东北大学：《中心仿射微分几何》课程教学资源（知识讲稿，共五章，数学系：刘会立）

个向量场X:A→V的微分dX为 dX ∑dnp(x)2 特别地,对位置向量场x有: dz= dxa 13(伪)欧几里德空间 13.1基本概念 设ⅴ是一个n维实向量空间。我们称一个非退化对称双线性形式 Φ:VxV→R 为内积,这时ⅴ称为伪欧几里德空间,简称伪欧氏空间。如果形式Φ是正定的,ⅴ称为欧几里 德空间,简称欧氏空间,Φ称为正定内积。这个双线性形式的指标indΦ是这个形式为负定的子 空间的维数的最大值(参见ON83,p47])。ind≥1的内积称为不定内积。对于欧氏空间V, 我们通常等同于ⅴ*为V。一个仿射空间A称为(伪)欧氏空间,如果A的伴随向量空间V是 (伪)欧几里德空间。我们用E表示这样的空间。空间ⅴ的一个基底(或简称基)U1,, Cn称为相对于正交的,若重(v2,)=E6,=±b,这里6是 Kronecker符号。 1.3.2标准行列式形式 设υ∈V,利用内积我们可以定义向量的模‖‖:V→R为 ll:=|(v,t) 由内积我们还可以定义长度与角的概念。用Gram矩阵的行列式我们能够给出独立于行列式形式 的平行多面体P(0,,pmn)的无向体积 VolP(po,., Pn):=det((PoPi, PoP))1 这个定义与由行列式形式定义的体积1.1.2相容当且仅当内积与行列式形式Det是相容的,即由V V,Φ的定义,利用Φ等同Ⅴ与V·,则Det满足 Det=士Det 这时称Det相对于内积是标准的。利用模的概念,我们能够引入E上的距离的概念。这样,作为 切空间的V上的内积诱导了E上的一个伪黎曼结构 1.3.3欧几里德结构 设:V×V→R与业:V×V→R是V上的两个不同的内积,即它们给出了两个欧氏空 间。则存在唯一的一个同构L:V→V使得对所有v,∈V有业(v,u)=重(Lv,t),且由于对称 性L相对于Φ必是自伴的。因此,我们能够用ⅴ的所有相对于自伴的自同构集合由Φ构造Ⅴ上的 所有内积。由于 det(亚(v,vy)= detL. det(重(t,vy) 所以与亚定义了相同的无向体积当且仅当detL=±1.诱导相同无向体积的内积的等价类称为相 似结构

‡•þ|X : A → V‡©dXµ dX = Xn j=1 da j (x)∂j . AO/§é •þ|xkµ dx = Xn j=1 dx j ∂j . 1.3 £¤îApm 1.3.1 ÄVg V´‡n‘¢•þm"·‚¡‡šòzé¡V‚5/ª Φ : V × V → R SȧùžV ¡îApm§{¡î¼m"XJ/ªΦ´½§V ¡îAp m§{¡î¼m§Φ¡½SÈ"ù‡V‚5/ªIindΦ´ù‡/ªK½f m‘ꁌŠ£ë„[O’N83, p.47]¤"indΦ ≥ 1SÈ¡Ø½SÈ"éuî¼mV§ ·‚Ï~ÓuV∗V"‡•mA¡£¤î¼m§XJAŠ‘•þmV ´ £¤îApm"·‚^EL«ùm"mV ‡Ä.£½{¡Ä¤v1, v2, . . . , vn ¡ƒéuΦ§eΦ(vi , vj ) = εδij = ±δij , ùpδ ´KroneckerÎÒ" 1.3.2 IO1ª/ª v ∈ V§|^SÈ·‚Œ±½Â•þ|| || : V → R ||v|| := |Φ(v, v)| 1 2 . dSÈ·‚„Œ±½Â݆Vg"^GramÝ 1ª·‚U ‰ÑÕáu1ª/ª ²1õ¡NP(p0, . . . , pn)ÕNÈ VolP(p0, . . . , pn) := |det(Φ(−−→p0pi , −−→p0pj ))| 1 2 . ù‡½Â†d1ª/ª½ÂNÈ1.1.2ƒN…=SȆ1ª/ªDet´ƒN§=dV, V∗ , Φ½Â§|^ΦÓV †V∗§KDet÷v Det = ±Det∗ . ùž¡DetƒéuSÈ´IO"|^Vg§·‚U Ú\EþålVg"ù§Š ƒmVþSÈp Eþ‡iù(" 1.3.3 îAp( Φ : V × V → R†Ψ : V × V → R´V þü‡ØÓSȧ=§‚‰Ñ ü‡î¼ m"K3‡ÓL : V → V¦é¤kv, w ∈ VkΨ(v, w) = Φ(Lv, w)§…dué¡ 5LƒéuΦ7´gŠ"Ïd§·‚U ^V¤kƒéuΦgŠgÓ8ÜdΦEVþ ¤kSÈ"du det(Ψ(vi , vj )) = detL · det(Φ(vi , vj )), ¤±Φ†Ψ½Â ƒÓÕNÈ…=detL = ±1. pƒÓÕNÈSÈda¡ƒ q(" 12

