第8章广义函数与基本解 13基本空间y(RN)及其上的 fourier变换 基本空间 若定义在匣上的函数(x)满足条件 )2(x)∈Cx(Rx) (i)对任意多重指标a和,存在常数c(a,)>0.使 2D3y(x)≤ca,B),yx∈RN 则称它是速减函数。易证,条件()与下述任一个条件等价: (i)对任意多重指标a和.有 (iv)对任意多重指标β和正数k,存在常数c(k,)>0,使 (1+1x2)D3p(x)≤c(k,B)
第8章 广义函数与基本解 • 1.3 • 基本空间 若定义在 上的函数 满足条件 则称它是速减函数。易证，条件(ii)与下述任一个条件等价：
第8章广义函数与基本解 定义8.1.6称速减函数列{ym(x)}收敛于零,若对任意多 重指标a和β,当m→∞时,都有 sup a x)→0 RN 记为{m(x)→0().若9m(x)-g(x)→0(),则称ym(x)→ (x)(∞).赋予上述收敛概念的速减函数集合叫作基本空间 RN),并简记为基本空间 例81.3c-22∈y 例8.1.4若∫(x),g(x)∈,则它们的卷积 米( f(a-yig(y)dy 存在且属于
第8章 广义函数与基本解
第8章广义函数与基本解 例8.1.5设Q(x)为多项式,P(D)=∑aaD°是常亲 a≤m 数线性偏微分算子,其中,α是多重指标,m是正整数,aa是 常数.若(x)∈,%,则不难验证Q(r)P(Da(x)∈ 对于两个基本空间9和的关系,我们有 定理8.1.79→,且在中稠密. 与定理8.1.5和定理8.1.7类似,我们有 定理8.1.8-6,且∥在♂中稠密
第8章 广义函数与基本解
第8章广义函数与基本解 基本空间上的 Fourier变换 对任意f(x)∈,定义它的 Fourier变换为 f(s)-/f(aje ired RN 对g()∈R),定义它的 ollrlel逆变换为 (x)=(2丌) (e)e sde
第8章 广义函数与基本解 • 基本空间上的Fourier 变换
第8章广义函数与基本解 Fourier变换的性质 (1)线性性质 若f(x),9(x)∈,则对任意常数a1,a2,有 Fla1f+a29|=a1 FU]+a2 FIgl (2)徼商性质 F|Dx月=i5Fl 一般地,对任一多重指标a,有 FD°f=iFf
第8章 广义函数与基本解 • Fourier变换的性质