x因升可加,故f满足可加性是显然的,现只须证f对乘以复 数a=a,满足f(ax)=(x),事实上, f(a÷b)x)=f1(ax·ibx)-f1(ax-bx) =a1(x):b71(ax)-ia子(ix)十ib了,(x) (a+i)[f1(x)-i1(x)]=(a})(x) 下面证|f(x)≤p(x),x∈互,若f(x)0,则结论显然成立; 若X,使f(x)与0,设f(x)=e|f(x)|,于是|(x)=f(x)e =f(e"x)=f1(e-"x)-i(ie“x),但因f(x)是实数,故 f(x)|=f1(e-x),由于f1满足|f;(x)|≤p(x),x∈X,故 f(x)|=f(e"x)≤p(e“x)=ie“6lp(x)=p(x).证毕 定理1和定理2中事实上并未涉及到X上范数或度量等概 念,而完全是线性问题.下面我们把Hahn- Banach定理用于线 性赋范空间的恃况,得出两个重要的定理 定理3·设∫是赋范空间X的子空间z上的线性连续泛函, 则必存在X上线性连续泛函子,它是f的保范延拓,即当xZ时, 有 f(x)=f(x),并且fx=!f. 证明因为在Z上有|f(x)≤1fx,而(x)=|fzlx是 X上次线性泛函,由定理2,存在子,它是∫在全空间X上的延拓, 并且满足f(x)|≤P(x)=fzx,x∈王,这说明f是X上线性连 续泛函,并且1x≤x,另一方面,X的单位球包含Z的单位球, 故 A: x=supl](c)IsupIf()=suplf(a)|=Ifi 所以x=1∫z.证毕 定理4设X是线性狱范空间,x∈X,如=0,則必存在x上 的线性有界泛函∫(x),使得f|=1,许且∫(x)=1zl
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证明我们考虑X中一维子空间X1={xa为复数},在x1 上定义泛函f1(ax)-f1(ax)alxo,其中x=cx∈x1,它显然是 线性泛函,又因为f1(x)|=|a!}x=|ll,故∫是X1上线性连 续泛函,并且!f1x,=1,由定理3,存在整个空间X上线性连续泛 函f,它是∫1的延拓,并且!x=f1x1=1,特别取xxb∈x1,所 以f(x0)=f1(x)=1xo,.证毕 推论1设X是线性赋范空间,x∈X,着对X上所有线性连续 泛函f,均有f(x)=0,则必有x=-0 这由定理4,运用反证法立即可得 §2.C[a,b的共轭空间 前面我们已经订论过一些空间的共轭空间,如()=l”, (")′=1,其中1+1=1,p>1.这一节我们要投出[a,b上连 续函数所构成的空间C[a,b]的共轭室间,这是 Riesz的著名工 作,它也可以看作是Hahn- Banach定理的-个重要应用 设9(t)是区间[ab]上的圈变函数,V(g)为g(t)在[a,] 上的全变差由第五章§9定理2,积分f(4)dg(4)存在,其中f ∈C[a,b],读者不难证明成立 f(1)d(t)≤mxft)·V(g)=!升,V(g).(1) 作C[ab]上泛函 F(f)=f(t)dg(t), fECCa, 6] (2) 由第五章§9定理1,P是C[a,b]上线性泛函,由(1)式可知F 是C[ab上线性连续泛函并且F≤V(g).我们自然会问:
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CIa,b]上任何…个线性连续泛函F是否都可以对应一个囿变函 数g,使得(2)成立?回答是肯定的,这就是下面的 Riesz定理 定理1(Riez表示定理)C[a,b]上每一个线性连续泛函F 都可以表示成为 F(f)= f(dolt), feC[a, b1 其中g()是[a,b]上圈变函数,并且F=Ⅴ(g) 证明在子找空间X的共轭空间X'的表示时,我们总是先找 出X的-组基{e4}的表示,然后作线性组合取极限以达到完全的 表示,在函数空间中,通常用区间[a,幻]的特征函数作为基,由它 生成阶梯函数,再去逼近某些函数类.