第一章仿射空间基本结构与仿射变换 在本章中我们首先复习一下仿射空间与欧氏空间的基本概念。我们将按照微分几何的结构的 观点罗列一些基本的概念和事实。这些概念和事实都是线性代数、解析几何、微积分等学科的基 本教科书中的内容。 1.1仿射空间 我们知道,通常的欧氏空间具有下面的基本结构: 1.作为实数域R上的向量空间的一个代数结构 2.作为点的集合上的几何(仿射)结构 3.标准的拓扑结构; 4.标准的微分结构 5.向量空间上的一个内积结构。 集合的不同的结构形成了不同的(几何)空间。为了研究实仿射空间中的超曲面(子流形) 的仿射微分几何,根据空间不同的结构引入不同的概念与记号是很有益的。下面我们给出空间的 不同的结构及相关的概念与记号。 1.1.1仿射空间的基本概念 1.1.1.1仿射空间 设ⅴ是一个n维实向量空间,A是一个非空集合,A中的元素称为点。如果存在一个映射 丌:A×A→V将A中的任意一对有序点pq映为Ⅴ中的一个向量丌(P,q)∈V,且满足: (i)(D,p)=0.,v∈A,这里0∈V是零向量 (i)vp∈A,v∈V,存在唯一的一点q∈A使得丌(P,q) ( ii) Vpr,P,p3∈A,有丌(P1,p2)+丌(p2,P3)=丌(p1,p3) (i)表明利用映射π,可通过V的结构定义A的仿射结构;(i)表明映射π与V中的向量加法和数乘 向量运算的相容性。记r(p,q)=西,具有这种结构的集合A称为n维仿射空间,向量空间称为 仿射空间A的伴随向量空间
1Ù mÄ (C 3 Ù¥·ÄkESemî¼mÄ Vg"·òUì©AÛ( *:Û Ä VgÚ¯¢"ù VgÚ¯¢Ñ´5ê!)ÛAÛ!È© ÆÄ Ö¥SN" 1.1 m ·§Ï~î¼mäke¡Ä (µ 1. ¢êRþþmê(¶ 2. :8ÜþAÛ£¤(¶ 3. IOÿÀ(¶ 4. IO©(¶ 5. þmþSÈ(" 8ÜØÓ(/¤ ØÓ£AÛ¤m" ïÄ¢m¥¡£f6/¤ ©AÛ§âmØÓ(Ú\ØÓVgPÒ´ékÃ"e¡·Ñm ØÓ(9'VgPÒ" 1.1.1 mÄ Vg 1.1.1.1 m V´n¢þm§A´8ܧA¥¡:"XJ3N π : A × A → V òA¥?¿ékS: p, q NV¥þ π(p, q) ∈ V§ ÷vµ (i) π(p, p) = 0, ∀p ∈ A§ùp0 ∈ V´"þ¶ (ii) ∀p ∈ A, ∀v ∈ V§3:q ∈ A¦π(p, q) = v¶ (iii) ∀p1, p2, p3 ∈ A§kπ(p1, p2) + π(p2, p3) = π(p1, p3). (ii)L²|^Nπ§ÏLV(½ÂA(¶(iii)L²NπV¥þ\{Úê¦ þ$N5"Pπ(p, q) = −→pq§äkù«(8ÜA¡nm§þmV¡ mAþm" 7
1.1.12数量乘积 用ⅴ表示向量空间V的对偶向量空间,令:<,>:V*xV→R表示标准的数量乘积 1.1.1.3注释 (a)条件1..i)与下面的叙述等价:对任意p∈A,映射πp:=丌(P,):A→V,q→ πpq)=π(,q)是双射。因此,对任意的,通过π的拉回,我们可以由V的拓扑与微分结构得 到A的拓扑与微分结构。 (b)A在p点的切空间T(A)标准的同构于V,因此我们等同于T2(A)与V。 1.1.2体积与定向 式形DN法则们过行多面多几间,们无体积Y Tol P(Po, P1,...,Pn): =Det(PoPi,., PoPn)I 其中p0,…,Pn∈A。因此,V上的行列式形式也称为体积形式。对Ⅴ上的任意两个体积形 式Det与Det,有Det=aDet,o∈R.因此,体积的定义依赖于行列式形式的选择,但两个体积 的比不依赖于这种选择。