东北大学：《中心仿射微分几何》课程教学资源（知识讲稿，共五章，数学系：刘会立）

第三章正则超曲面的相对微分几何 在本章中我们将系统研究一个超曲面的相对微分几何,即带有一个固定相对法化{Y,y}的正 则超曲面的几何。首先我们列出结构方程,同以前一样,所有的系数依赖于法化向量,但本章中 我们略去标志Y和y而简单的写S(y)为S,等等 3.1超曲面的相对微分几何结构 3.1.1相对结构方程 设x:M→A是一个正则超曲面,{Y,y}是的一个固定的相对法化。则对x有下面的结构方 程 31.1.1相对 Weingarten方程 (S(v) a2 Sa, 3.1.1.2x的相对高斯方程 Vdr( dr(vw)+h(u, w)y, di ai r= Ti Ok C+ hijy 3.1.1.3Y的相对高斯方程 ()=dY(V*)-S(v,t)Y, a:aY= r*ka,. 3.1.2相对结构方程中的系数 为方便起见,我们罗列出结构方程中的系数的性质 3.1.2.1系数的性质 (i)S是一个(1,1)-张量场,即在每一点p∈M,线性算子Sp:T2(M)→T2(M)由S() (dx)-(dy()定义

1nÙ K‡­¡ƒé‡©AÛ 3Ù¥·‚òXÚï懭¡ƒé‡©AÛ§=‘k‡½ƒé{z{Y, y} K‡­¡AÛ"Äk·‚Ñ(§§Ó±c§¤kXê6u{z•þ§Ù¥ ·‚ÑIY Úy {üS(y)S§" 3.1 ‡­¡ƒé‡©AÛ( 3.1.1 ƒé(§ x : M → A´‡K‡­¡§{Y, y}´x‡½ƒé{z"Kéxke¡( §µ 3.1.1.1 ƒé Weingarten § dy(v) = −dx(S(v)); ∂iy = −S j i ∂jx. 3.1.1.2 x ƒépd§ ∇vdx(w) = dx(∇vw) + h(v, w)y, ∂j∂ix = Γk ij∂kx + hijy. 3.1.1.3 Y ƒépd§ ∇vdY (w) = dY (∇∗ vw) − Sb(v, w)Y, ∂j∂iY = Γ∗k ij∂kY − SbijY. 3.1.2 ƒé(§¥Xê B儧·‚ÛÑ(§¥Xê5Ÿ" 3.1.2.1 Xê5Ÿ (i) S´‡(1,1)-Üþ|§=3z:p ∈ M§‚5ŽfSp : Tp(M) → Tp(M)dS(v) = −(dx) −1 (dy(v))½Â" 29

i)h和S是对称(0,2)-张量场,且h是正则的并有 h(y)(,t)=<Y,Vdr()>=-<dY(v),dx(u)>=-G(Y)(v,t), <V,dy(w), y >=< dr(a), dy(o)>=-< dY(w), dx(S(o))> h(w, S(u) (iiy与Y诱导的联络是由下式定义的无挠仿射联络: (dx )-(v.dr()-h(o, w)y) (dY)-1(VdY(u)+S(v,)) V与V*相对于h是共轭的: h(1,v2)=h(Vt,t2)+h( (iv)结构方程中所有的系数是仿射不变的。 3.1.22系数的关系 (i)利齐方程( Ricci equation):相对 Weingarten算子S相对于h是自伴的,且 h(u, S(w)=h(s(o), w)= S(o, w) (i)在一个正则超曲面上,S与h确定S;反之,S与h确定S。 (i)由s的自伴性,有下面的局部表示: 3.1.2.3h的几何解释 为研究h的几何性质,设p∈M是一个点,UCM是p点的一个确定的邻域,x:U→A是 个P点的切平面上的图。图的位置向量相对于局部坐标可表示为 (u)=(u, ..., u", f(u)) 这里,表示转置。定义Z:U→V*为 z()=(-a1f,,-anf,1)2 则有<Z,dx>=0,即存在一个处处不为零的函数a∈C∞(M)使得余法向量场Y由Y=σZ给 出。局部的 hx=h(O2,0)=<Y,00x>=003Of, 即h=σ Hess,这里,Hess∫表示f相对于Ⅴ的 Hessian矩阵。由微积分我们知道, Hessian矩阵 (作为泰勒展式的第二项)定性的描述了f的图的形状。特别地,h在p点是正定(负定)的当 且仅当x(M)在p点是局部强凸的。适当的选择Y的定向,不失一般性,我们总可以假设h是正定 的。如果h是不定的,则h的指标ind(h)定性的描述了x(M)在点p邻近的双曲形状。 由(2.4.1)我们知道h是仿射不变的,特别是它的秩与指标。因此,h是仿射微分几何的基本 的几何量,它描述了一个超曲面浸入的局部仿射不变形状。显然,h的这个几何性质独立于 法化{Y,y}的选择。即若Y,Y#是任意两个具有相同定向的余法向量场,则存在一个恒正函 数∈C使得Y#=NY,h#=Mh,且h与h的秩与指标都相同

