>> 1imit((x2+1)/ (x~2-1),x,1)结果为ans=NaN，即原式极限不存在下面作出该函数的图像，考察x→1时f(x)的极限状态，为了便于观察，在区间[-3,3]，上作函数的图像，读者在作图时可以取不同区间绘图.相应的Matlab程序为>> x=-3:0.01:3;y=(x. ~2+1). /(x. ~2-1);>> plot(x,y)>> axis([-3,3,-8,8])%调整图形坐标轴的范围>>xlabel(x'),ylabel(Y')运行结果如图1-6.x+1的图像图1-6函数x-由解析式得分母的极限lim(x2-1)=0，分子的极限lim(x2+1)=2，由无穷大与无穷小的关系知原式的极限为，即极限不存在.图1-40的函数图像也说明了这样的数量变化关系，（2）用1imit命令直接求极限，相应的Matlab程序为>> syms x;>>limit((x+sin(x))/(2*x),x,inf)结果为ans=1/2，即lim+sinx_！22x（3）用limit命令直接求极限，相应的Matlab程序为>> syms t;>>limit((1-t)"(1/t),t,0,right')6
6 >> limit((x^2+1)/(x^2-1),x,1) 结果为 ans =NaN，即原式极限不存在. 下面作出该函数的图像，考察 x →1 时 f x( ) 的极限状态，为了便于观察，在区 间 [ 3,3] − ，上作函数的图像，读者在作图时可以取不同区间绘图.相应的 Matlab 程序为 >> x=-3:0.01:3； y=(x.^2+1)./(x.^2-1)； >> plot(x,y) >> axis([-3,3,-8,8]) %调整图形坐标轴的范围 >> xlabel('X'),ylabel('Y') 运行结果如图 1-6. 图 1-6 函数 2 2 1 1 x x + − 的图像 由解析式得分母的极限 2 1 lim( 1) 0 x x → − = ，分子的极限 2 1 lim( 1) 2 x x → + = ，由无穷大与 无穷小的关系知原式的极限为 ，即极限不存在.图 1-40 的函数图像也说明了这 样的数量变化关系. （2） 用 limit 命令直接求极限，相应的 Matlab 程序为 >> syms x； >> limit((x+sin(x))/(2*x),x,inf) 结果为 ans =1/2，即 sin 1 lim x 2 2 x x → x + = . （3） 用 limit 命令直接求极限，相应的 Matlab 程序为 >> syms t； >> limit((1-t)^(1/t),t,0,'right')
结果为ans =exp(-1),即lim(1-t)i=e-le（4）用limit命令直接求极限，相应的Matlab程序为>> syms x;>>limit ((cos(2*x)-cos(3*x))/(sqrt(1+x 2)-1),x,0)结果为ans=5，即limcos2x-cos3x=5./1+x2 -1注意：Matlab同其他数学软件一样，进行极限、导数、积分等运算时，都不能给出运算的中间过程，如果仅仅不明就里地求出了运算结果，这样的学习是没有意义的，所以在使用软件计算时，千万不能忽视数学课程的学习.我们一再强调的是：软件应用不应该也不能代替数学课程的学习三、作图观察函数的连续性例6考察下列函数在x=0点的连续性.若是间断点，说明其类型，[x, x<0f(x)=30,x=0[2,x>0解首先作出分段函数在区间[-4,41上的图形，观察图形在点x=0附近的形状相应的Matlab程序为>>xl=-4:0.01:0;yl=xl.~2;>>x2=0:0.01:4；y2=2;>>plot(xl,yl, x2, y2)运行结果如图1-7.从函数图像上可以明显看出x=0点是间断点，且在x=0处左右极限存在但不相等，所以x=0点是第一类间断点中的跳跃间断点。图1-7分段函数图1
