6.1.2矩形脉冲函数 复变函数与积兮变换 宽度为τ,幅度为E(E>0)的矩形脉冲函数为 E P2(t)= T2T2
6.1.2 矩形脉冲函数 宽度为t , 幅度为E(E 0)的矩形脉冲函数为 , ; 2 ( ) 0, t . 2 E t p t t t t o t 2 t 2 t E p (t) t . .
6.1.38函数 复变函 在物理学和工程技术中,除了连续分布量之外, 数还有集中作用在一点的量例如,点电荷、点热源、 与质点、单位脉冲等.下面分析在原点处分布单位质 量的情况 变换 如果一单位质量的物质均匀分布在原点的闭邻 域6,引之内,这时6,引内的每一点的密度Pe Pa(x)=2e xE[-E,el 0,xg[-E,圳
6.1.3 d 函数 在物理学和工程技术中, 除了连续分布量之外， 还有集中作用在一点的量. 例如，点电荷、点热源、 质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处分布单位质 量的情况. 如果一单位质量的物质均匀分布在原点的闭邻 域[-e ,e]之内, 这时[-e ,e]内的每一点的密度 1 , 2 e e 1 , [ , ]; ( ) 2 0, [ , ]. x x x e e e e e e
复变 很自然,原点处分布单位质量的质点情形可认 副为是上述情形当E→0时的极眼并用6(x)表示密 刻度分布的极限在直观上可以看作 与积分变换 6(x) 0.x≠0. 根据密度的定义,密度函数在区间内的积分应 该是在此区间上分布的总质量.因此,应有 ∫c δ(x)dx=1
很自然, 原点处分布单位质量的质点情形可认 为是上述情形当 e 0 时的极限, 并用d (x)表示密 度分布的极限. 在直观上可以看作 , 0; ( ) 0, 0. x x x d 根据密度的定义，密度函数在区间内的积分应 该是在此区间上分布的总质量. 因此，应有 d (x)dx 1.
针对这类问题,20世纪30年代,英国物理学家 复变函数与积分变一 Dirac引进了满足以上性质的“函数”,称为“δ函数 嶽并且要求对任何连续函数f(x),都有 6(x)f(x)dx=∫(0) 但是,从古典意义下的函数积分概念来看,这 换些都是不合理的因为∞不是确定的数,它表明变量 的变化趋势,所以,δ(0)=+∞无意义.而积分值与函 数在个别点的值无关,这样,除一点外,处处为零的
针对这类问题, 20世纪30年代, 英国物理学家 Dirac引进了满足以上性质的“函数” , 称为“d 函数” , 并且要求对任何连续函数f (x), 都有 d (x) f (x)dx f (0). 但是, 从古典意义下的函数积分概念来看, 这 些都是不合理的. 因为不是确定的数, 它表明变量 的变化趋势, 所以, d (0)=+无意义. 而积分值与函 数在个别点的值无关, 这样, 除一点外, 处处为零的
复函数积分也应为零从而,δ函数的上述性质在古典 变 意义下都不可能成立,也是不合理的因此在很长 赵一段时期,⑧函数没有被数学家们接受但以 Dirac 与 利为代表的物理学家们继续使用这个“怪”函数因为 这个结论完全符合物理实验的结果,物理学家们觉得 变 换它是一个“很好用”的有力工具.直到20世纪50年代 法国数学家 L Shwartz建立了广义函数的理论.在他 的理论中,δ函数已不是通常意义下的函数而属于
函数积分也应为零. 从而, d 函数的上述性质在古典 意义下都不可能成立, 也是不合理的. 因此, 在很长 一段时期, d 函数没有被数学家们接受. 但以 Dirac 为代表的物理学家们继续使用这个“怪”函数. 因为 这个结论完全符合物理实验的结果, 物理学家们觉得 它是一个“很好用” 的有力工具. 直到20世纪50年代， 法国数学家L. Shwartz建立了广义函数的理论. 在他 的理论中，d 函数已不是通常意义下的函数, 而属于