东北大学：《中心仿射微分几何》课程教学资源（知识讲稿，共五章，数学系：刘会立）

这里,函数定义为 0<(sign())f (27) 对所有的切向量场,向量场 gradE定义为 G(gradE, v) 显然,梯度算子 gradE依赖于G。 ()对于一个相对法化{Y,y},有G(Y)=-h(y),参见(2.311vy)。 )由(i)和(iv),显然,对于一个正则超曲面,存在无数个不同的相对法化 2.3.5.2法化与外积 设Det与Det*是一对固定的对偶行列式形式,利用这两个行列式形式定义的外积结 构(11.4),对任意标架场1,…,n,相对法化向量对{Y,引}满足 dr(v1),……,dr(t Det(dz(u1) )(1 dY(vn1),,,dY(tn)dY(v1),……,dY(vn Det"(dY(on),., dY(un),Y) w*(Det,Y)(a 显然,Y与y不依赖于对偶行列式形式对Det与Det的选择。 2.3.6正则余法向量场的高斯结枃方程 对于正则超曲面x,由(23.3)x的余法向量场Y也定义了一个超曲面浸入。因此,在正则超 曲面x上,对任意余法向量场Y,存在唯一的分解 VdY(w)=dY(V*w)-S(Y)(u, )Y 其中S:=S(Y)是一个对称(0,2)-张量场,ⅴ*:=V"(Y)是一个无挠仿射联络。局部的有: 0,0 r=r*0,Y-Sir 2.3.7余法向量丛中联络与体积形式的相容性 设x是正则超曲面,则有诱导联络与体积形式的相容性: V*w=V*(Y)u(Y)=0. 其证明类似于命题22.3.1。 2.3.8联络与双绲性形式的相容性:共轭联络 我们现在讨论联络与双线性形式的相容性,这时,正则性仍然是必须的

ùp§¼êτ½Â 0 < (sign(f))f =: exp(2τ ), é¤kƒ•þ|v§•þ|gradGτ ½Â G(gradGτ, v) = vτ = dτ (v). w,§FݎfgradG6uG" (v) éu‡ƒé{z{Y, y}§kG(Y ) = −h(y)§ë„(2.3.1.1.iv)" (vi)d(i)Ú(iv)§w,§éu‡K‡­¡§3Ãê‡ØÓƒé{z" 2.3.5.2 {z† È Det†Det∗´é½éó1ª/ª§|^ùü‡1ª/ª½Â È( (1.1.4)§é?¿Ie|v1, . . . , vn§ƒé{z•þé{Y, y}÷v Y = [dx(v1), . . . , dx(vn)] Det(dx(v1), . . . , dx(vn), y) = [dx(v1), . . . , dx(vn)] ω(Det, y)(v1, . . . , vn) , y = [dY (v1), . . . , dY (vn)] Det∗ (dY (v1), . . . , dY (vn), Y ) = [dY (v1), . . . , dY (vn)] ω∗ (Det∗ , Y )(v1, . . . , vn) , w,§Y † y ؝6uéó1ª/ªéDet†Det∗ÀJ" 2.3.6 K{{•þ|pd(§ éuK‡­¡ x§d(2.3.3) x {{•þ|Y ½Â ‡‡­¡E\"Ïd§3K‡ ­¡xþ§é?¿{{•þ|Y §3©)µ ∇vdY (w) = dY (∇∗ vw) − Sˆ(Y )(v, w)Y. Ù¥Sˆ := Sˆ(Y )´‡é¡(0,2)-Üþ|§∇∗ := ∇∗ (Y )´‡ÃL•éä"ÛÜkµ ∂j∂iY = Γ∗k ij∂kY − Sˆ ijY. 2.3.7 {{•þm¥éä†NÈ/ªƒN5 x´K‡­¡§Kkpéä†NÈ/ªƒN5µ ∇∗ω ∗ = ∇∗ (Y )ω ∗ (Y ) = 0. Ùy²aqu·K2.2.3.1" 2.3.8 éä†V‚5/ªƒN5µ
Ýéä ·‚y3?Øéä†V‚5/ªƒN5§ùž§K5E,´7L" 23