7 结果为 ans = exp(-1)，即 1 1 0 1 lim(1 ) e e t t t + − → − = = . （4）用 limit 命令直接求极限，相应的 Matlab 程序为 >> syms x； >> limit（（cos(2*x)-cos(3*x)）/(sqrt(1+x^2)-1),x,0） 结果为 ans =5，即 0 2 cos 2 cos3 lim 5 1 1 x x x x → − = + − . 注意：Matlab 同其他数学软件一样，进行极限、导数、积分等运算时，都不 能给出运算的中间过程，如果仅仅不明就里地求出了运算结果，这样的学习是没 有意义的，所以在使用软件计算时，千万不能忽视数学课程的学习.我们一再强调 的是：软件应用不应该也不能代替数学课程的学习. 三、作图观察函数的连续性 ●●例 6 考察下列函数在 x = 0 点的连续性.若是间断点，说明其类型. 2 , 0 ( ) 0, 0 2, 0 x x f x x x = = 解 首先作出分段函数在区间 [ 4,4] − 上的图形，观察图形在点 x = 0 附近的形状. 相应的 Matlab 程序为 >>x1=-4:0.01:0；y1=x1.^2； >>x2=0:0.01:4；y2=2； >>plot(x1,y1,x2,y2) 运行结果如图 1-7.从函数图像上可以明显看出 x = 0 点是间断点，且在 x = 0 处左右 极限存在但不相等，所以 x = 0 点是第一类间断点中的跳跃间断点. 图 1-7 分段函数图
数学实验二一、一元函数的导数计算Matlab系统中为用户提供了一元显函数求导的符号计算函数diff，可以调用此函数求符号导数，不但使用方便，而且计算准确、迅速，尤其是求结构复杂的高阶导数更显示出其优越性.用diff可以求一元显函数的各阶导函数和在某点处的各阶导数.用diff作符号求导函数和一些做表达式简化的函数的调用格式和功能如下所示diff(f(x),x)求函数y=f(x)对x的一阶导函数y=f(x)diff(f(x),x,n)求函数y=f(x)对x的n一阶导函数y(m)=f("(x）输出一个符合日常书写习惯的表达式pretty(diff(f(x),x)simplify(f)对函数表达式f简化例1设f(x)=e，用定义计算f(0).解由导数定义，(s)在某一点x,处的导数为：F(0)=lim (sg+h)-(a)，相应的hMatlab程序为>>syms h;>>limit((exp(0+h)-exp(0))/h,h,0)结果为ans=1，可知f(O)=1.例2用Matlab软件求下列函数的导数：x11(1) y= Jang: (2) y=：（3）求y=esinx的四阶导数y(4)1+1-解（1)相应的Matlab程序为>> syms x;>>diff(sqrt(tan(x/3)))结果为ans=1/2/tan（1/3*x）（1/2)*（1/3+1/3*tan（1/3*x）2），1(1+1tan')即v=2/tan（5*33Va3（2）相应的Matlab程序为>> syms t:>>diff(1/(1+t~(1/2))+1/(1-t~(1/2)))结果为ans=-1/2/(1+t~（1/2)）~2/t*（1/2)+1/2/(1-t~（1/2)）2/t*（1/2)，8
8 数学实验二 一、一元函数的导数计算 Matlab 系统中为用户提供了一元显函数求导的符号计算函数 diff，可以调用此函数求 符号导数，不但使用方便，而且计算准确、迅速，尤其是求结构复杂的高阶导数更显示出其 优越性.用 diff 可以求一元显函数的各阶导函数和在某点处的各阶导数.用 diff 作符号求导 函数和一些做表达式简化的函数的调用格式和功能如下所示. diff(f(x),x) 求函数 y f x = ( ) 对 x 的一阶导函数 y f x = ( ) diff(f(x),x,n) 求函数 y f x = ( ) 对 x 的 n 一阶导函数 ( ) ( ) ( ) n n y f x = pretty(diff(f(x),x) 输出一个符合日常书写习惯的表达式 simplify(f) 对函数表达式 f 简化 ●●例1 设 ( ) ex f x = ，用定义计算 f (0) . 解 由导数定义， f x( ) 在某一点 0 x 处的导数为： f (0) = 0 0 0 ( ) ( ) lim h f x h f x → h + − ，相应的 Matlab 程序为 >>syms h； >>limit((exp(0+h)-exp(0))/h,h,0) 结果为ans=１，可知 f (0) 1 = . ●●例 2 用 Matlab 软件求下列函数的导数： （1） tan 3 x y = ；（2） 1 1 1 1 y t t = + + − ；（3）求 e sin x y x = 的四阶导数 (4) y . 