1.3.4距与正交变换 设更:ⅴ×V→R与亚:W×W→R分别是n维与m维伪欧氏空间的内积。称线性映 射L:V→W是一个等距,如果n=m且对所有的v,v∈V,有 亚(LU,Lu)=更(v, 对于不定内积,等距的存在性表明映射Φ的指标等于ψ的指标。对一个等距来说,V=V*蕴涵 着L*=L-1.V上的等距称为伪正交映射,所有伪正交映射构成的群称为伪正交群PO(V)(对 欧氏空间,正交群O(V))。伪欧氏空间的运动群与它的伪欧氏结构是相容的 1.4仿射空间与欧氏空间的微分几何结构 本节我们讨论不同空间的基本微分几何结构。这将使我们看到超曲面的几何结构是怎样从环 绕空间上的几何结构诱导出来的 1.4.1仿射微分几何结构 我们考虑仿射空间A为n维微分流形。在点p∈A,我们恒等于切空间Tp(A)为向量空 间,余切空间T2(A)为余向量空间v“。对每一点p∈A,我们有: 1.4.1.1几何结构 )标准的数量乘积(内积):<,>:V×V→R i)Ⅴ上体积形式的一个一维空间{Det},V*上体积形式的一个一维空间{Det};因此,我们 能确定一个定向,且相差一个常数,我们可以定义一个A上的体积形式。我们选定一个定 向 (ⅲi)jv是A上的一个无挠平坦仿射联络。 1.4.1.2相容性 仿射空间A上的仿射结构满足下面的相容性 i)一个固定的行列式形式Det与它的对偶形式Det·满足: Det’(t”,,tn)·Det(t,…,tn)=det(<t*,vy>) 这里,t”∈V,v∈V。这个关系对任意的行列式形式Det与它的对偶行列式形式Det·成 (i)可微分1-形式*:A→V*,可微分向量场v:A→V对任意v∈ⅴ满足 W<v,U>= Vu<U,U>=< Vwv,v>+<U,,Vw> 对ⅴ和ⅴ*,我们用了相同的微分符号