2.3.8.1命题 设x是一个正则超曲面,z是一个截向量场,Y是一个余法向量场。则G=G(Y),V=V(z) V*=V*(Y)满足 2)+G(t1,V2)+h(n,t2)<dY(t1) 证明:由G的定义(2.311),x的高斯型结构方程(2222),Y的高斯型结构方程(23.6),有 G(Y)(t1,2 <dY(v1),dx(v2)> VudY(u1), dr(02)>+< dY(n), udc(u2)> dr(u2)>+<dy(o1), dz(vuv2)+h( 这里,对空间V和*,我们用了相同的符号V。口 2.3.8 3.2 设x是一个正则超曲面,y是一个截向量场,Y是一个余法向量场,u=u(y),V=V(y),u* (Y),V*=V*(Y),G=G(Y)。则下面的叙述是等价的 (1){Yy}是x的一个相对法化。 (2)由y和Y诱导的结构满足下面的条件: (i)对任意的对偶行列式形式对,有 )·(Det,y)(v )=det(g(, Ui)) (i)G(1,v2)=G(Vt1,v)+G(1,V2).这里,t,是M上的切向量场 证明:(2)→(1):由(2.34.1),(2i等价于<Y,y>=1,(2i)与(23.8.1)表明<dY,y>=0,这样我 们得到<Y,d>=0.因此{Y,y}是x的一个相对法化。(1)→(2)显然。 2.3.8.3定义 流形M上的两个仿射联络ⅴ,称为相对于非退化双线性对称形式G共轭的,如果 (Ur G(Vw01, 02)+G( 成立,这里,v,彻是M上的切向量场。 2.4诱导结构的仿射不变性 我们将证明超曲面α的依赖于截向量场或余法向量场的几何量是相对于A中的正则仿射变 换群的不变量。为此目的,我们设r:M→A是一个超曲面浸入,z:M→ⅴ是x的一个截向量 场,Y:M→Ⅴ“是x的一个余法向量场。考虑M上的对称双线性形式G=G(Y),h=h(2),S S(z), Weingarten算子S=S(x),1-形式(z),联络V=V(y),V*=V*(Y).我们考察相对于正 则仿射变换的不变量

2.3.8.1 ·K x´‡K‡­¡§z´‡•þ|§Y ´‡{{•þ|"KG = G(Y ), ∇ = ∇(z), ∇∗ = ∇∗ (Y )÷v wG(v1, v2) = G(∇∗ wv1, v2) + G(v1, ∇wv2) + h(w, v2) < dY (v1), z > . y²µdG½Â(2.3.1.1), xpd.(§(2.2.2.2), Y pd.(§(2.3.6), k wG(Y )(v1, v2) = w < dY (v1), dx(v2) > = < ∇wdY (v1), dx(v2) > + < dY (v1), ∇wdx(v2) > = < dY (∇∗ wv1), dx(v2) > + < dY (v1), dx(∇wv2) + h(w, v2)z > . ùp§émVÚV∗§·‚^ ƒÓÎÒ∇"¤ 2.3.8.2 ·K x´‡K‡­¡§y´‡•þ|§Y ´‡{{•þ|, ω = ω(y), ∇ = ∇(y), ω ∗ = ω ∗ (Y ), ∇∗ = ∇∗ (Y ), G = G(Y )"Ke¡Qã´dµ (1) {Y,y}´x‡ƒé{z" (2) dyÚY p(÷ve¡^‡µ (i) é?¿éó1ª/ªé§k ω ∗ (Det∗ , Y )(v1, . . . , vn) · ω(Det, y)(v1, . . . , vn) = det(G(vi , vj )). (ii) wG(v1, v2) = G(∇∗ wv1, v2) + G(v1, ∇wv2). ùp§vi , w ´Mþƒ•þ|" y²µ(2)⇒(1): d(2.3.4.1), (2.i)du< Y, y >= 1, (2.ii)†(2.3.8.1)L²< dY, y >= 0§ù· ‚< Y, dy >= 0. Ïd{Y, y}´x‡ƒé{z"(1)⇒(2)w,"¤ 2.3.8.3 ½Â 6/Mþü‡•éä∇§∇˜ ¡ƒéušòzV‚5é¡/ªG
ݧXJ wG(v1, v2) = G(∇˜ wv1, v2) + G(v1, ∇wv2) ¤á§ùp§vi , w´Mþƒ•þ|" 2.4 p(•ØC5 ·‚òy²‡­¡x6u•þ|½{{•þ|AÛþ´ƒéuA¥K•C †+ØCþ"d8§·‚x : M → A´‡‡­¡E\§z : M → V´x‡•þ |§Y : M → V∗´x‡{{•þ|"ÄMþé¡V‚5/ªG = G(Y )§h = h(z)§Sˆ = Sˆ(z)§Weingarten ŽfS = S(z)§1-/ªθ(z)§éä∇ = ∇(y), ∇∗ = ∇∗ (Y ). ·‚ ƒéu K•C†ØCþ" 24

