22截向量场与诱导结构 2.2.1诱导体积形式 设x:M→A是一个超曲面。 (i)一个截向量场z:M→V和一个V上的非平凡体积形式Det在M上诱导了一个非平凡体积 形式u(Det,z) (Det 2(vi., Un ) = Det(d r(u1),., dr(an), z) 这里1,,tn是一个基底。对于局部高斯基底O1,,O2,我们有下面的局部表 w(Det, z)(ain,., ain) 这里系数的指标是反对称的。 (i)两个截向量场z,之#诱导相同的体积形式u(Det,x)=ω(Det,z#)当且仅当z-z#与x(M相 切 (il由于两个行列式形式Det和Det相差一个常数因子B∈R,因此,它们的诱导体积形式也 相差同一个常数因子β∈R。所以,对任意截向量场z,行列式形式的一维向量空间Det诱导了 个体积形式的一维向量空间[(Det,2) 2.2.2结构方程 设x:M→A是一个超曲面。对于一个给定的截向量场z,有下面的 Weingarten结构方程和 高斯(Gas结构方程 2.2.2.1 Weingarten方程 (i)对于给出的截向量场z,它的一阶导数dz有唯一的分解: dz(v)=-dm(S(2)()+6(2)()2 这个分解定义了一个1-形式(2)和一个可微分线性算子S(z):T2(M)→T(M),它们都依赖于截 向量场z。切部分加的负号是为了处理问题方便。S(z)称为由截向量场z诱导的超曲面的形状算 子或 Weingarten算子。 (i)局部地,上面的方程可写为 0)z Ok c +8j 这里S是S(2)的相对于标准高斯基底的分量,6是6(2)的相对于标准高斯基底的分量 2222x的高斯(Gaus)结构方程 (i)对于给出的截向量场z,向量场v的二阶导数vad(v)有唯一的分解: V.dr()=dr(v(z)w)+h(z)(v, w)2 这里h:=h()是一个对称(0,2)-张量场;V:=V(z)是一个无挠仿射联络。V称为由z诱导的仿射 联络。 (i)局部地,对于给定的高斯基底O1,,O2,用h表示h(2)的系数,用 V(z)a a,=Ti; Onr
2.2 þ|p( 2.2.1 pNÈ/ª x : M → A´¡" (i) þ|z : M → VÚVþ² NÈ/ªDet3Mþp ² NÈ /ªω(Det, z)µ ω(Det, z)(v1 . . . , vn) := Det(dx(v1), . . . , dx(vn), z). ùpv1, . . . , vn´Ä."éuÛÜpdÄ.∂1, . . . , ∂n§·ke¡ÛÜL«µ ω(Det, z)(∂i1 , . . . , ∂in ) = ωi1,...,in ùpXêI´é¡" (ii) ü þ|z, z #pÓNÈ/ªω(Det, z) = ω(Det, z#) =z − z #x(M) " (iii) duü1ª/ªDetÚDet ~êÏfβ ∈ R§Ïd§§pNÈ/ª Ó~êÏfβ ∈ R"¤±§é?¿ þ|z§1ª/ªþm[Det]p NÈ/ªþm[ω(Det, z)]" 2.2.2 (§ x : M → A´¡"éu½ þ|z§ke¡Weingarten(§Ú pd(Gauss)(§" 2.2.2.1 Weingarten § (i) éuÑ þ|z§§ êdzk©)µ dz(v) = −dx(S(z)(v)) + θ(z)(v)z. ù©)½Â 1-/ªθ(z)Ú©5fS(z) : Tp(M) → Tp(M)§§Ñ6u þ|z"Ü©\KÒ´ ?n¯KB"S(z)¡d þ|zp¡/G f½Weingartenf" (ii) ÛÜ/§þ¡§ ∂jz = −S k j ∂kx + θjz ùpS k j ´S(z)éuIOpdÄ.©þ§θj´θ(z)éuIOpdÄ.©þ" 2.2.2.2 x pd(Gauss)(§ (i) éuÑ þ|z§þ|w ê∇vd(w)k©)µ ∇vdx(w) = dx(∇(z)vw) + h(z)(v, w)z. ùph := h(z)´é¡(0,2)-Üþ|¶∇ := ∇(z)´ÃLéä"∇¡dz p éä" (ii) ÛÜ/§éu½pdÄ.∂1, . . . , ∂n§^hijL«h(z)Xê§^ ∇(z)∂i∂j = Γk ij∂kx 18