1.3.4 å†C† Φ : V × V → R †Ψ : W × W → R ©O´n‘†m‘î¼mSÈ"¡‚5N L : V → W´‡å§XJn = m…é¤kv, w ∈ V§k Ψ(Lv, Lw) = Φ(v, w). éuؽSȧå35L²N֍Iu؍I"é‡å5`§V = V∗ %º XL ∗ = L −1 . V þ塏N§¤kN¤+¡+P O(V)£é î¼m§+O(V)¤"î¼m$Ä+†§î¼(´ƒN" 1.4 •m†î¼m‡©AÛ( !·‚?ØØÓmć©AÛ("ùò¦·‚w‡­¡AÛ(´Nl‚ 7mþAÛ(pÑ5" 1.4.1 •‡©AÛ( ·‚ĕmAn‘‡©6/"3:p ∈ A§·‚ðuƒmTp(A)•þ mV§{ƒmT∗ p (A){•þmV∗"éz:p ∈ A§·‚kµ 1.4.1.1 AÛ( (i) IOêþ¦È£SȤµ< , >: V∗ × V → R. (ii) V þNÈ/ª‡‘m{Det}§V∗ þNÈ/ª‡‘m{Det∗ }¶Ïd§·‚ U(½‡½•§…ƒ‡~꧷‚Œ±½Â‡AþNÈ/ª"·‚À½‡½ •" (iii) ∇´Aþ‡ÃL²"•éä" 1.4.1.2 ƒN5 •mAþ•(÷ve¡ƒN5µ (i) ‡½1ª/ªDet†§éó/ªDet∗ ÷vµ Det∗ (v ∗1 , . . . , v∗n ) · Det(v1, . . . , vn) = det(< v∗i , vj >) ùp§v ∗i ∈ V∗ , vj ∈ V"ù‡'Xé?¿1ª/ªDet†§éó1ª/ªDet∗ ¤ á" (ii) Œ‡©1-/ªv ∗ : A → V∗§Œ‡©•þ|v : A → V é?¿w ∈ V ÷vµ w < v∗ , v >= ∇w < v∗ , v >=< ∇wv ∗ , v > + < v∗ , ∇wv > . éV ÚV∗§·‚^ ƒÓ‡©ÎÒ" 13

(i)所有的体积形式Det和Det*相对于联络是平行的:VDet=0,VDet=0。即对u∈ ⅴ和向量场v:A→V,u*∈ⅴ*和向量场υ*:A→V*,有: (VDet)(v1,…,tn;t):=( V,Det)(t1,…,tn)=0, VDet")(1,,n;”):=( V. Det)(”2, )=0 上面的结构相对于仿射变换群是不变的。特别的,对于向量场υ:A→V,υ*:A→V*及 仿射变换a:A→A,p∈A,q=a(p),我们有 1.4.2仿射微分几何结构 对于仿射微分几何结构,我们固定一个体积形式Det,这样也自动的固定了一个Det的对偶 体积形式Det*。Det定义了A上的一个体积和定向。由Det和Det*确定了一个相容条件。这个结 构相对于等仿射群S(n)是不变的。特别的,体积与定向相对于等仿射群是不变的。我们考虑对 偶基底:1,…,tn∈V与t,…,t∈V,则 (1.41) Det(1,…,tn)=1←→Det'(t1,…,t)=1 且这个性质在下面的意义下是等仿射不变的:若(14.1)成立,L:V→V是一个同构 则L1,,Ln∈V与(L)-t,…,(L)-t∈V也是对偶基且 Det(L1,,Ln)=1←→detL=1 → det(L)-1=1 Det((l 1.4.3欧氏微分几何结构 我们同样考虑欧氏空间E为n维微分流形。在点p∈E,恒等于切空间T2(E)与向量空 间V,余切空间T(E)为余向量空间V=V。对每一点p∈E,我们有 1.4.3.1几何结构 (i)标准的内积:重:=(,):V×V→R. i)标准的体积形式。 (i)一个无挠平坦仿射联络 1.4.3.2相容性 欧氏空间E上的几何结构满足下面的三个相容条件: )对一个正定向正交基底n1,…,tn∈V,{de(n,)}=De(n,,tn).这里Det是v上 的一个行列式形式 i)对可微分向量场u,t,:E→V,有(u,)=V(u,)=(Vtu,v)+(u,V)