设α:A→A是一个正则仿射变换,La:Ⅴ→Ⅴ是α的伴随线性变换(参见12.1节 则ax:M→A也是一个超曲面浸入,且Laz:M→V,(La)-Y:M→V*是它的一对截、余法 向量场。应用第一章的(1.2.4),以及dLa=La,d(ax)=Ladx,有 <Y,z> <(L)-Y,dax>=<(L)-1Y,Ladx>=<Y,dx>=0. 特别的,若y是一个相对法向量,则Lay也是一个相对法向量,因为 <d(Lo-lY, Lay >=<(L])-IdY, Lay >= dY,y>=0 我们用Ga,ha,Sa,等表示与超曲面ax有关的量 诱导结构的仿射不变性是指对超曲面x,向量对{Y,2}与向量对{(L)-1Y,La2在M上定义 了相同的结构,即Ga=G,ha=h,等等。仿射不变性的证明并不要求超曲面是正则的。 2.4.1命题 设x是一个超曲面,a:A→A是一个仿射变换,则 (i)G:=G(Y)是仿射不变的,即Ga=G i)x是正则的当且仅当ar是正则的。 (i)若x是正则的,则(M,G)是一个伪黎曼流形且这个伪黎曼结构是仿射不变的。 (iv)由 Weingarten算子定义的结构是仿射不变的,即Sa=S,ba=6 (y)由截向量场的高斯方程2.2.21定义的结构是仿射不变的,即Va=V,ha=h (vi)若x是正则的,由余法向量场的高斯方程236定义的结构是有意义的且是仿射不变的, 即 证明:(i)对切向量场v,,有 Ga(,)=<d(a)-Y)(),dax)(u)> <(L)-ldY(),(Ladx)()> (i)正则性的定义(2.3.3)及Ga=G。 (il由(i)和(i)可得(i)l (iv)由 Weingarten方程,有 Lz(u)=dr(S(u))+8(u) Laid()y Ladr( s(o))+ late(u)zl dAzu da (S(o))+B(u)Laz 与dLa2(u)=-dar(Sa()+ba(v)Laz比较可得结论 (v)对Va与V,有 (Va)uw=(da.z)-(V,dac(w)-ha(u, a)La2) (Ladr) La(v,dz(w)-h(v, w)a (dx)-(v,dr(w)-h(u, w)z)

α : A → A´‡K•C†§Lα : V → V´αŠ‘‚5C†£ë„1.2.1!¤" Kαx : M → A´‡‡­¡E\§…Lαz : M → V, (L ∗ α ) −1Y : M → V∗´§é!{{ •þ|"A^1Ù(1.2.4), ±9dLα = Lα, d(αx) = Lαdx, k < (L ∗ α ) −1Y, Lαz > = < Y, z > < (L ∗ α ) −1Y, dαx > = < (L ∗ α ) −1Y, Lαdx >=< Y, dx >= 0. AO§ey´‡ƒé{•þ§KLαy´‡ƒé{•þ§Ï < d(L ∗ α ) −1Y, Lαy >=< (L ∗ α ) −1 dY, Lαy >=< dY, y >= 0. ·‚^Gα, hα, Sα, . . . L«†‡­¡αxk'þ" p(•ØC5´é‡­¡x§•þé{Y, z}†•þé{(L ∗ α ) −1Y, Lαz} 3Mþ½Â ƒÓ(§=Gα = G, hα = h, "•ØC5y²¿Ø‡¦‡­¡´K" 2.4.1 ·K x´‡‡­¡§α : A → A´‡•C†§K (i) G := G(Y )´•ØC§=Gα = G" (ii) x´K…=αx´K" (iii) ex´K§K(M, G)´‡iù6/…ù‡iù(´•ØC" (iv) dWeingartenŽf½Â(´•ØC§=Sα = S, θα = θ" (v) d•þ|pd§2.2.2.1½Â(´•ØC§=∇α = ∇, hα = h. (vi) ex´K§d{{•þ|pd§2.3.6½Â(´k¿Â…´•ØC§ =∇∗ α = ∇∗ , Sˆ α = Sˆ. y²µ(i) 郕þ|v, w§k Gα(v, w) = < d((L ∗ α ) −1Y )(v), d(αx)(w) > = < (L ∗ α ) −1 (dY (v),(Lα(dx))(w) > = < dY (v), dx(w) >= G(v, w). (ii) dK5½Â(2.3.3)9Gα = G" (iii) d(i)Ú(ii)Œ(iii)" (iv) dWeingarten§§k dz(v) = −dx(S(v)) + θ(v)z, Lα{dz(v)} = −Lα{dx(S(v))} + Lα{θ(v)z}, dLαz(v) = −dαx(S(v)) + θ(v)Lαz. †dLαz(v) = −dαx(Sα(v)) + θα(v)Lαz 'Œ(Ø" (v) é∇α†∇§kµ (∇α)vw = (dαx) −1 (∇vdαx(w) − hα(v, w)Lαz) = (Lαdx) −1Lα(∇vdx(w) − h(v, w)z) = (dx) −1 (∇vdx(w) − h(v, w)z) = ∇vw. 25

