试卷九参考答案判断题（2*10=20）1、错2、错错3、错4、5、错错6、7、错错8、错9、10、错二、填空（2*10=20）11.（2-3i或-3i+2）ou_ov ou-oy)12.axay'ayax13.（2元或2k元答案多样），14、（ei+1=0或eit=-1或eit=coS元+isin元=-1等等答案多样）1516、(w= (-2+)≥+i)答案多样).2-1V2V2V2V2V217、(z =或()或-1,1)等等答案多样).+i-e222222yALEABICDEx0,t<00,1<0118、(f(t)=).已知f(t)=是在傅里叶变换下的原像。0-(βB-00)1,1≥0le-",1z0β+jo19、（本质奇点或本性奇点).20、（-1).三、解答题，应用积分变换知识解答下列题目（每题5分，共35分）
试卷九 参考答案 一、 判断题（2*10=20） 1、错 2、错 3、错 4、错 5、错 6、错 7、错 8、错 9、错 10、错 二、填空（2*10=20） 11．（ 2 −3i 或−3i + 2 ）. 12．（ x v y u y v x u = − = , ）. 13．（ 2i 或 2ki 答案多样）. 14、（ +1 = 0 i e 或 = −1 i e 或 = cos + sin = −1 e i i 等等答案多样）. 15、( 2 1 ). 16、( 1 ( 2 ) − − + + = z i z i w 答案多样). 17、 ( 2 2 2 2 4 z e i i = − = − + − 或 ) 2 2 , 2 2 (− 或 ( 1,1) 2 2 − 等等答案多样). 18、 ( = − − , 0 0, 0 ( ) ( ) 0 e t t f t t ).已知 = − , 0 0, 0 ( ) e t t f t t 是 + j 1 在傅里叶变换下的原像。 19、 (本质奇点或本性奇点). 20、（-1）. 三、解答题，应用积分变换知识解答下列题目（每题５分，共 3５分）
1、解：由23-2=0得23=2，所以z=23（3分）12k元2k元z =[2(cos 0+ isin 0)] = /2(cosLisin.（k=0.12）（4分）33所以原方程的三个解为1)=/2(-1/2(-1+ V3Z.=3/2（5分）2222a'uau2、解：因为=3x2-3y3,ou-6xy;=6x.-6.xax?Oy?axay所以=0，即u(x)=x3-3xyz是=平面上的调和函数（3分）ax2Qy2由%=3x*-3y%-ou=6xy可以得到ax"ayayaxv(x,y)=3x*y-y +C 所以 f()=(x3 -3xy°)+i(3xy-y3 +C)(4分)因为f(o)=i，所以C=1故f()=(x-3xy)+i(3xy-y+1)=z3+i（5分）3、解：由1+=4=0可以得到被积函数在上半平面有两个孤立奇点J2V2（-1+i)，都是一阶极点（3分）-(1+i),z, 222222x2x2dx =dx=[Res4,2,)+ Re s(1+24,22）（4分）21+z1+x1+x41元（2+22）_元/2+(5分）44=,"24z,224、解：由fg(o)sin otdo=f()可以得到2 g(0)sin otdo =二7() (3分)7JT利用 F,(0)=J f()sin otdl, f()=2" F,(0)sin otdt (4 分)可以得到 g(a) = Ir2 f(0)sin ondt=J2 sin si oid =号[ [cos(1-0) - cos(1 + 0) Jdt元2
１、解：由 2 0 3 z − = 得 2 3 z = ，所以 3 1 z = 2 （3 分） ),( 0,1,2) 3 2 sin 3 2 [2(cos 0 sin 0)] 2(cos 3 3 1 = + = + k = k i k z i （4 分） 所以原方程的三个解为 ) 2 3 2 1 ), 2( 2 3 2 1 2, 2( 3 3 3 2 3 1 z = z = − + i z = − − i （5 分） ２、解：因为 xy y u x y x u 3 3 , 6 2 2 = − = − ； x y u x x u 6 , 6 2 2 2 2 = − = 所以 0 2 2 2 2 = + y u x u ，即 ( ) 3 2 u x, y = x − 3xy 是 平面上的调和函数（3 分） 由 x y y u x v x y x u y v 3 3 , 6 2 2 = = − = − = 可以得到 v(x y) = x y − y +C 2 3 , 3 所以 ( ) ( 3 ) (3 ) 3 2 2 3 f z = x − xy + i x y − y +C （4 分） 因为 f (0) = i ，所以 C =1 故 f (z) = x − x y + i x y − y + = z + i 3 2 2 3 3 ( 3 ) (3 1) （5 分） ３、解：由 1 0 4 + z = 可以得到被积函数在上半平面有两个孤立奇点 ( 1 ) 2 2 (1 ), 2 2 1 2 z = + i z = − + i ，都是一阶极点（3 分） , )] 1 , ) Re ( 1 [Re ( 2 1 1 1 4 2 2 4 1 2 4 2 0 4 2 z z z z s z z dx i s x x dx x x + + + = + = + + − + （4 分） 4 2 4 ( ) ] 1 1 [ 4 1 2 1 2 1 2 = + = + = z z i z z z z i （5 分） 4、解：由 + = 0 g()sin td f (t) 可以得到 + = 0 ( ) 2 ( )sin 2 g td f t （3 分） 利用 + + = = 0 0 ( )sin 2 F ( ) f (t)sin tdt, f (t) F tdt s s （4 分） 可以得到 g f t tdt t tdt t t dt = = = − − + + 0 0 0 [cos(1 ) cos(1 ) ] 2 1 sin sin 2 2 ( )sin 2 ( ) z