(iii) ¤kNÈ/ªDetÚDet∗ ƒéuéä∇´²1µ∇Det = 0, ∇Det∗ = 0"=éw ∈ V ڕþ|vi : A → V§w ∗ ∈ V∗ ڕþ|v ∗i : A → V∗ , kµ (∇Det)(v1, . . . , vn;w) := (∇wDet)(v1, . . . , vn) = 0, (∇Det∗ )(v ∗1 , . . . , v∗n ;w ∗ ) := (∇w∗Det∗ )(v ∗1 , . . . , v∗n ) = 0. þ¡(ƒéu•C†+´ØC"AO§éu•þ|v : A → V§v ∗ : A → V∗ 9 •C†α : A → A§p ∈ A§q = α(p)§·‚k < (L ∗ α ) −1 v ∗ , Lαv >q=< v∗ , v >p . 1.4.2 •‡©AÛ( éu•‡©AÛ(§·‚½‡NÈ/ªDet§ùgĽ ‡Detéó NÈ/ªDet∗"Det½Â Aþ‡NÈÚ½•"dDetÚDet∗(½ ‡ƒN^‡"ù‡( ƒéu•+S(n)´ØC"AO§NȆ½•ƒéu•+´ØC"·‚Äé óÄ.µv1, . . . , vn ∈ V †v ∗ 1 , . . . , v∗ n ∈ V∗§K (1.4.1) Det(v1, . . . , vn) = 1 ⇐⇒ Det∗ (v ∗ 1 , . . . , v∗ n ) = 1 …ù‡5Ÿ3e¡¿Âe´•ØCµe(1.4.1)¤á§L : V → V ´‡Ó§ KLv1, . . . , Lvn ∈ V †(L ∗ ) −1 v ∗ 1 , . . . ,(L ∗ ) −1 v ∗ n ∈ V∗ ´éóą Det(Lv1, . . . , Lvn) = 1 ⇐⇒ detL = 1 ⇐⇒ det(L ∗ ) −1 = 1 ⇐⇒ Det((L ∗ ) −1 v ∗ 1 , . . . ,(L ∗ ) −1 v ∗ n ) = 1. 1.4.3 ©AÛ( ·‚ÓÄî¼mEn‘‡©6/"3:p ∈ E§ðuƒmTp(E)†•þ mV§{ƒmT∗ p (E){•þmV∗ = V"éz:p ∈ E§·‚kµ 1.4.3.1 AÛ( (i) IOSÈµΦ := ( , ) : V × V → R. (ii) IONÈ/ª" (iii) ‡ÃL²"•éä" 1.4.3.2 ƒN5 î¼mEþAÛ(÷ve¡n‡ƒN^‡µ (i) 釽•Ä.v1, . . . , vn ∈ V§{det((vi , vj ))} 1 2 = Det(v1, . . . , vn). ùpDet´V þ ‡1ª/ª" (ii) 錇©•þ|u, v, w : E → V§kw(u, v) = ∇w(u, v) = (∇wu, v) + (u, ∇wv). 14

(iii)VDet=0 比较欧氏相容条件与仿射相容条件可以看到,欧氏相容条件是仿射相容条件的特殊情况。 用标准的微分几何术语来叙述是:内积在E上诱导了一个黎曼结构。黎曼体积形式与体积形 式Det相等。平坦仿射联络ⅴ是黎曼度量的Levi- Civita联络。体积形式Det相对于联络ⅴ是平行 的。给出的结构在E的运动群下是不变的。 1.4.4标准空间Rn 由上面的讨论我们知道,n个有序数组构成的集合Rn可以赋予不同的结构使之成为不同的 空间。因为每一个n维仿射空间相对于代数结构同构于Rn,相对于微分结构微分同胚于Rn,所 以我们可以用R来作为标准的环绕空间。Rn连同于附加结构形成了等仿射空间,欧氏空间等

(iii) ∇Det = 0. 'N^‡†•ƒN^‡Œ±w§î¼ƒN^‡´•ƒN^‡AϜ¹" ^IO‡©AÛâŠ5Qã´µSÈ3Eþp ‡iù("iùNÈ/ª†NÈ/ ªDetƒ"²"•éä∇´iùÝþLevi-Civitaéä"NÈ/ªDetƒéuéä∇´²1 "‰Ñ(3E$Ä+e´ØC" 1.4.4 IOm Rn dþ¡?Ø·‚§n‡kSê|¤8ÜRn Œ±DƒØÓ(¦ƒ¤ØÓ m"Ϗz‡n‘•mƒéuê(ÓuRn§ƒéu‡©(‡©ÓuRn§¤ ±·‚Œ±^Rn 5ŠIO‚7m"Rn ëÓuN\(/¤ •m§î¼m " 15