(vi)若x是正则的,则由(②2.3.3)知Y:M→V定义了一个超曲面浸入,类似于(v)的证明可 得V 2.4.2体积形式的不变性 设u(Det,2)与u'(Det*,Y)是超曲面x的诱导体积形式,它们不是仿射不变的,但有 Wa(Det, za)(v1,., Un)= Det(Lad(u1), Lr(un), Laz) dello·u(Det,z)(v1,…,tn) w"(Det*, Ya)(ur,., Un)= Det*(LdY(u1),., LdY(un), LY det(la).w(Det*, Y)(u1,., U, det(la).w"(Det*, Y)(or,., Un) 即体积形式u(Det,x)与u*(Det*,Y)经仿射变换后相差一个非零常数因子。因此,x的每个截向 量场z与每个余法向量场Y诱导了一个体积形式的等价类[u(Det,2与[(Det,Y),每一类中 的两个体积形式相差一个非零常数。这两个等价类是仿射不变的,但体积形式本身不是仿射不变 的。这两个等价类是仿射微分几何的几何不变量。 2.5超曲面的结构定理 用结构的观点考查仿射几何主要涉及两个方面:一是正则性(非退化性),二是相对法化 由前面的讨论我们知道,所有的正则性概念是等价的。正则性的假设蕴涵着 ·对称双线性形式类{G(Y)Y是余法向量场}在M上定义了一个正则共形结构;由于M是连 通的,所以G(Y)的指标indG(Y)是一个与Y无关的常数。 ·对称双线性形式类{h(x)是截向量场}在M上定义了一个正则共形结构;这个结构与共形 类{G(Y)}定义的结构是一致的。 ·体积形式ω(Y)是非平凡的。 ·每一个余法映射Y定义了一个联络V“(Y)及一个 Weingarten形式S(Y),因而可以研究V V*和G的相容性。 ●存在无限多个超曲面x的相对法化;余法向量场的集合与截向量场的集合之间存在一个 由(2.35.1,i)给出的1-1对应 2.5.1相对法化结构定理 设x是一个正则超曲面,y是一个截向量场,Y是一个余法向量场,,v1是M上的切向量 场,=(y),*=(Y),G=G(Y),V=V(y),V*=V(Y)。则下面的叙述等价 (1){Y,y是x的一个相对法化,即<Yy>=1,<Y,dy>=0. (2)<Y,y>=1,<dY,y>=0. (3)Y与y诱导的结构满足相容条件:

