《复变函数与积分变换》课程教学资源（试卷习题）试题九（题目）

《复变函数与积分变换》试卷九满分：100分考试时间：120分钟四二 五题号一三总分判断题（2*10=20）1、在复数范围内，均值不等式仍然是成立的，即有i+1≥2i。（2、根据规定，i2=-1，所以在复数范围内，-1的平方根有且只有一个。（3、复变函数f()在复平面上一个点o处可导和解析式等价的，因此，一个复变函数在复平面上可导和解析没有一点点区别。（4、如果在区域D中二元函数p(x,)满足~+=0，则p(x,)为整个复平ax2ay2面上的调和函数。（）5、一切复变函数在曲线上的积分都只与起点和末点有关，与积分路径无关所以不存在有向曲线的积分。（）6、只要复变函数f(-)在区域D内解析（常数也是解析函数），则f()的模在区域D内取不到最大值。（）7、幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数，而且在收敛圆周上也处处解析。（)8、复变函数在去掉圆心的圆内，不能展开洛朗级数，因为去掉圆心的圆不能看成是圆环。（）9、如果是复变函数f(=)的可去奇点，则Re[f(z),]=0。（）10、任何解析函数，如果有零点，则零点都是孤立存在的，也就是说函数在零

《复变函数与积分变换》 试卷九 满分：100 分 考试时间：120 分钟 题号 一 二 三 四 五 总分 一、 判断题（2*10=20） 1、在复数范围内，均值不等式仍然是成立的，即有 i 1 2i 2 +  。（ ） 2、根据规定， 1 2 i = − ，所以在复数范围内，−1 的平方根有且只有一个。（ ） 3、复变函数 f (z) 在复平面上一个点 0 z 处可导和解析式等价的，因此，一个复 变函数在复平面上可导和解析没有一点点区别。（ ） 4、如果在区域 D 中二元函数 (x, y) 满足 0 2 2 2 2 =   +   x y   ，则 (x, y) 为整个复平 面上的调和函数。（ ） 5、一切复变函数在曲线上的积分都只与起点和末点有关，与积分路径无关， 所以不存在有向曲线的积分。（ ） 6、只要复变函数 f (z) 在区域 D 内解析（常数也是解析函数），则 f (z) 的模在 区域 D 内取不到最大值。（ ） 7、幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数，而且在收敛圆周上也处处解析。 （ ） 8、复变函数在去掉圆心的圆内，不能展开洛朗级数，因为去掉圆心的圆不能 看成是圆环。（ ） 9、如果  是复变函数 f (z) 的可去奇点，则 Re[ f (z),] = 0 。 （ ） 10、任何解析函数，如果有零点，则零点都是孤立存在的，也就是说函数在零

（）点的任何小邻域内只有这一个零点，不存在其他零点。二、填空（2*10=20）1l.两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数（conjugatecomplexnumber)。（当虚部不等于0时也叫共轭虚数），已知f()=z?+z+l，则f(1+i）的共轭复数为12.黎曼（G.F.B.Riemann、1826.9.17一1866.7.20)是德国数学家，生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师。他6岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁按其父亲的意愿进入哥丁根大学攻读哲学和神学，以便将来继承父志也当一名牧师。由于从小酷爱数学，他在学习哲学和神学的同时，也听些数学课。当时的哥丁根大学是世界数学的中心之一。一些著名的数学家，如高斯（C.F.Guass）、韦伯(H.Wcbcr）、斯持尔（Sten)在校执教，黎曼被这里的数学教学和数学研究的气所感染，决定放弃神学，专攻数学。1847年他转到柏林大学学习，成为雅可比（C.G.J.Jacobi）、狄利克雷(P.G.L.Dirichlet）、施泰纳（J.Steiner）、艾森斯坦（F.G.M.E1Senstein)的学生。1849年重回哥丁很大学攻读博士学位。成为高斯晚年的学生。1851年在高斯指导下完成的题为“单复变函数的一般理论的基础”的博士论文，获数学博士学位。1854年被聘为哥丁根大学的编外讲师。1857年晋升为副教授，1859年接替去世的狄利克雷被聘为教授。因长年贫困、劳累，1862年婚后不到一个月患胸膜炎和肺结核，先后三次到意大利治病、疗养。1866年病逝于意大利、终年39岁。柯西、黎曼和外尔斯特拉斯是世人公认的复函数论的主要奠基人，而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的，柯西和黎曼的思想被融合起来。柯西-黎曼条件解析函数一个重要条件。复平面上解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)满足的柯西-黎曼条件为13.对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内