(ii) hÚSb´é¡(0,2)-Üþ|§…h´K¿k h(y)(v, w) = < Y, ∇vdx(w) >= − < dY (v), dx(w) >= −G(Y )(v, w), Sb(v, w) = − < ∇vdy(w), y >=< dY (w), dy(v) >= − < dY (w), dx(S(v)) > = h(w, S(v)). (iii) y†Y péä´deª½ÂÃL•éäµ ∇vw = (dx) −1 (∇vdx(w) − h(v, w)y), ∇∗ vw = (dY ) −1 (∇vdY (w) + Sb(v, w)Y ); ∇†∇∗ƒéuh´
ݵ wh(v1, v2) = h(∇∗ wv1, v2) + h(v1, ∇wv2). (iv) (§¥¤kX괕ØC" 3.1.2.2 Xê'X (i) |à§(Ricci Equation)µƒéWeingartenŽfSƒéuh´gŠ§… h(v, S(w)) = h(S(v), w) = Sb(v, w). (ii) 3‡K‡­¡þ§Sb†h(½S¶‡ƒ§S†h(½Sb" (iii) dSgŠ5§ke¡ÛÜL«µ S k i hkj = Sbij . 3.1.2.3 h AÛ)º ïÄhAÛ5Ÿ§p ∈ M´‡:§U ⊂ M´p:‡(½§x : U → A ´ ‡p:ƒ²¡þã"ã •þƒéuÛ܋IŒL« x(u i ) = (u 1 , . . . , un , f(u i ))t , ùp§tL«="½ÂZ : U → V∗ Z(u i ) = (−∂1f, . . . , −∂nf, 1)t . Kk< Z, dx >= 0§=3‡??؏"¼ê σ ∈ C ∞(M) ¦{{•þ|Y d Y = σZ ‰ Ñ"ÛÜ hij = h(∂i , ∂j ) =< Y, ∂j∂ix >= σ∂j∂if, = h = σHessf, ùp§Hessf L«fƒéu∇HessianÝ "d‡È©·‚§HessianÝ £ŠVЪ1‘¤½5£ã fã/G"AO/§h3p:´½£K½¤ …=x(M)3p:´ÛÜrà"·ÀJY ½•§Ø„5§·‚oŒ±bh´½ "XJh´Ø½§KhIind(h)½5£ã x(M)3:pCV­/G" d(2.4.1)·‚h´•ØC§AO´§†I"Ïd§h´•‡©AÛÄ AÛþ§§£ã ‡‡­¡E\ÛܕØC/G"w,§hù‡AÛ5ŸÕáu {z{Y, y} ÀJ"=eY , Y #´?¿ü‡äkƒÓ½•{{•þ|§K3‡ð¼ êλ ∈ C ∞¦Y # = λY , h # = λh, …h†h #†IуÓ" 30