对Ⅴ的任意非平凡行列式形式Det,在Ⅴ的非平凡行列式形式构成的集 合中,存在两个等价类 IDID=aDet, a>0: DID=aDet, a<Of 每一类都称为ⅴ的一个定向。我们选定一个行列式Det和由这个行列式确定的定向,则 给出了平行多面体P(P,p1,,pn)的一个有向体积 1.1.3对偶行列式形式 向量空间ⅴ的对偶向量空间ⅴ*上的行列式形式Det*称为行列式形式Det的对偶行列式形式, 如果它们满足: Det’(t”1,,tn)·Det(t1,…,tn)=det(<t”2,vy>) 体积,我们固定一个体积形式的Gm矩阵的行列式,o∈v,"∈V。为在v上确定一个 这里,det表示元素为<u* et,则在V*上自动确定了一个体积形式Det*。同时,如果Det表 示了一个定向类,则Det*确定了一个由上的定向诱导的定向。 1.1.4对偶性与外积结构 设m1,2,,n-1∈V是(n-1)个线性无关的向量,则n1,2,,n-1张成的空间 W: span(wl 的维数为(n-1)。利用对偶性,存在一个一维子空间w*cV使得 (2)=0
1.1.1.2 êþ¦È ^V∗L«þmVéóþm§-µ< , >: V∗ × V → R L«IOêþ¦È" 1.1.1.3 5º (a) ^1.1.1.1.(ii)e¡Qã dµé?¿p ∈ A§Nπp := π(p, ) : A → V§q → πp(q) = π(p, q) ´V"Ïd§é?¿p§ÏLπp.£§·±dVÿÀ©( AÿÀ©(" (b) A3p:mTp(A)IOÓuV§Ïd· ÓuTp(A)V" 1.1.2 NȽ þmV¥1ª/ª8Ü´¢þm"·À½Vþ² 1 ª/ª§^DetL«§K·½Ân²1õ¡NP(p0, p1, . . . , pn)ÃNÈ Vol P(p0, p1, . . . , pn) := |Det(−−→p0p1, . . . , −−→p0pn)|, Ù¥p0, p1, . . . , pn ∈ A"Ïd§Vþ1ª/ª¡NÈ/ª"éVþ?¿üNÈ/ ªDetDet d§kDet = d αDet, α ∈ R. Ïd§NȽÂ6u1ª/ªÀJ§üNÈ 'Ø6uù«ÀJ"éV?¿² 1ª/ªDet§3V² 1ª/ª¤8 Ü¥§3ü da {D|D = αDet, α > 0}; {D|D = αDet, α < 0}. zaÑ¡V½"·À½1ªDetÚdù1ª(½½§K Det(−−→p0p1, . . . , −−→p0pn) Ñ ²1õ¡NP(p0, p1, . . . , pn) kNÈ" 1.1.3 éó1ª/ª þmV éóþmV∗þ1ª/ªDet∗¡1ª/ªDetéó1ª/ª§ XJ§÷vµ Det∗ (v ∗1 , . . . , v∗n ) · Det(v1, . . . , vn) = det(< v∗i , vj >), ùp§detL«< v∗i , vj >Gram-Ý 1ª§v ∗i ∈ V∗§vj ∈ V"3Vþ(½ Nȧ·½NÈ/ªDet§K3V∗þgÄ(½ NÈ/ªDet∗"Ó§XJDetL « ½a§KDet∗(½ dVþ½p½" 1.1.4 éó5 È( w1, w2, . . . , wn−1 ∈ V´(n − 1)5Ã'þ§Kw1, w2, . . . , wn−1ܤm W := span(w1, . . . , wn−1) ê(n − 1)"|^éó5§3fmW∗ ⊂ V∗ ¦ w ∗ (wi) = 0 8
