第8章广义函数与基本解 12基本空间职以和B(Ry 首先考虑的基本空间是便即具有紧支集 的无限次可微函数组成的空间。所谓一个函数 f(x)的支集,是指集合{x∈RN|f(x)≠0的闭包, 记作酬f(在c(叹收敛概念如下
第8章 广义函数与基本解 • 1.2 基本空间 和 首先考虑的基本空间是 即具有紧支集 的无限次可微函数 组成的空间。所谓一个函数 f(x) 的支集，是指集合 的闭包， 记作 在 中定义收敛概念如下：
第8章广义函数与基本解 定义8.1.2如果函数列{≌n(x)}<Cδ(RN),且馮足条件 (1)存在紧集K,使得stgn(x)CK,n=1,2,…; (i)对任意多重指标a,成立 lim sup D°yn(x)=0 nx∈K 则称函数列{n(x)}在C(RN)中收敛于零,记为yn(x)→ 09),若n(x)-(x)→09),则称yn(x)→g(x)(9).赋予 这种收敛概念的空间CG(RN)叫作基本空间身(畎N)简记为基 本空间9 例8.1.1第5章53节中所述的函数n(x)∈9n(x)∈9
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第8章广义函数与基本解 利用ne(x)可以得到许多分中的函数例如,设u(x)是RN 中局部可积函数,定义 (u ne(a-y)dy 则v(x)∈Cx(N).进而若(x)有紧支集,则t(x)∈9 例8.12设B>1,xn(x)是RN中球BR=Bn(0)的特 征函数,即 1,|x|≤R R > R r(z-tn(t) IRA XR(t)na-t)dt x-t≤1
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第8章广义函数与基本解 定义81.3设{n()}<C(RN).如果在任一紧集K 上有 lim sup|D°yn(x)→0.V多重指标a →∞0 x∈K 则称函数列{n(x)}在C∝(畎N)中收敛于零,记为n(x)→ 0(6),如果yn(x)-(x)→0(6),则称n(x)→9()(6).我 们称赋予这种收敛概念的空间C(RN)为基本空间6(RN),简 记为
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第8章广义函数与基本解 附注易知圆中的收敛性比中的收敛性强,反之未必 对。例如可取为例81.1中的函数,并定义 xN),m=1,2, 易证1n→0(6),但n+0(9F 定义8.1.4设基本空间(或下文的广义函数空间)AcB 若{n}cA,n→0于A中,则必有In→0于B中,就 称A连续嵌入B,记为A→B.其中,恒等算子叫做嵌入算 子 定理8.1.56,且身在6中稠密
第8章 广义函数与基本解 • 附注 易知 中的收敛性比 中的收敛性强，反之未必 对。例如可取为例8.1.1中的函数，并定义 易证