3.1.3共轭联络 满足关系 h(v1,v2)=h(V1,v2)+h(v1,V2t 局部的 ak. i TIhri+rsi, h 的两个联络V与V“称为是相对于非退化双线性形式h的共轭联络,用{V,h,V”}表示。这个关系 显然是 Ricci引理的一个推广。而Rici引理描述了一个半黎曼度量和它的Leci- Civita联络之间的关 系(度量联络与度量的相容性) 3.1.3.1初等性质 )若{V,hV”}是无挠共轭联络,则(1,2)型张量C:=(V-V)是对称的,即C(v,2m)= C(u,v),且双线性形式h的Lev- Civita联络V(h)满足 ()=是(V+V),V=V(h) V(h)-C, h)=是(I+r“),I=I(h)+ r(h)一G (i)(0,3)型张量场C(U1,v2,t3):=h(C(t1,t2),3)是全对称的,且满足 Vh=2C=Vh (i).别的,上面的公式表明 ●h与V确定了V*,C和C ·h与V*确定了Ⅴ,C和C。 ·h与C确定了V,V*和C。 ·h与C确定了V,V*和C 证明:(i)因为v,V*是无挠联络,所以C是对称的。由{V,h,V"}的共轭性有: u(h(t1,t2))+(h(v2,t1)=h(Vut1,t2)+h(t1,V*v2)+h(Vut2,1)+h(t2,Vt21) 2h(G(V+V)a1,t2)+h(t1,(V+V)m2) 从而由 Levi-Civita联络的定义有l(V+V)=V(h)。这给出了()中的所有公式。上式的第一行 也给出了关系Vh=-V*h (i)因为C是对称的,所以C(1,t2,t3)=C(2,,3).又由定义,有 2h(C(t,t),v2) h(v,U1, U2)-h(v*u1, 02) v(h(1,t2)-h(t1,Vtv2)-h(Vt1,t2) (h(t1,v2)+h(VU1,t2)+h(v1,Vnt2) (V"h)(01, U2) (Vb)(,t2) 因为(Vh(n,v2)与(Vnb)(n1,n2)关于,2是对称的,因此C是全对称的 i)由()和(i)的结论(i)显然。口

3.1.3
Ýéä ÷v'X wh(v1, v2) = h(∇∗ wv1, v2) + h(v1, ∇wv2) ÛÜ ∂khij = Γr ikhrj + Γ∗r jkhri, ü‡éä∇†∇∗¡´ƒéušòzV‚5/ªh
Ýéä§^{∇, h, ∇∗}L«"ù‡'X w,´RicciÚn‡í2" RicciÚn£ã ‡ŒiùÝþÚ§Leci-Civitaéäƒm' X£Ýþéä†ÝþƒN5¤" 3.1.3.1 Ð5Ÿ (i) e{∇, h, ∇∗}´ÃL
Ýéä§K(1,2).Üþ C := 1 2 (∇ − ∇∗ ) ´é¡§= C(v, w) = C(w, v), …V‚5/ªhLevi-Civitaéä∇(h)÷v ∇(h) = 1 2 (∇ + ∇∗ ), ∇ = ∇(h) + C, ∇∗ = ∇(h) − C, Γ(h) k ij = 1 2 (Γk ij + Γ∗k ij ), Γ k ij = Γ(h) k ij + C k ij , Γ ∗k ij = Γ(h) k ij − C k ij . (ii) (0,3).Üþ| Cb(v1, v2, v3) := h(C(v1, v2), v3)´é¡§…÷vµ −∇h = 2Cb = ∇∗h. (iii) AO§þ¡úªL²µ • h†∇(½ ∇∗ , CÚCb" • h†∇∗(½ ∇, CÚCb" • h†C(½ ∇, ∇∗ÚCb" • h†Cb(½ ∇, ∇∗ÚC" y²µ(i) Ϗ∇, ∇∗´ÃLé䧤±C´é¡"d {∇, h, ∇∗} 
Ý5kµ w(h(v1, v2)) + w(h(v2, v1)) = h(∇wv1, v2) + h(v1, ∇∗ wv2) + h(∇wv2, v1) + h(v2, ∇∗ wv1) = 2 · h( 1 2 (∇ + ∇∗ )wv1, v2) + h(v1, 1 2 (∇ + ∇∗ )wv2) ¸ . l dLevi-Civitaéä½Âk 1 2 (∇ + ∇∗ ) = ∇(h)"ù‰Ñ (i)¥¤kúª"þª11 ‰Ñ 'X∇h = −∇∗h" (ii) ϏC´é¡§¤±Cb(v1, v2, v3) = Cb(v2, v1, v3). qd½Â§k 2Cb(v, v1, v2) = 2h(C(v, v1), v2) = h(∇vv1, v2) − h(∇∗ v v1, v2) = v(h(v1, v2)) − h(v1, ∇∗ v v2) − h(∇∗ v v1, v2) = −v(h(v1, v2)) + h(∇vv1, v2) + h(v1, ∇vv2) = (∇∗ vh)(v1, v2) = −(∇vh)(v1, v2). Ϗ(∇∗ vh)(v1, v2)†(∇vh)(v1, v2)'uv1, v2´é¡§ÏdCb ´é¡" (iii) d(i)Ú(ii)(Ø(iii)w,"¤ 31