对连续函数空间,我们也采 取同样的路线,但是特征函数一般不连续因而不属于C[a,b,故 我们先把C[a,b]上泛函F保范地延拓到有界函数空间B[a2b 上,而阶梯函数属于Bab],然后再用阶梯函数去逼近连续函数 最后找到C[a,b]共轭空间的一般表示 我们知道在B[ab]和C[ab中都用范数f()=sup|f(t) t∈a,b 故C[a,b]可以看成是Ba,b]的子空间.为简单起见,我们只考虑 实空间CLa,b]和B[a,b].由Hahn- Banach定理知F可以保范 地延拓成为B[a,b]上线性连续泛函F,使得当fC[a,b]时,有 F(f)=F(f),且|P;=F 考虑[a,]上特征函数x,当s∈[a,切]时,第1(s)=1,对其余 的s,x(8)=0.显然x,∈B[a,b].用F在x上的值构造函数 (t)如下:g(a)=0,g(t)=R(x1),t∈[a,b].下面证明g(4)即为 所求的围变函数,事实上 (1)g(t)是囿变函数,这是因为对任意分划 n:a=to<t1<…<tn=b 有
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9(t1)-9(;)=|F(x1)|∑!F(x:)-F(x1:) =B1F(X12)∑e(F(x:1)-F(x1) =F(e124+∑ε3(x,-Z,) ≤|F|e1x1+∑e,(x;-x12,)=|列, 其中e1= sign F(x,1);e;sign5F(x,)-F(xx),j=1,2,… n,故g(t)是[a,b]上囿变函数,且 V(g)≤sup∑g(t;)-9(t)|≤F. (2)设f(t)为Ca,b]中连续函数,对[a,b]中分划 T:a=t<<…<t=b, 作阶梯函数 hn(t)-f(t)x1(t)+∑f(t)x,(t)一x;,(t)] 显然∈Ba,b],注意到g(ta)=g(a)=0,所以 P(hn)=f(t)g(t1)∑∫(t-1)[(t)-g(t-) ∑f(t:)[(4)-9(t1)] 当分划越来越细时,上式右端趋向于f(t)dg(t).另一方面,由 于f()是连续函数,故∫(t)在[a,b]上一致连续,易知,当分划越 来越细时,hn在[a,b]上一致收敛于f(t),即按B[a,b]中范数有 n-f→0,由F的连续性,F(hn)→>F(f).又因为在CLa,b]上, F(f)=F(f),故
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F(f)=P(f)f()d(6) 根据(1)式可知F≤V(9),另一方面,由(1)的证明;又有 V(g)≤|到=Fl, 所以 !F!=V(g). 证毕. 注定理中得出的g(t)不…定是唯一的,但是如果规定g(#) 是正规化的囿变函数,即需要满足g(a)=0且g(t)右连续,那么 g(t)可由F唯一地决定 §3.共轭算子 设X,Y是两个线性赋范空间,X和Y分别是X和Y的共轭 空间,T是X到Y中的线性有界算子。今对任何g∈Y',可以如下 定义X上的泛函f f(x)=9(Tx) 这个泛函f(x)显然是线性的,由于 f(x)=|9(Tx)≤g|!≤!!|!!!, 故∫也是有界线性泛函,即fX',于是我们建立起了gtf的对 应,即由T派生出一个从Y到x的算子Tx:T9=f.称T为T 的共轭算子 定理1线性有界算子T的共轭算子們也是线性有乐算予, 并且人= 证明对任何9,92∈Y及数cB,由Tx的定义,有 T(∞g+月g2)(x)=(cg:+92)(T)=ag1(Tx)+g2(Tx) al91 (a)+Br g2(r)=(aT 91+ PT*g2)(2), EX, 所以T(a9+Bg2)=m91+Tg2,即T是线性算子,又由前 述,对所有f∈x及x∈x,有
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