对所有的∈W成立。因此,W的一个基向量能很容易的由外积结构来计算。对于一个固定 的非平凡行列式形式Det,我们定义1,w2,,tn-1的外积 为 <{1,…,n-l],2>=Det(n,…,tn-1,2),Vz∈V 显然,外积的定义依赖于行列式形式Det的选择。 我们考虑仿射空间A的一个超平面9,它由n个仿射独立的点P,p1,…,pn-1确定。因此位置 向量p,,pmpn-是线性无关的。这时也称点p,p1,,pn2=1位于一般的位置。对任意点q∈ g2,92可由它的位置向量表示,这里o∈A为坐标原点 数组{h1,……,h=4}给出了q点相对于点P0,p,…,pn-1的仿射坐标。外积结构可给出9的另一种表 示,称为 Hesse方程 <u,p>=0 这里,*=[r,,mPn-。用标准的概念叙述,u·称为超平面9的余法向量。 1.2仿射映射与仿射变换群 为了定义一个空间的仿射结构,我们利用了它的伴随向量空间的结构。类似的,我们由仿射 空间的伴随向量空间之间的线性映射来定义仿射映射。仿射映射是保持仿射空间仿射结构的映 射。 1.2.1仿射映射 设A1与A2是两个仿射空间,V1与V2是A1与A2的伴随向量空间,r1:A;×A→V.一个映 射α:A1→A2称为是仿射映射,若存在一个线性映射L使得 2(a(p),a(q))=La(T1(p, 对所有的p,q∈A成立。即我们有下面的交换图 这里L是唯一确定的。称La为a的伴随映射 个仿射映射是内射(满射)当且仅当L是内射(满射)。我们称双射的仿射映射为正则 映射。若A1=A2,定义仿射映射a的行列式为 deta detl 设o∈A为原点,则仿射映射a:A→A有下述表示: 0(p)=La()+b,b∈V
é¤kwi ∈ W ¤á"Ïd§W∗ÄþUéN´d È(5O"éu½ ² 1ª/ªDet§·½Âw1, w2, . . . , wn−1 È [ ] : ×n−1V → V∗ < [w1, . . . , wn−1], z >= Det(w1, . . . , wn−1, z), ∀z ∈ V. w,§ ȽÂ6u1ª/ªDetÀJ" ·ÄmA²¡Ω§§dnÕá:p0, p1, . . . , pn−1(½"Ïd þ−−→p0p1, . . . , −−−−→ p0pn−1´5Ã'"ù¡:p0, p1, . . . , pn−1 u "é?¿:q ∈ Ω§Ω d§ þ−→oqL«§ùpo ∈ AI:µ −→oq = −→op0 + Xn−1 i=1 h i−−→p0pi . ê|{h 1 , . . . , hn−1}Ñ q:éu:p0, p1, . . . , pn−1I" È(ÑΩ,«L «§¡Hesse§µ < w∗ , −→p0q >= 0 ùp§w ∗ = [−−→p0p1, . . . , −−−−→ p0pn−1]"^IOVgQã§w ∗¡²¡Ω{{þ" 1.2 NC+ ½Âm(§·|^ §þm("aq§·d mþmm5N5½ÂN"N´±m(N " 1.2.1 N A1A2´üm§V1V2´A1A2þm§πi : Ai × Ai → Vi . N α : A1 → A2¡´N§e35NLα¦ π2(α(p), α(q)) = Lα(π1(p, q)) é¤kp, q ∈ A¤á"=·ke¡ãµ A1 × A1 α×α −−−−−−−→ A2 × A2 π1 y π2 y V1 Lα −−−−−−−→ V2 ùpLα´(½"¡LααN" N´S£÷¤ =Lα´S£÷¤"·¡VNK N"eA1 = A2§½ÂNα1ª detα = detLα. o ∈ A:§KNα : A → AkeãL«µ −−−→ oα(p) = Lα( −→op) + b, b ∈ V. 9