表示仿射联络V(x2)的对称的 christoffel?号,则 8, a z =Ti Ok r+hinz 2.2.3诱导体积彩式与联络的相容性:相对法向量场 我们现在考察带有任意截向量场z,诱导结构u=(z),V=V(2)的仿射超曲面的相容性 条件 2.2.3.1命题 设z是超曲面x的一个截向量场,则u=u(Det,x),V=V(z),=(z)满足 证明:设 T(M),则 U )-∑( u(Det(dr(v1),., dz(un),2 Det(d r(u1),., d. c(Vui), Det(dr(t1),……,Vadr(v),……,dr( Det(dr(un) (dz(un) (Vn(v),…,dr(tn),z) 再利用结构方程(2222)和(2.2.2.1)得到Vu=bu。口 2.2.3.2相对法向量场 诱导联络ⅴ和体积形式ω满足相容条件Vω=0(类似于在环绕空间中Det=0)当且仅当 θ=0。这个条件等价于此截向量场满足形如 )=-dm(S(v) 的 Weingarten方程,这里S=S(x)。一个截向量场称为超曲面r的一个相对法向量场,如果 EM上,恒有θ(x)≡0。今后,我们用y表示超曲面的一个相对法向量场。超曲面x的一个体积 形式u称为相对于联络ⅴ平行的,如果Vu=0。 2.3余法丛,诱导结构,正则性 下面我们考查由超曲面r:M→A的余法向量丛所诱导的结构。这些结构中,多重线性形 式是最基本的一种 19
L«éä∇(z)é¡ChristoffelÎÒ§K ∂j∂ix = Γk ij∂kx + hijz. 2.2.3 pNÈ/ªéäN5µé{þ| ·y3 k?¿ þ|z§p(ω = ω(z)§∇ = ∇(z)¡N5 ^" 2.2.3.1 ·K z´¡x þ|§Kω = ω(Det, z), ∇ = ∇(z), θ = θ(z)÷v ∇ω = θω. y²µv1, . . . , vn, u ∈ T(M)§K (∇ω)(v1, . . . , vn; u) = (∇uω)(v1, . . . , vn) = u(ω(v1, . . . , vn)) − Xn i=1 ω(v1, . . . , ∇uvi , . . . , vn) = u(Det(dx(v1), . . . , dx(vn), z) − Xn i=1 Det(dx(v1), . . . , dx(∇uvi), . . . , dx(vn), z) = Xn i=1 Det(dx(v1), . . . , ∇udx(vi), . . . , dx(vn), z) +Det(dx(v1), . . . , dx(vn), dz(u)) − Xn i=1 Det(dx(v1), . . . , dx(∇u(vi)), . . . , dx(vn), z). 2|^(§(2.2.2.2)Ú(2.2.2.1) ∇ω = θω"¤ 2.2.3.2 é{þ| péä∇ÚNÈ/ªω÷vN^∇ω = 0 £aqu37m¥∇Det = 0¤ = θ = 0"ù^ dud þ|÷v/X dz(v) = −dx(S(v)) Weingarten§§ùpS = S(z)" þ|z¡¡xé{þ|§XJ 3Mþ§ðkθ(z) ≡ 0"8§·^yL«¡xé{þ|"¡xNÈ /ªω¡éuéä∇²1§XJ∇ω = 0" 2.3 {{m§p(§K5 e¡·d¡x : M → A{{þm¤p("ù (¥§õ5/ ª´Ä «" 19
2.3.1诱导叉线性形式 由于环绕空间中没有度量,因而仿射微分几何中的超曲面没有欧氏几何中的第一基本形式 (诱导度量),但有类似的第二基本形式。这个双线性形式可由数量乘积<,>和余法向量Y得 到。 2.3.1.1引理 (i)每一个余法截面Y:M→V*通过数量乘积在M上诱导了一个双线性形式 G(Y)(v,t):=<dY(v),dr()> i)由()中的所有的双线性形式定义了一个共形等价类,即对两个形式G(Y),G(Y#),存在恒不 为零的函数∫∈C∞(M)使得 G(Y*)=fGr (i))y*表示所有余法向量场的集合,g:={G(Y)|Y∈y*}表示所有双线性形式的集合,如 果集合9是非平凡的,则映射Y→G(Y)是双射。 (iv)高斯结构方程(2.2.2.2)中的h(2)和G(Y)满足G(Y)=-h(2)<Y,z>且<Y,z>≠0 证明:(i)双线性性和可微性显然。(i)任意两个满足Y#=fY,f∈C∞(M)的余法向量场很容易经 计算得到G(Y#)=fG(Y),因有<Y,dx>=0。(i)显然。(v)我们有 G(Y)(v,)=<dY(),dr()> Y, d r(w) Y, Vdr(a) <Y, V,dr(w)>=<Y, z> h(z(u, w) 2.3.1.2正则余法向量场 设Y是x的任意一个余法向量场, (i)Y称为在M上正则的,若 Det"(dY(u1), .. dY(un),)#0 对M上的任意一个n维标架和ⅴ*上的任意一个对偶行列式形式Det·成立。显然,正则性与 对偶行列式形式Det*的选择无关。 (i)设Y,Y#是任意两个余法向量场,则Y是正则的当且仅当Y是正则的 (ilG(Y)是正则的(非退化的)当且仅当Y是正则的。因此,所有的双线性形式{G(Y)}是正 则的。这时,称{G(Y)}为正则共形类 证明:(i)显然。i)设z:M→Ⅴ是超曲面x的一个截向量场,则在M上对任意余法向量场Y
2.3.1 pV5/ª du7m¥vkÝþ§Ï ©AÛ¥¡vkî¼AÛ¥1Ä /ª £pÝþ¤§kaq1Ä /ª"ùV5/ªdêþ¦È<, >Ú{{þY " 2.3.1.1 Ún (i) z{{ ¡Y : M → V∗ ÏLêþ¦È3Mþp V5/ª G(Y )(v, w) :=< dY (v), dx(w) > . (ii) d(i)¥¤kV5/ª½Â / da§=éü/ªG(Y ), G(Y #)§3ðØ "¼êf ∈ C ∞(M)¦ G(Y #) = fG(Y ). (iii) ^Y ∗L«¤k{{þ|8ܧG := {G(Y ) | Y ∈ Y∗} L«¤kV5/ª8ܧX J8ÜG´² §KNY → G(Y )´V" (iv) pd(§(2.2.2.2)¥h(z)ÚG(Y )÷vG(Y ) = −h(z) < Y, z > < Y, z >6= 0" y²µ(i)V55Ú5w,"(ii)?¿ü÷vY # = fY, f ∈ C ∞(M){{þ|éN´² OG(Y #) = fG(Y )§Ïk< Y, dx >= 0"(iii)w,"(iv)·k G(Y )(v, w) = < dY (v), dx(w) > = v < Y, dx(w) > − < Y, ∇vdx(w) > = − < Y, ∇vdx(w) >=< Y, z > h(z)(v, w). ¤ 2.3.1.2 K{{þ| Y ´x?¿{{þ|§ (i) Y ¡3MþK§e Det∗ (dY (v1), . . . , dY (vn), Y ) 6= 0 éMþ?¿nIeÚV∗ þ?¿éó1ª/ªDet∗¤á"w,§K5 éó1ª/ªDet∗ÀJÃ'" (ii) Y , Y #´?¿ü{{þ|§KY ´K =Y #´K" (iii) G(Y )´K£òz¤ =Y ´K"Ïd§¤kV5/ª{G(Y )}´ K"ù§¡{G(Y )}K/a" y²µ(ii)w,"(iii)z : M → V´¡x þ|§K3Mþé?¿{{þ|Y 20
有<Y,z>≠0,且由G(Y)的定义有 Det’(dY(vn),…,dY(tn),Y)·Det(dr(v1)…,dr(vn),2) <dY(v1),dr(v1)> < dr(u, dr(un)><dY(u1),2> et <dY(un), dr(u1)> <dr(un), dr(un)><dr(un),2> <Y,dx(t1)> <Y, dr(un)> <Y,x> <Y, 2> det(G(Y)(vi, Ui)) 因此,再由<Yz>≠0与Det(dr(vn1),…,dr(tn),2)≠0便得到了我们的结论。口 2.3.1.3定义与注释 231.3.1定义一个超曲面x称为正则的(或非退化的),若存在一个正则余法向量场。在这 种情况下,超曲面称为余法丛正则。 23132注释(i)的正则性与共形结构{G(Y)}的正则性是等价的 (i)对任意的Yz,张量场h(z)是非退化的当且仅当G(Y)是非退化的。 