x S R x = 极大极小 1 1 min max ( ) n k n k S x S R x − + − + = 极小极大 其中 n k S C 为 k 维子空间. 推论：设 A 同定理 6.8，则存在k 维子空间Vk 与n k − +1维子空间 Vn k − +1，使得 1 min ( ) max ( ) k n k k x V x V R x R x − + = =