1.2.2仿射变换群 我们知道,n维向量空间ⅴ的所有自同构的集合形成V的自同构群。设 GL(n,R):={L:V→V|L是自同构} SL(n, R {L∈GL(n,R)|detL=1} GL(n,R)与SL(m,R)分别称为一般线性群和特殊线性群,它们的维数分别为n2和n2-1。设A是 以ⅴ为伴随向量空间的n维仿射空间,定义 A(n):={a:A→A|La是正则的} S(n): cEA(n)I deta=1] {a∈A(m)|a(p)=p} T(n):={a:A→A|存在向量b∈V使得对所有p∈A有po(P)=bn A(m称为正则仿射群,S(m)称为等仿射群(幺模仿射群),2p(m)称为以p为中心的中心仿射 群,T(m)称为A上的平移变换群 设S1与S2是A的两个子集,9是上述四种群之一。则S1与S2称为相对于9等价的,若存在a∈ G使得S2=aS1 1.2.3仿射映射的性质 仿射变换群的性质可由它的伴随线性映射的性质得到,即: 平行性是仿射映射的不变量 三点的分比是仿射映射的不变量; 两个平行多面体的体积之比是仿射映射的不变量。 1.2.3.1定理 映射a:A→A是一个正则仿射变换当且仅当a是一个连续的、保持凸性的双射。(参 见Ieg72] 1.2.3.2定理 设a:A→A是一个仿射变换,则平行多面体的无向体积是关于a不变的当且仅当| deta=1 1.2.4仿射不变性与对偶性 仿射微分几何中超曲面的许多微分几何量是由数量积<,>:V*×V→R定义的。因此, 仿射不变性依赖于仿射映射a:A→A的伴随线性映射L:=La:V→V以及它的对偶映 射:L*:V*→V*。对偶映射满足: <(L)-t,L>=<t*,>=<Lu,L-> 10
1.2.2 C+ ·§nþmV¤kgÓ8Ü/¤VgÓ+" GL(n, R) := {L : V → V | L´gÓ} SL(n, R) := {L ∈ GL(n, R)| detL = 1}. GL(n, R)SL(n, R)©O¡5+ÚAÏ5+§§ê©On 2Ún 2 − 1"A´ ±Vþmnm§½Â A(n) := {α : A → A | Lα´K} S(n) := {α ∈ A(n) | detα = 1} Zp(n) := {α ∈ A(n) | α(p) = p} T (n) := {α : A → A | 3þbα ∈ V¦é¤kp ∈ Ak −−−→ pα(p) = bα}. A(n)¡K+§S(n)¡ + £N +¤§Zp(n)¡±p¥%¥% +§T (n)¡Aþ²£C+" S1S2´Aüf8§G´þão«+"KS1S2¡éuG d§e3α ∈ G¦S2 = αS1. 1.2.3 N5 C+5d§5N5§=µ • ²15´NØCþ¶ • n:©'´NØCþ¶ • ü²1õ¡NNÈ'´NØCþ" 1.2.3.1 ½n Nα : A → A´KC =α ´ëY!±à5V"£ë [Weg72]¤ 1.2.3.2 ½n α : A → A´C§K²1õ¡NÃNÈ´'uα ØC =|detα| = 1" 1.2.4 ØC5éó5 ©AÛ¥¡Nõ©AÛþ´dêþÈ< , >: V∗ × V → R ½Â"Ïd§ ØC56uNα : A → A5NL := Lα : V → V ±9§éóN µL ∗ : V∗ → V∗"éóN÷vµ < (L ∗ ) −1 v ∗ , Lv >=< v∗ , v >=< L∗ v ∗ , L−1 v > . 10