解（1） 相应的 Matlab 程序为 >> syms x； >> diff(sqrt(tan(x/3))) 结果为 ans =1/2/tan(1/3*x)^(1/2)*(1/3+1/3*tan(1/3*x)^2)， 即 1 1 1 2 tan 3 3 3 2 tan 3 x y x = + . （2） 相应的 Matlab 程序为 >> syms t； >> diff(1/(1+t^(1/2))+1/(1-t^(1/2))) 结果为 ans =-1/2/(1+t^(1/2))^2/t^(1/2)+1/2/(1-t^(1/2))^2/t^(1/2)
1-1即y：2(1+)“2(1-)（3）相应的Matlab程序为>> syms x;>>diff(exp(x)*sin(x),4)结果为ans=-4*exp(x)*sin(x），即y(4)=-4e*sinx下面介绍用Matlab中的函数diff间接求参数方程的导数.如果一元函数y=f(x）)由参是x=x()）所确定，则y对x的导数为义=崇-兰，用Matlab中的函数diff间接求参数方程、dxx'(y=y(t)数方程的符号导数的调用格式为yx=diff(f,t)/diff(x,t)..例3 设一元函数y=)()由参数方程[(x=a(-sin)确定，求兴,dx[y=a(1-cost)解相应的Matlab程序为>> syms t ;>>xt=diff(a*(t-sin(t)));yt=diff(a*(1-cos(t)));>>yx=yt/xt结果为yx=sin(t)/(1-cos(t)，即=sindx1-cost二、一元函数的微分计算下面介绍用Matlab中的函数diff间接地计算一元函数的微分.如果一元函数y=f(x)可导，则y对x的微分为dy=f(x)dx，故用Matlab中的函数diff间接求y=f(x)对x的微分的调用格式为dy=diff(y,x)*dx如果一元函数y=f(x)在x=x处可导，则y在x=x处对x的微分为d yl=r = f'(x)dx ,故用函数diff间接求y=f(x）在x=x处对x的微分的步骤如下：步骤1：求yx=diff(y,x)步骤2：将x=x代入y(x)表达式，求出以=F(x)），并将值赋给变量y0步骤3：用程序：>>symsdxdy0=yx0*dx9
9 即 ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 2 1 y t t t t − = + + − . （3） 相应的 Matlab 程序为 >> syms x； >> diff(exp(x)*sin(x),4) 结果为 ans =-4*exp(x)*sin(x)，即 (4) 4e sin x y x = − . 下面介绍用 Matlab 中的函数 diff 间接求参数方程的导数.如果一元函数 y f x = ( ) 由参 数方程 ( ) ( ) x x t y y t = = 所确定，则 y 对 x 的导数为 d d t x t y y y x x = = ，用 Matlab 中的函数 diff 间接求参 数方程的符号导数的调用格式为 yx=diff(f,t)/diff(x,t). ●●例3 设一元函数 y y x = ( ) 由参数方程 ( sin ) (1 cos ) x a t t y a t = − = − 确定，求 d d y x . 解 相应的Matlab程序为 >> syms t ； >>xt=diff(a*(t-sin(t)))；yt=diff(a*(1-cos(t)))； >>yx=yt/xt 结果为 yx=sin(t)/(1-cos(t))，即 d sin d 1 cos y t x t = − . 二、一元函数的微分计算 下面介绍用Matlab中的函数diff间接地计算一元函数的微分.如果一元函数 y f x = ( ) 可 导，则 y 对 x 的微分为 d ( )d y f x x = ，故用 Matlab 中的函数 diff 间接求 y f x = ( ) 对 x 的微分 的调用格式为 dy=diff(y,x)*dx 如果一元函数 y f x = ( ) 在 0 x x = 处可导，则 y 在 0 x x = 处对 x 的微分为 0 0 d ( )d x x y f x x = = ， 故用函数 diff 间接求 y f x = ( ) 在 0 x x = 处对 x 的微分的步骤如下： 步骤 1：求 yx=diff(y,x) 步骤 2：将 0 x x = 代入 y x ( ) 表达式，求出 0 0 ( ) x x y f x = = ，并将值赋给变量 y0 步骤 3：用程序：>>syms dx dy0=yx0*dx