(vi) ex´K§Kd(2.3.3)Y : M → V∗½Â ‡‡­¡E\§aqu(v) y²Œ ∇∗ α = ∇∗"¤ 2.4.2 NÈ/ªØC5 ω(Det, z)†ω ∗ (Det∗ , Y )´‡­¡xpNÈ/ª§§‚Ø´•ØC§kµ ωα(Det, zα)(v1, . . . , vn) = Det(Lαdx(v1), . . . , Lαdx(vn), Lαz) = detLα · ω(Det, z)(v1, . . . , vn) ω ∗ α (Det∗ , Yα)(v1, . . . , vn) = Det∗ (L ∗ αdY (v1), . . . , L∗ αdY (vn), L∗ αY ) = det(L ∗ α ) −1 · ω ∗ (Det∗ , Y )(v1, . . . , vn) = det(Lα) −1 · ω ∗ (Det∗ , Y )(v1, . . . , vn) =NÈ/ªω(Det, z)†ω ∗ (Det∗ , Y )²•C†￾ƒ‡š"~êÏf"Ïd§xz‡• þ|z†z‡{{•þ|Y p ‡NÈ/ªda [ω(Det, z)] † [ω ∗ (Det∗ , Y )]§za¥ ü‡NÈ/ªƒ‡š"~ê"ùü‡da´•ØC§NÈ/ªØ´•ØC "ùü‡da´•‡©AÛAÛØCþ" 2.5 ‡­¡(½n ^(*:•AÛ̇9ü‡¡µ´K5£šòz5¤§´ƒé{z" dc¡?Ø·‚§¤kK5Vg´d"K5b%ºXµ • é¡V‚5/ªa {G(Y )|Y ´{{•þ|} 3Mþ½Â ‡K
/(¶duM´ë ϧ¤±G(Y )I indG(Y ) ´‡†Y Ã'~ê" • é¡V‚5/ªa {h(z)|z´•þ|} 3Mþ½Â ‡K
/(¶ù‡(†
/ a{G(Y )}½Â(´" • NÈ/ªω ∗ (Y )´š²…" • z‡{{NY ½Â ‡éä∇∗ (Y )9‡Weingarten/ªSˆ(Y )§Ï Œ±ïÄ ∇, ∇∗ÚGƒN5" • 3Áõ‡‡­¡xƒé{z¶{{•þ|8܆•þ|8܃m3‡ d(2.3.5.1,iii)‰Ñ1-1éA" 2.5.1 ƒé{z(½n x´‡K‡­¡§y´‡•þ|§Y ´‡{{•þ|§w, vi ´Mþƒ•þ |§ω = ω(y), ω ∗ = ω ∗ (Y ), G = G(Y ), ∇ = ∇(y), ∇∗ = ∇∗ (Y )"Ke¡Qãdµ (1) {Y, y}´x‡ƒé{z§=< Y, y >= 1, < Y, dy >= 0. (2) < Y, y >= 1, < dY, y >= 0. (3) Y † y p(÷vƒN^‡µ 26

(i)任意对偶行列式形式对Det和Det*诱导的体积形式u(Det,y)与u*(Det,Y)满足 (Det,Y)(,…,tn)·w(ODet,y)(t1,…,tn)=det(G(v,v) i)G(1,v)=G(Vt1,v2)+G(v1,Vn2),即V与V*相对于G是共轭的。 (4)Y与y诱导的结构满足相容条件: (i)任意对偶行列式形式对Det和De*诱导的体积形式u(Det,y)与u(Det*,Y)满足 u(Det,Y)(1,…,tn)·w(Det,y)(1,…,tn)=det(G(v,v) (i)Ⅴω=0,即体积形式u相对于诱导联络Ⅴ是平行的 定理2.5.1说明在一个正则超曲面上由一个法向量诱导的结构及其相容性条件反映了环绕空 间给出的结构当且仅当法向量是相对法向量

(i) ?¿éó1ª/ªéDetÚDet∗ pNÈ/ªω(Det, y)†ω ∗ (Det∗ , Y )÷v ω ∗ (Det∗ , Y )(v1, . . . , vn) · ω(Det, y)(v1, . . . , vn) = det(G(vi , vj )). (ii) wG(v1, v2) = G(∇∗ wv1, v2) + G(v1, ∇wv2), =∇†∇∗ƒéuG´
Ý" (4) Y † y p(÷vƒN^‡µ (i) ?¿éó1ª/ªéDetÚDet∗ pNÈ/ªω(Det, y)†ω ∗ (Det∗ , Y )÷v ω ∗ (Det∗ , Y )(v1, . . . , vn) · ω(Det, y)(v1, . . . , vn) = det(G(vi , vj )). (ii) ∇ω = 0§=NÈ/ªωƒéupéä∇´²1" ½n2.5.1`²3‡K‡­¡þd‡{•þp(9كN5^‡‡N ‚7 m‰Ñ(…={•þ´ƒé{•þ" 27