点的任何小邻域内只有这一个零点，不存在其他零点。 （ ） 二、填空（2*10=20） 11．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)。（当虚部不等于 0 时也叫共轭虚数），已知 ( ) 1 2 f z = z + z + ，则 f (1+ i) 的共轭复数为_. 12．黎曼(G.F.B.Riemann、1826.9.17 一 1866.7.20)是德国数学家，生于德国 北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师。他 6 岁开始上学， 14 岁进入大学预科学习，19 岁按其父亲的意愿进入哥丁根大学攻读哲学和神 学，以便将来继承父志也当一名牧师。由于从小酷爱数学，他在学习哲学和神 学的同时，也听些数学课。当时的哥丁根大学是世界数学的中心之一。—些著 名的数学家，如高斯(C.F.Guass)、韦伯(H.Wcbcr)、斯持尔(Sten)在校执教， 黎曼被这里的数学教学和数学研究的气氛所感染，决定放弃神学，专攻数学。 1847 年他转到柏林大学学习，成为雅可比(C.G.J.Jacobi)、狄利克雷 (P.G.L.Dirichlet)、施泰纳(J.Steiner)、艾森斯坦(F.G.M.E1Senstein)的学 生。1849 年重回哥丁很大学攻读博士学位。成为高斯晚年的学生。l851 年在 高斯指导下完成的题为“单复变函数的一般理论的基础”的博士论文，获数学 博士学位。l854 年被聘为哥丁根大学的编外讲师。1857 年晋升为副教授，1859 年接替去世的狄利克雷被聘为教授。因长年贫困、劳累，1862 年婚后不到一 个月患胸膜炎和肺结核，先后三次到意大利治病、疗养。1866 年病逝于意大 利、终年 39 岁。柯西、黎曼和外尔斯特拉斯是世人公认的复函数论的主要奠 基人，而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的，柯西和 黎曼的思想被融合起来。柯西-黎曼条件解析函数一个重要条件。复平面上解 析函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 满足的柯西-黎曼条件为_. 13．对于函数 y = f (x) ，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当 x 取定义域内

的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT(keZ,k±0)都是它的周期。函数f()=e的一个周期是14、欧拉公式是一个恒等式，它是数学里最令人着迷的一个公式，把指数函数写成正弦函数做虚部、余弦函数做实部的一个恒等式。如果将其中的指数取特殊形式可以得到一个很有意义的公式，这个公式将数学里最重要的几个数联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率元，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。你能写出这个上帝创造的公式吗？15、柯西积分公式是一把钥匙，它开启了许多方法与定理；它刻画了解析函数的又一种定义：人们对它的研究极具意义，让解析函数论能够单独脱离于实函数而充满活力！若函数f（-)在简单正向闭曲线C所围成的区域D内解析，在区域D的边界C上连续，zo是区域D内任意一点，则有『(=)=一)dz，2元iJcz-二0Z利用柯西积分公式计算一dz2元i J==3 (2z + 1)(=- 2)16、z2,z3,24是扩充复平面上的四个点，且T:C→>C。为分式线性变换，则(T(=),T(=2),T(=3),T(=4)=(=1,=2,=3,=4)任意点z,EC称为保交比（交比(1,=2"3,=）=2二4：二）性质，利用该性质计算，把点=11,-122-23Z-23分别映成点w=o0,i,-1的分式线性变换为17、如下图，分式线性变换w=三+exp(i元/4)将上半平面保形变换成单位圆，z +exp(i元 /4)你知道哪一点变成了圆心吗？

的每一个值时， f (x + T) = f (x) 都成立，那么就把函数 y = f (x) 叫做周期函数， 不为零的常数 T 叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数 kT(k  Z, k  0) 都是它的周期。函数 z f (z) = e 的一个周期是_. 14、欧拉公式是一个恒等式，它是数学里最令人着迷的一个公式，把指数函数 写成正弦函数做虚部、余弦函数做实部的一个恒等式。如果将其中的指数取特 殊形式可以得到一个很有意义的公式，这个公式将数学里最重要的几个数联系 到了一起：两个超越数：自然对数的底 e，圆周率π，两个单位：虚数单位 i 和自然数的单位 1，以及数学里常见的 0。数学家们评价它是“上帝创造的公 式”，我们只能看它而不能理解它。你能写出这个上帝创造的公式吗？ _. 15、柯西积分公式是一把钥匙，它开启了许多方法与定理；它刻画了解析函数 的又一种定义；人们对它的研究极具意义，让解析函数论能够单独脱离于实函 数而充满活力！ 若函数 f (z) 在简单正向闭曲线 C 所围成的区域 D 内解析，在 区域 D 的边界 C 上连续， 0 z 是区域 D 内任意一点，则有 dz z z f z i f z C − = 0 0 ( ) 2 1 ( )  ， 利用柯西积分公式计算 = + −  = dz z z z i |z| 3 2 (2 1)( 2) 1  _. 16、 2 3 4 z ,z ,z 是扩充复平面上的四个点，且 C →C T : 为分式线性变换, 则 (T(z1 ),T(z2 ),T(z3 ),T(z4 )) = ( , , , ) 1 2 3 4 z z z z 任意点 1 C z 称为保交比（交 比 ( , , , ) 1 2 3 4 z z z z 1 3 1 4 2 3 2 4 : z z z z z z z z − − − − = ）性质，利用该性质计算，把点 z = 1,i,−1 分别映成点 w = ,i,−1 的分式线性变换为_. 17、如下图，分式线性变换 . exp( / 4) exp( / 4)   z i iz i w + + = 将上半平面保形变换成单位圆， 你知道哪一点变成了圆心吗？_

