北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第八章 λ矩阵（8.3）不变因子

2)若4-矩阵4()的标准形为 d1(x) D()= d(1) 其中d1(礼),…d1(九)为首1多项式,且 l()dl41(孔),i=1,2,…r-1, 则A()的k级行列式因子为 DA(礼)=d1(九)dl2(1)…d(),k=1,2,…r

2）若  − 矩阵 A( )  的标准形为 1 ( ) ( ) ( ) 0 0 r d d D          =         其中 d d 1 ( ), ( )  r 为首1多项式，且 1 ( ) ( ), 1,2, 1, i i d d i r   + = − 则 A( )  的 k 级行列式因子为 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ), 1,2, . D d d d k r k k     = =

证:∵A()与D()等价, A(1)与D(4)有相的秩与行列式因子 在D(x)中,若一个k级子式包含的行、列指标不 完全相同,则这个k级子式为零 所以只需考虑由i,2…行与i,2…列组成的k 级子式(1≤i1i2…i≤r),即ln(x)…dl1() 而这种k级子式的最大公因式为d1()l2()…dk(4) 所以,A()的级行列式因子 DA(4)=d1()d2(x)…dk(),k=1,2,…r

证： A( )  与 D( )  等价， 完全相同，则这个 k 级子式为零. 在 D( )  中，若一个 k 级子式包含的行、列指标不  A D ( ) ( )   与 有相的秩与行列式因子. 1 2 (1 , , ), k 级子式   i i i r 所以只需考虑由 i i i 1 2 , , k 行与 i i i 1 2 , , k 列组成的 k k 1 ( ) ( ). k i i 即 d d   而这种 k 级子式的最大公因式为 1 2 ( ) ( ) ( ). k d d d    所以， A( )  的 k 级行列式因子 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ), 1,2, . D d d d k r k k     = =