1.2.5方向导数 我们考虑具有标准微分结构的实向量空间V。按习惯我们将Ⅴ在点u的切空间T(V)等同 于V自身。我们表示一个函数∫∈C(V)沿向量v方向的方向导数为 Vuf: =0(): =uf: =df(a) 对于向量场,v∈V,v沿向量u方向的方向导数v2仍然是一个向量场。对u点的切向量场v,t1 U,可微分函数f:V→R,向量场,tn,2的方向导数满足 Vw +W2)=Vw1+V V(fa)= fV,w+(vfw V Vfw= fV 用微分几何的语言来说,方向导数v是一个ⅴ上的无挠平坦仿射联络。由π。:A→V的拉回映 射我们可定义A上的一个无挠平坦联络,我们仍用Ⅴ表示。因此,A成为具有平坦仿射联络V的 微分流形。 ⅴ可唯一地扩展为张量空间的导数即共变导数。因此,对向量场υ:A→V,1-形式υ:A→ ⅴ*和切向量场u,我们有 w<u,u>=Vu<u,v>=< Vuv,U>+<uvuU> 由n个切向量场的行列式Det(1,……,n)沿方向ω的微分的定义与运算规则,我们有 (mDet)(vn,,n):=Vn(Det(v…,n)-∑Det(n,,Vntn,…,tn) i=1 这表明一个平行多面体的体积在沿一个给定的曲线的平行移动变换下是不变的 1.2.6标架 设A为n维仿射空间,ⅴ是A的伴随向量空间。A上的一个坐标系统(或基底)由A中的一个 固定点o,称为坐标原点或简称原点,V的一组基,m2,,mn构成。对于这样的基底,A中的任 意一个点的位置向量x可表示为 我们仍用x表示x∈A的位置向量a。作为微分流形, x)称为A在点x的局部坐标。相对 于这种坐标的高斯(Gaus基底由a1,,On,O2=品给出,它的对偶基底由dr2,……,drn给出 设X:A→V为一个切向量场,我们有下面的局部表示: ∑aa i=1 对应的1-形式u有: ∑b
1.2.5 ê ·ÄäkIO©(¢þmV"US.·òV3:umTu(V) Ó uVg "·L«¼êf ∈ C ∞(V)÷þvê ∇vf := v(f) := vf := df(v). éuþ|v, w ∈ V§w÷þvê∇vwE,´þ|"éu:þ|v, v1, v2, ©¼êf : V → R§þ|w, w1, w2ê÷vµ ∇v(w1 + w2) = ∇vw1 + ∇vw2, ∇v(fw) = f∇vw + (∇vf)w, ∇v1+v2w = ∇v1w + ∇v2w, ∇f vw = f∇vw. ^©AÛó5`§ê∇´V þÃL²"éä"dπo : A → V.£N ·½ÂA þÃL²"é䧷E^∇L«"Ïd§A¤äk²"éä∇ ©6/" ∇/*ÐÜþmê=Cê"Ïd§éþ|v : A → V, 1-/ªv ∗ : A → V∗Úþ|w§·k w < v∗ , v >= ∇w < v∗ , v >=< ∇wv ∗ , v > + < v∗ , ∇wv > . dnþ|1ªDet(v1, . . . , vn)÷w ©½Â$5K§·k (∇wDet)(v1, . . . , vn) := ∇w(Det(v1, . . . , vn)) − Xn i=1 Det(v1, . . . , ∇wvi , . . . , vn) ≡ 0. ùL²²1õ¡NNÈ3÷½²1£ÄCe´ØC" 1.2.6 Ie Anm§V´Aþm"AþIXÚ£½Ä.¤dA¥ ½:o§¡I:½{¡:§V|Äη1, η2, . . . , ηn¤"éuùÄ.§A¥? ¿: þxL« x = −→ox = Xn i=1 x i ηi . ·E^xL«x ∈ A þ−→ox"©6/§(x 1 , . . . , xn )¡A3:x ÛÜI"é uù«Ipd(Gauss)Ä.d∂1, . . . , ∂n, ∂i = ∂ ∂xiѧ§éóÄ.ddx 1 , . . . , dx n Ñ" X : A → Vþ|§·ke¡ÛÜL«µ X = Xn i=1 a i ∂i ; éA1-/ªωkµ ω = Xn j=1 bjdx j . 11