sin0元g(0)=（5分）1-025、解：对方程两边做拉普拉斯积分变换可以得到1s*Y(s)-1+2sY(s)-3Y(s) =1+ s化简得到S+2（4分）Y(s) =(1 + s)(s - 1)(s + 3)S+2有三个一阶极点，计算留数后相加可以得到原方程的解Y(s) =(1 + s)(s - 1)(s + 3)=(3et-2e-t-e-3）（5分）y(0)=86、解：函数在|z=2内有两个二阶极点：z=01（3分）根据公式有e'dze:-1' 1=0 +2m(=2m[-)1--=6元-2元ei=2元(3-e)i（5分)J I-2 22(2 -1)2(2-)2I11(1分）7、解：f(z)=( - 1)(z - 2)2-2z-1在圆环1</z<2有/-1,I12z因此f(a)=_1_11.15一10z"--（4分）202+22-n-21-三"1222"2T在2=+内1/1N1--1-2-(e)=1_1（5分）2≥1202"1.31n=lA四、答：积分变换是一种将函数变换成函数的变换，是通过积分运算和有参数的核函数的运算，我们学过的有傅里叶积分变换，拉普拉斯积分变换，积分变换在工程实际中有很多应用，断裂力学、信号处理，图像模拟，自动化等领域有很多应用。给分标准：1、给出积分变换的定义和两种常用变换6分2、说出积分变换的一些工程应用领域给2分
2 1 sin ( ) − g = （5 分） ５、解：对方程两边做拉普拉斯积分变换可以得到 s s Y s sY s Y s + − + − = 1 1 ( ) 1 2 ( ) 3 ( ) 2 化简得到 (1 )( 1)( 3) 2 ( ) + − + + = s s s s Y s （4 分） (1 )( 1)( 3) 2 ( ) + − + + = s s s s Y s 有三个一阶极点，计算留数后相加可以得到原方程的解 (3 2 ) 8 1 ( ) t t 3t y t e e e − − = − − （5 分） 6、解：函数在 | z |= 2 内有两个二阶极点： z = 0,1 （3 分） 根据公式有 i ei e i z e i z e i z z e dz z z z z z z ] | 2 ( ) | 6 2 2 (3 ) ( 1) 2 [ ( 1) 1 / 0 / 2 2 2 2 + = − = − − = − = = = （5 分） 7、解： 1 1 2 1 ( 1)( 2) 1 ( ) − − − = − − = z z z z f z （1 分） 在圆环 1<|z|<2 有 | 1 2 | 1,| 1 | z z 因此 = = + = = − = − − = − − − − − = − 0 1 1 1 0 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 ( ) n n n n n n n n n n z z z z z z z z f z （4 分） 在 2 | z | + 内 | 1 2 | 1,| 1 | z z = − = = − = − = − − − = 1 1 0 0 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 ( ) n n n n n n n n z z z z z z z z z f z （5 分） 四、答：积分变换是一种将函数变换成函数的变换，是通过积分运算和有参数的核函数 的运算，我们学过的有傅里叶积分变换，拉普拉斯积分变换，积分变换在工程实际中有 很多应用，断裂力学、信号处理，图像模拟，自动化等领域有很多应用。 给分标准：1、给出积分变换的定义和两种常用变换 6 分 2、说出积分变换的一些工程应用领域给 2 分
3、用积分变换解决一些问题给2分五、实验题（15分）（参考答案，答案多样，符合要求给分）1、解：【Matlab源程序】syms x y;f=(×^2-2*x)*exp(-×^2-y^2-x*y)maple('mtaylor"f,“[x,y]',4)2、【Matlab源程序】z=cplxgrid(20);w=log(z) ;for k=0:3w-w+i*2*pi;surf(real(z),imag(z),imag(w),real(w));hold ontitle('Lnz')endview(-75,30))回答：title（字符串'）表示（在所画图形的最上端显示说明该图)surf(x,y,z,c);表示（绘制表面图和亮度3、解：【Matlab源程序】syms x w;symsbpositive；%定义符号参量bf=exp(-b~2*x~2) ;F=simple(fourier(f))%结果为：F=1/b*pi~(1/2)*exp(-1/4*w~2/b~2)4、【Matlab源程序】syms t s
3、用积分变换解决一些问题给 2 分 五、实验题（１5 分）（参考答案，答案多样，符合要求给分） 1、解：【Matlab 源程序】 syms x y; f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y); maple(‘mtaylor’,f,‘[x,y]’,4) 2、【Matlab 源程序】 z=cplxgrid(20); w=log(z); for k=0:3 w=w+i*2*pi; surf(real(z),imag(z),imag(w),real(w)); hold on title('Lnz') end view(-75,30) 回答：title('字符串')表示（ 在所画图形的最上端显示说明该图 ） surf(x,y,z,c);表示（ 绘制表面图和亮度 ） 3、解：【Matlab 源程序】 syms x w; syms b positive ;%定义符号参量 b f=exp(-b^2*x^2); F=simple(fourier(f)) %结果为: F =1/b*pi^(1/2)*exp(-1/4*w^2/b^2) 4、【Matlab 源程序】 syms t s
F=1/ (s*(s-1) ~2) ;f=ilaplace (F)%结果为：f =1+(t-1)*exp(t)将Matlab语言表达式F(s)=1/(s*(s-1)~2)和f(t）=l+(t-1)*exp(t)1写成数学表达式（)和（f(t)=1+(t-1)et）。（4分）F(s)=s(s-1)2
F=1/(s*(s-1)^2); f=ilaplace(F) %结果为： f =1+(t-1)*exp(t) 将 Matlab 语言表达式 F(s)=1/(s*(s-1)^2)和 f(t) =1+(t-1)*exp(t) 写成数学表达式（ 2 ( 1) 1 ( ) − = s s F s ）和（ t f (t) =1+ (t −1)e ）。（4 分）