兰州大学：《矩阵理论》第十讲 矩阵的微分和积分

矩阵的微分和积分 af k=1kISk+ k=ksk k=1 IaSk af +∑5∑ A'x+Ax=(A+a)x 当A是对称矩阵时A=A f(x)=x4x→→“=2Ax 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲-11

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲-11 矩阵的微分和积分 1 1 ( 1, , ) n n kj k jk k k k j f a a j n    = =  = + =    1 1 1 1 1 1 1 n n k k k k k k n n kn k nk k k k n f a a df dx f a a       = = = =         +     = =              +           1 1 1 1 1 1 n n k k k k k k n n kn k nk k k k a a a a     = = = =         = +                     ( ) T T = + = + A x Ax A A x T 当A是对称矩阵时 A A = ( ) T f x x Ax = 2 df Ax dx =

矩阵的微分和积分 数量函数对矩阵变量的导数 举例4 detX≠0 证明 detx=(det X(X-) dX 证 设x的代数余子式为X,将detX按第行展开: dix detx=∑/xX det X= X det X det X )n×n (adj x) dx det x=(det x)cx 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲-12

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲-12 矩阵的微分和积分 – 数量函数对矩阵变量的导数 举例(4)。 证明 证： 设 的代数余子式为 ，将 按第i行展开： 11 1 1 n n nn x x X x x     =       det 0 X  1 det (det )( ) d T X X X dX − = ij x Xij det X 1 det n ij ij j X x X = = det ij ij X X x  =  det ( ) (adj )T ij n n ij n n d X X X dX x      = = =        1 adj det X X X − = 1 det (det )( ) d T X X X dX − =

矩阵的微分和积分 矩阵值函数对矩阵变量的导数 矩阵值函数F(X)的定义 F(X)=((X)x X f:X→f(X)(i=1,…s,j=l…,) x1 IX aF OF aF dX aF OF 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲-13

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲-13 矩阵的微分和积分 – 矩阵值函数对矩阵变量的导数 矩阵值函数 的定义 11 1 1 n m mn x x X x x     =       ( ) ( ( )) F X f X = ij s t  : ( ) ( 1, , ; 1, , ) ij ij f X f X i s j t → = = F X( ) 11 1 1 n m mn F F x x dF dX F F x x           =               11 1 11 11 11 1 11 11 t s st f f x x F x f f x x            =                11 1 1 t ij ij ij s st ij ij f f x x F x f f x x            =               

矩阵的微分和积分 矩阵值函数对矩阵变量的导数 注意:与 Jacob武式(函数行列式)的区别 n个自变量的n个函数「n1=f(x,x2…x) y2=f2(x1 定义在某n维空间中,并关于自变量有连续偏导数,则其 Jacob武式如下 少y1 ax, a ay a(,n2…,)=axa2 0(x1,x2…xn) ax, a 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲-14

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲-14 矩阵的微分和积分 – 矩阵值函数对矩阵变量的导数 注意：与Jacobi式（函数行列式）的区别 n个自变量的n个函数 定义在某n维空间中，并关于自变量有连续偏导数，则其Jacobi式如下： 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) n n n n n y f x x x y f x x x y f x x x  =   =     = 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , , ) ( , , ) n n n n n n n n y y y x x x y y y y y y x x x x x x y y y x x x           =          

矩阵的微分和积分 矩阵值函数对矩阵变量的导数 举例(1) dx F(x) e x F(x)=(f1(x)f2(x) (x) 051 afi(x)a(x) af( dx 51(a OX ax o(x) d2(x 00 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲-15

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲-15 矩阵的微分和积分 – 矩阵值函数对矩阵变量的导数 举例（1） 1 2 n x          =       ( ) T F x x = ? ? T T dx dx dx dx = = 1 2 T T T T n x x dx dx x                 =               ( 1 2 ) T T T n = e x e x e x 1 2 ( ) ( ( ) ( ) ( )) F x f x f x f x = n 1 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) T n x f x f x f x           =         = (1 0 0) 1 2 ( ) ( ) ( ) T n n n n n x f x f x f x           =         = (0 0 1) n I