求出d=f(%)dx.●?例4求函数的微分：x2(1) y:（2）设函数y=(x)由方程25xy-e+e=0确定，求dl=0Yx? +a?解（1）相应的Matlab程序为>> syms x dx;>> y=x 2/sqrt(x 2+a 2);>>dy=diff(y,x)*dx；dyl=simplify(dy)%对求出的导函数进行化简运行后得函数的微分为dy1=x*(x~2+2*a~2)*dx/(x~2+a~2)~(3/2)即所为微分为dy=+24)dr.(x2+a)（2）因为当x=0时，y=0.所以求微分dyl=。相应的Matlab程序为>> syms x y;>>F=25*x*y-exp(-2*x)+exp(y);>> Fx=diff(F,x); Fy=diff(F,y): yx=-Fx/Fy:>>yl=simplify(yx)运行后得化简后的y对x的一阶导数如下：yl=(-25*y-2*exp(-2*x)）/(25*x+exp(y)）再输入代码>> syms dx;>>x=0：y=0：dy1=((-25*y-2*exp(-2*x))/(25*x+exp(y)))*dx运行后得到dy-为dyl=-2*dx，即所求微分dy-=-2dx.数学实验三在本章中，我们已经介绍了中值定理和导数的应用，下面我们介绍用Matlab软件做中值定理的验证、泰勒公式的计算、函数性态的研究等方面的实验一、中值定理的验证例1作函数f(x)=3sin2x在0≤x≤元上的图像，并说明罗尔定理的几何意义.解（1）函数作图，相应的Matlab程序为>》gtext('y=3*sin(2*x)")>> plot(x,y)10
10 求出 0 0 d ( )d x x y f x x = = . ●●例 4 求函数的微分： （1） 2 2 2 x y x a = + ；（2）设函数 y y x = ( ) 由方程 2 25 e e 0 x y xy − − + = 确定，求 0 d x y = . 解 （1）相应的 Matlab 程序为 >> syms x dx； >> y=x^2/sqrt(x^2+a^2)； >> dy=diff(y,x)*dx； dy1=simplify(dy) %对求出的导函数进行化简 运行后得函数的微分为 dy1 = x*(x^2+2*a^2)*dx/(x^2+a^2)^(3/2) 即所为微分为 2 2 3 2 2 2 ( 2 ) d d ( ) x x a y x x a + = + . （2）因为当 x = 0 时， y = 0 .所以求微分 0 d x y = 相应的 Matlab 程序为 >> syms x y； >> F=25*x*y-exp(-2*x)+exp(y)； >> Fx=diff(F,x)；Fy=diff(F,y)；yx=-Fx/Fy； >> y1=simplify(yx) 运行后得化简后的 y 对 x 的一阶导数如下： y1 =(-25*y-2*exp(-2*x))/(25*x+exp(y)) 再输入代码 >> syms dx； >> x=0；y=0；dy1=((-25*y-2*exp(-2*x))/(25*x+exp(y)))*dx 运行后得到 x 0 dy = 为 dy1 =-2*dx，即所求微分 0 d 2d x y x = = − . 数学实验三 在本章中，我们已经介绍了中值定理和导数的应用，下面我们介绍用 Matlab 软件做中值定理的验证、泰勒公式的计算、函数性态的研究等方面的实验. 一、中值定理的验证 ●●例 1 作函数 f x x ( ) 3sin 2 = 在 0 ≤ x ≤ 上的图像，并说明罗尔定理的几何意 义. 解（1）函数作图，相应的 Matlab 程序为 >> gtext('y=3*sin(2*x)') >> plot(x,y)