2.3.2诱导体积形式 对给定的一个超曲面x,任意一个余法向量场Y与任意一个体积形式Det*在M上诱导了一个 体积形式u'(Det*,Y): W"(Det*, Y)(U1,., Un):= Det(dY(1),., dY(on),Y) 任意一个余法向量场Y与一维向量空间Det]确定了一个一维体积形式的向量空间(Det,Y) 2.3.3正则性 设Det是一个非平凡行列式,Y是任意一个余法向量场,z是任意一个截向量场,则下面的 叙述是等价的: 1.x是正则的 2.G(Y)是正则的(非退化的) 3.h(x)是正则的(非退化的); 4.w(Y)=u(Det,Y)是一个非平凡体积形式 5.映射Y:M→V是一个超曲面浸入,且位置向量Y是Y(M)的截向量场。(因 为det(Y,dY)≠0) 我们称映射Y为x的余法高斯映射
k< Y, z >6= 0§ dG(Y )½Âk Det∗ (dY (v1), . . . , dY (vn), Y ) · Det(dx(v1), . . . , dx(vn), z) = det < dY (v1), dx(v1) > . . . < dY (v1), dx(vn) > < dY (v1), z > . . . . . . . . . . . . < dY (vn), dx(v1) > . . . < dY (vn), dx(vn) > < dY (vn), z > < Y, dx(v1) > . . . < Y, dx(vn) > < Y, x > = < Y, z > det(G(Y )(vi , vj )) Ïd§2d< Y, z >6= 0 Det(dx(v1), . . . , dx(vn), z) 6= 0B ·(Ø"¤ 2.3.1.3 ½Â5º 2.3.1.3.1 ½Â ¡x¡K£½òz¤§e3K{{þ|"3ù «¹e§¡¡{{mK" 2.3.1.3.2 5º (i) xK5/({G(Y )}K5´ d" (ii) é?¿Y, z§Üþ|h(z)´òz =G(Y )´òz" 2.3.2 pNÈ/ª 齡x§?¿{{þ|Y ?¿NÈ/ªDet∗3 M þp NÈ/ªω ∗ (Det∗ , Y )µ ω ∗ (Det∗ , Y )(v1, . . . , vn) := Det∗ (dY (v1), . . . , dY (vn), Y ). ?¿{{þ|Y þm[Det∗ ](½ NÈ/ªþm[ω ∗ (Det∗ , Y )]" 2.3.3 K5 Det∗´² 1ª§Y ´?¿{{þ|§z´?¿ þ|§Ke¡ Qã´ dµ 1. x´K¶ 2. G(Y )´K£òz¤¶ 3. h(z)´K£òz¤¶ 4. ω ∗ (Y ) = ω ∗ (Det∗ , Y )´² NÈ/ª¶ 5. N Y : M → V∗´ ¡ E \ § þY ´Y (M) þ | " £ Ï det(Y, dY ) 6= 0¤ ·¡NY x{{pdN" 21
2.3.4诱导叉线性形式与体积形式的相容性 对任意的对偶行列式形式对Det,Det’,截向量场、余法向量场对{Y,z},有 W"(Det*, Y)(u1,., Un).w(Det, 2)(01 Det’'(dY(t1),……,dY(tn),Y)·Det(dr(v1),…,dar(vn),2) <dY(1),dr(1)>…<dY(1),dx(tn)><dY(v1),z =det dr(un),dx(u1)> <dY(on), dr(un)> <dY(on),2> <Y,dx(t1)> <Y, dr(un)> <Y, 2> det(G(r)(i, Ui)) 因此,有 2.3.4.1引 设超曲面x是正则的,Y是一个余法向量场,z是一个截向量场,下面的叙述等价 i)w(Det,Y)(v,…,tn)·(Det,x2)(1,…,tn)=det(G(vn,v),对任意M上的切向量场v, ,vn及任意对偶行列式形式对Det,Det·成立; (iiG(Y)=-h(z),即截向量场与余法向量场诱导的双线性形式只差一个符号; (iv)任意一个相对于G正交的标架1,…,tn,即G(v;,vy)=∈o;=±by,给出了对偶基底对 {dr(11),……,dr(EnUn),2} 和{dY(v),,dY(tn),Y}∈V 2.3.5正则超曲面的相对法化 2.3.5.1相对法化的基本性质 设y是超曲面x的一个相对法向量场,则由 Weingarten方程,对每个余法向量场Y,我们 有<Y,dy>=0。