3.13.2共轭联络的镎征 设(M,H)是一个伪黎曼流形,V,V*是两个无挠仿射联络。则下面的条件等价。 (1){V,h,V}是共轭的。 (2)(i)Levi- Civita联络V(h)满足 V)=(V+V,局部的T()=2 (i)h的共变导数Vh是全对称的,即局部的,有Vkh=Vhky 证明:由(31.3.1)很容易从(1)得到(②2)。下面由(2)推导(1)。同(31.3.1)一样定义C与C。首先我 们证明 (1,t2,v)=-(Vh)(1,t2) 因为 2C(v,t1,t2)=h(Vt1,2)-h(Vn,U2) (h(1,2)-h(t1,Vnt2)-(Vnh)(vn,t2) v(h(U1,2)-h(v1,Vtv2)-(Vh)(t1,v2) h(v1,V*2)-h(,Vt2)+(Vh)(t1,v)-(Vh)(t,2) 2C(v,t2,1)-2(Vb)(1,v2) 所以 (v,t1,v2)+C(,t2,1)=-(Vh)(1,2) 而C的对称性与ⅴh的全对称性给出C的全对称性。因此我们得到 )=-(Vnb)(1,v2) 又由定义及上式,有 (v,01,t2) (Vnb)(1,2) h(t1,Vv2)+h(Vt1,t2)-h(t1,2) 即有 wh(01, 02)=h(v,v1, v2)+ h(or, V*u2) 3133三次形式( Cubic forn) 对给定的伪黎曼流形(M,h),在所有无挠共轭联络对{V,h,V”}的集合与所有全对称(0.,3)-张 量C的集合之间有一个1-1对应。这个对应由下式给出 C(v1,2,t3)=h(C(1,v2),ta)或局部的Cik=Chk V=V(h)+C, V=V(h)-C 所以,对给定的伪黎曼流形(M,b),存在无限多的共轭结构{V(h)+C,h,V(h)-C}。C度量 了Ⅴ及V*和V(h)的偏差。C称为无挠共轭联络对{V,h,V*}的三次形式或称 Cubic形式

3.1.3.2
ÝéäA (M, h)´‡iù6/§∇, ∇∗´ü‡ÃL•éä"Ke¡^‡d" (1) {∇, h, ∇∗} ´
Ý" (2) (i) Levi-Civita éä∇(h)÷v ∇(h) = 1 2 (∇ + ∇∗ ), ÛÜ Γ(h) k ij = 1 2 (Γk ij + Γ∗k ij ); (ii) h
Cê∇h´é¡§=Ûܧk ∇khij = ∇ihkj . y²µd(3.1.3.1)éN´l(1)(2)"e¡d(2)í(1)"Ó(3.1.3.1)½ÂC †Cb"Äk· ‚y² 2Cb(v1, v2, v) = −(∇vh)(v1, v2). Ϗ 2Cb(v, v1, v2) = h(∇vv1, v2) − h(∇∗ v v1, v2) = v(h(v1, v2)) − h(v1, ∇vv2) − (∇vh)(v1, v2) −[v(h(v1, v2)) − h(v1, ∇∗ v v2) − (∇∗ vh)(v1, v2)] = h(v1, ∇∗ v v2) − h(v1, ∇vv2) + (∇∗ vh)(v1, v2) − (∇vh)(v1, v2) = −2Cb(v, v2, v1) − 2(∇vh)(v1, v2), ¤± Cb(v, v1, v2) + Cb(v, v2, v1) = −(∇vh)(v1, v2). Cé¡5†∇hé¡5‰ÑCbé¡5"Ïd·‚ 2Cb(v1, v2, v) = −(∇vh)(v1, v2). qd½Â9þª§k h(v1, ∇vv2) − h(v1, ∇∗ v v2) = 2Cb(v, v1, v2) = −(∇vh)(v1, v2) = h(v1, ∇vv2) + h(∇vv1, v2) − vh(v1, v2) =k vh(v1, v2) = h(∇vv1, v2) + h(v1, ∇∗ v v2). ¤ 3.1.3.3 ng/ª(Cubic Form) 鉽iù6/(M, h)§3¤kÃL
Ýéäé{∇, h, ∇∗}8܆¤ké¡(0,3)-Ü þCb8܃mk‡1-1éA"ù‡éAdeª‰Ñ" (i) Cb(v1, v2, v3) = h(C(v1, v2), v3) ½ÛÜ Cbijk = C r ijhrk; (ii) ∇ = ∇(h) + C, ∇∗ = ∇(h) − C. ¤±§é‰½iù6/(M, h)§3Áõ
Ý( {∇(h) + C, h, ∇(h) − C}"C Ýþ ∇9∇∗Ú∇(h) "Cb¡ÃL
Ýéäé{∇, h, ∇∗}ng/ª½¡Cubic/ª" 32