第二章仿射空间中超曲面的一般理论 给定一个超曲面浸入x:M→A,本章的目的是研究在仿射变换群的作用下,超曲面的适 当法化的不变量。主要有两个概念: (1)相对法化的概念 (2)非退化(或称,正则)超曲面的概念。 这两个概念保证了众多诱导结构的非平凡性。 2.1仿射空间中的超曲面 2.1.1超曲面的定义 设M是一个n维(n≥2)连通、可定向C∞流形,A是一个(n+1)维伴随向量空间为V的仿射空 间。一个超曲面浸入x:M→A是一个具有最大秩n的C∞可微分映射。我们用超曲面相对于固 定的坐标原点0∈A的位置向量x表示这个超曲面。微分映射dx是内射,因此,由这个映射,我 们可以等同于切空间TnM与dx(TM) 个可微分向量场z:M→Ⅴ称为沿r的截向量场(在特殊情况下称为法向量场),如果在 底。在不引起混淆的情况下,我们简单的用,表示①M的切向量”÷是一个TxA的基 2.1.2向量丛 微分流形M上有两个基本的向量从: (i)切丛(切向量丛)TM (i)余法丛(余法向量丛)CM 利用标准的数量积与仿射外积结构,对任意一个标架场v1,,tn,我们得到V的一维子 空间CnM:={dr(t1),…,dr(tn)|B∈R}(参见1.4定义),称为点p∈M的余法空间。 任意选择一个处处不为零的截面Y:=M→CM,则<Y,dx>=0在点x(p)确定了一个切平面 dr(TM)。这里<Y,dx>=0表示对任意v∈TM,<Y,dxp()>=0。我们称这样的一个截面 为超曲面x的余法向量场。每一个这样的截面定义了一个余法线性丛的基。对任意处处不为零的 函数β∈C∞(M),βY仍然是一个余法向量场。对于给定的超曲面x,我们简称超曲面x的余法向 量场为余法向量或余法场

1Ù •m¥‡­¡„nØ ‰½‡‡­¡E\ x : M → A§Ù8´ïÄ3•C†+Š^e§‡­¡· {zØCþ"̇kü‡Vgµ (1) ƒé{zVg" (2) šòz£½¡§K¤‡­¡Vg" ùü‡Vgy ¯õp(š²…5" 2.1 •m¥‡­¡ 2.1.1 ‡­¡½Â M´‡n‘(n ≥ 2)ëÏ!Œ½•C ∞6/§A´‡(n + 1)‘Š‘•þmV• m"‡‡­¡E\ x : M → A ´‡äkŒnC ∞Œ‡©N"·‚^‡­¡ƒéu ½‹I:0 ∈ A •þxL«ù‡‡­¡"‡©Ndx´S§Ïd§dù‡N§· ‚Œ±Óuƒm TpM† dx(TpM)" ‡Œ‡©•þ|z : M → V¡÷x•þ| £3AϜ¹e¡{•þ|¤§XJ3 ?¿:p ∈ MÚé?¿Ä. v1, . . . , vn ∈ TpM§•þ| dx(v1), . . . , dx(vn), z ´‡Tx(p)AÄ ."3ØÚå· œ¹e§·‚{ü^v, wL«TpMƒ•þvp, wp" 2.1.2 •þm ‡©6/Mþkü‡Ä•þmµ (i) ƒm£ƒ•þm¤TM; (ii) {{m£{{•þm¤CM" |^IOêþȆ• È(§é?¿‡Ie| v1, . . . , vn§·‚V∗‘f m CpM := {β[dx(v1), . . . , dx(vn)]p | β ∈ R} £ë„1.1.4½Â¤§¡:p ∈ M{{m" ?¿ÀJ‡??؏"¡Y := M → CM§K< Y, dx >= 0 3:x(p)(½ ‡ƒ²¡ dx(TpM)"ùp< Y, dx >= 0L«é?¿v ∈ TpM§< Yp, dxp(v) >= 0"·‚¡ù‡¡ ‡­¡x{{•þ|"z‡ù¡½Â ‡{{‚5mÄ"é?¿??؏" ¼ê β ∈ C ∞(M)§βY E,´‡{{•þ|"éu‰½‡­¡x§·‚{¡‡­¡x{{• þ|{{•þ½{{|" 17