正则超曲面的相对法化有下面的的基本性质 。()对任意给出的一个正则余法向量场y,存在唯一的一个相对法向量场满足<Y,y> 即系统<Y,dy>=0和<Y,y>=1等价于线性系统<dY,y>=0和<Y,y> 因为 rank(Y,dY)=n+1,这两个系统有唯一的一个解Y (i)对任意给出的一个相对法向量场y,存在唯一的一个余法向量场Y作为系统<Y,dr 0和<Y,y>=1的解且rank(Y,dY)=n+1 ⅲ)由()和(i),在余法向量场Y和相对法向量场y之间存在一个11对应。满足这种对应关系 的向量场对{Y,y}称为超曲面x的一个相对法化( relative normalization) iv)设{Y,y}是超曲面x的一个相对法化,f∈C∞(M)是一个处处不为零的函数。构造另一 个相对法化{Y#,y#}为 ∫Y y*: =(sign())exp(-2Ty-dz(2gradGT))
2.3.4 pV5/ªNÈ/ªN5 é?¿éó1ª/ªéDet, Det∗§ þ|!{{þ|é{Y, z}§k ω ∗ (Det∗ , Y )(v1, . . . , vn) · ω(Det, z)(v1, . . . , vn) = Det∗ (dY (v1), . . . , dY (vn), Y ) · Det(dx(v1), . . . , dx(vn), z) = det < dY (v1), dx(v1) > . . . < dY (v1), dx(vn) > < dY (v1), z > . . . . . . . . . . . . < dY (vn), dx(v1) > . . . < dY (vn), dx(vn) > < dY (vn), z > < Y, dx(v1) > . . . < Y, dx(vn) > < Y, x > = < Y, z > det(G(Y )(vi , vj )). Ïd§k 2.3.4.1 Ún ¡x´K§Y ´{{þ|§z´ þ|§e¡Qã dµ (i) < Y, z >= 1¶ (ii) ω ∗ (Det∗ , Y )(v1, . . . , vn) · ω(Det, z)(v1, . . . , vn) = det(G(vi , vj ))§é?¿Mþþ|v1, . . . , vn9?¿éó1ª/ªéDet, Det∗¤á¶ (iii) G(Y ) = −h(z)§= þ|{{þ|pV5/ª ÎÒ¶ (iv) ?¿éuGIev1, . . . , vn§=G(vi , vj ) = εiδij = ±δij , Ñ éóÄ.éµ {dx(ε1v1), . . . , dx(εnvn), z} ∈ V Ú {dY (v1), . . . , dY (vn), Y } ∈ V∗ . 2.3.5 K¡é{z 2.3.5.1 é{zÄ 5 y ´¡xé{þ|§KdWeingarten§§éz{{þ|Y §· k< Y, dy >= 0"K¡é{zke¡Ä 5µ (i) é?¿ÑK{{þ|Y §3é{þ|y÷v< Y, y >= 1"=XÚ< Y, dy >= 0Ú< Y, y >= 1 du5XÚ< dY, y >= 0Ú< Y, y >= 1§Ï rank(Y, dY ) = n + 1§ùüXÚk)Y " (ii) é?¿Ñé{þ|y§3{{þ|Y XÚ< Y, dx >= 0Ú< Y, y >= 1) rank(Y, dY ) = n + 1" (iii) d(i)Ú(ii)§3{{þ|Y Úé{þ|ym31-1éA"÷vù«éA'X þ|é{Y, y}¡¡xé{z (relative normalization)" (iv) {Y, y}´¡xé{z§f ∈ C ∞(M)´??Ø"¼ê"E, é{z{Y #, y#} ½ Y # := fY y # := (sign(f)) exp(−2τ ){y − dx(2gradGτ )}, 22