3.1.3.4曲率张量 设{V,h,V*}是共轭联络。V与V的曲率张量R,满足 h(R(t1,t2)1,m2)+h(1,F(t1,t2)2)=0 局部的 Rii hrs +Rr hks=0. 这里,我们定义 R(U, w)u: =V.Vwu-Vuvou-Vluwu; 局部的 证明:由共轭条件有,由微分我们“0,0)= t1t2h(1,u2)=h(VnV21,t2)+h(V21,Vt,2) +h(V21,V22)+h(,VVt22) 另一方面,相对于[1,2]的共轭条件有 t,l(,02)=h(Vmn-11,2)+h(n1,Vvi2) 由这两个方程,再利用[1,2=12-t22可以得到 h(R(v1,t2)u1,m2)+h(1,R(1,t2)a2)=0 共轭条件分别与相对于V和V*的共变微分有关。其中的一个推论是Vh=-V*h;另一个 推论是下面的3.1.3.5,相对于超曲面的 Weingarten算子S和 Weingarten形式S的结论 3.1.3.5共轭 Codazzi方程 设{V,h,V”}是无挠共轭联络,S是(1,1)-张量且 h(s(o), a)=: S(U, w) 则下面的关于S和的偏微分方程系统(和(i)是等价的: (i)(VnS)()=(VmS)(v),局部的,VS=VkS i)(V:S)(z2,)=(V2S)(v,o),局部的,V;Sk=V;S, 特别,若S是自伴的,即 h(s(u),w)=h(u, S(w)= S(a, a), 则()和(i)是相对于共轭联络的两个 Codazzi方程系统,称为共轭 Codazzi方程 证明:联络的共轭条件等价于(h)的逆(20)-张量场(h)满足 akhas=rikh 9+r"ik 又 VkS=akS:

3.1.3.4 ­ÇÜþ {∇, h, ∇∗}´
Ýéä"∇†∇∗­ÇÜþR§R∗÷vµ h(R(v1, v2)w1, w2) + h(w1, R∗ (v1, v2)w2) = 0 ÛÜ R s kijhrs + R ∗s rijhks = 0. ùp§·‚½Âµ R(v, w)u := ∇v∇wu − ∇w∇vu − ∇[v,w]u; ÛÜ R(∂j , ∂k)∂i = R h ijk∂h. y²µd
Ý^‡k§d‡©·‚kµ v1v2h(w1, w2) = h(∇v1∇v2w1, w2) + h(∇v2w1, ∇∗ v1w2) +h(∇v1w1, ∇∗ v2w2) + h(w1, ∇∗ v1∇∗ v2w2). ,¡§ƒéu[v1, v2]
Ý^‡k [v1, v2]h(w1, w2) = h(∇[v1,v2]w1, w2) + h(w1, ∇∗ [v1,v2]w2). dùü‡§§2|^ [v1, v2] = v1v2 − v2v1 Œ± h(R(v1, v2)w1, w2) + h(w1, R∗ (v1, v2)w2) = 0 ¤
Ý^‡©O†ƒéu∇Ú∇∗ 
C‡©k'"Ù¥‡íØ´∇h = −∇∗h¶,‡ íØ´e¡3.1.3.5§ƒéu‡­¡WeingartenŽfS ÚWeingarten/ªSb(Ø" 3.1.3.5
Ý Codazzi § {∇, h, ∇∗}´ÃL
Ýéä§S´(1,1)-Üþ… h(S(v), w) =: Sb(v, w). Ke¡'uSÚSb ‡©§XÚ(i)Ú(ii)´dµ (i) (∇vS)(w) = (∇wS)(v), Ûܧ∇iS j k = ∇kS j i . (ii) (∇∗ v1 Sb)(v2, w) = (∇∗ v2 Sb)(v1, w), Ûܧ∇∗ i Sbjk = ∇∗ jSbik. AO§eS´gŠ§= h(S(v), w) = h(v, S(w)) = Sb(v, w), K(i)Ú(ii)´ƒéu
Ýéäü‡Codazzi§XÚ§¡
ÝCodazzi§" y²µéä
Ý^‡du(hij )_(2,0)-Üþ|(h qs)÷v −∂kh qs = Γs ikh iq + Γ∗q ikh is . q ∇kS j i = ∂kS j i − Γ r ikS j r + Γr krS r i 33