AFABICDEx18、利用F-[F(0-0)]=ejf(),已知G(の)=（β>0,0%为实常β+j(α+o)数，j为复数单位常数),求g(t)=F-[G(の)]0,t<0 目在傅里叶变换下的原像。.已知f()=e-,t≥0β+jo19、解析函数的孤立奇点有三类，除了可去奇点、极点外，还有一种是20、解析函数在孤立奇点的留数与解析函数在改点邻域里的洛朗级数有密切的关系，其中洛朗展式中有一项的系数对留数其决定的作用，你知道是哪一项吗？用C，给出是哪一项，请写出n是三、解答题，应用积分变换知识解答下列题目（每题5分，共35分）1、解方程2-2=02、验证u(x,)=3-3xy是=平面上的调和函数,并求以(x,)为实部的解析函数 f(-)=u(x,y)+iv(x,y),使 f(o)=iY3、利用留数计算广义积分小1+XP(=)(已知 rPm)dx= 2m ≥ Re sl)21)Q()O(x)Im=, >0

18、利用 1 0 0 [ ( )] ( ) j t F e f t    − F − = ，已知 0 1 ( ) ( ) G j     = + + （ 0    0, 为实常 数，j 为复数单位常数），求 1 g t G ( ) [ ( )]  − =F _.已知      = − , 0 0, 0 ( ) e t t f t t 是  + j 1 在傅里叶变换下的原像。 19、解析函数的孤立奇点有三类，除了可去奇点、极点外，还有一种是 _. 20、解析函数在孤立奇点的留数与解析函数在改点邻域里的洛朗级数有密切的 关系，其中洛朗展式中有一项的系数对留数其决定的作用，你知道是哪一项吗？ 用 Cn 给出是哪一项，请写出 n 是_. 三、解答题，应用积分变换知识解答下列题目（每题５分，共 3５分） １、解方程 2 0 3 z − = ２、验证 ( ) 3 2 u x, y = x − 3xy 是 平面上的调和函数,并求以 u(x, y) 为实部的解析 函数 f (z) = u(x, y)+ iv(x, y),使 f (0) = i ３、利用留数计算广义积分 dx x x  + 0 + 4 2 1 （已知    + − = Im 0 , ] ( ) ( ) 2 Re [ ( ) ( ) k z k z Q z P z dx i s Q x P x  ） z

4、利用正弦傅里叶积分变换F,(o)=f(t)sin otdt,f(t)=2F,(o)sin odt[Fsint10 <1<元 。求解积分方程g(o)sin otdo=f(t)，其中f(t)=20,1>元5、用拉普拉斯积分变换性质已知 : CLf(")(t)]= s"F(s)- s"- f(0)- s"-2 f (0) -..- f(n-1 (0)1-(Re(s)> k)C[e ] = -s-k求解常微分方程+2y-3y=e"，(0)=0,y(0)=1。n[_f(S)6、已知高阶导数公式为")(=)=2m Je(--2) ds (n=1,2,3),e'dz利用高阶导数公式计算：[-2(1)17、求函数F(=)分别在圆环1<zl<2及2<zk+0内的洛朗级(2 - 1)(≥ - 2)数展式。四、用所学知识说明什么是积分变换，你学过的积分变换有哪些？并举例说明积分变换工程实际中有什么应用？如何用积分变换来解决一些实际问题？(10分)五、实验题（15分）1、写出求函数 ≥= (x,J)=(x2 -2x)e---y的泰勒展式的Matlab程序。（3分）

4、利用正弦傅里叶积分变换   + + = = 0 0 ( )sin 2 F ( ) f (t)sin tdt, f (t) F tdt s s      求解积分方程  + = 0 g()sin td f (t) ，其中        =    t t t f t 0, sin ,0 2 ( ) 。 ５、用拉普拉斯积分变换性质 已知： ( ) ( ) 1 2 ' ( 1) [ ( )] (0) (0) (0) n n n n n f t s F s s f s f f − − − L = − − − − 1 [e ] (Re( ) ). kt s k s k =  − L 求解常微分方程 t y y y e − + 2 − 3 = '' ' ， (0) 0, (0) 1 ' y = y = 。 6、已知高阶导数公式为 ( 1,2,3,.) ( ) ( ) 2 ! ( ) 1 ( ) = − =  + d n z f i n f z C n n     , 利用高阶导数公式计算： 2 2 2 ( −1)  = z z e dz z z 7、求函数 ( 1)( 2) 1 ( ) − − = z z f z 分别在圆环 1<|z|<2 及 2 | z | + 内的洛朗级 数展式。 四、用所学知识说明什么是积分变换，你学过的积分变换有哪些？并举例说明 积分变换工程实际中有什么应用？如何用积分变换来解决一些实际问题？ （10 分） 五、实验题（１5 分） 1、写出求函数 的泰勒展式的 Matlab 程序。（3 分） 2 2 2 ( , ) ( 2 ) x y xy z f x y x x e− − − = = −