沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第2章 矩阵及其运算 2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵

0000100-31ri-120-310003I00-2-300[10000C4+CiC4-3c20010C4-3c3B =0001 00010001所以A=B

所以 A B  1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 B            1 2 1 0 0 1 0 1 0 3 0 0 2 3 r r                 2 1 2 1 0 0 1 0 1 0 3 0 0 1 3  c               4 1 4 2 4 3 3 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 c c c c c c             

定义3行阶梯形矩阵是指具有下列特点的矩阵：（1)矩阵若有零行（元素全为零的行），应位于非零行的下方；(2)矩阵每个非零行的非零首元均在上一行非零首元的右下方3②370042例如，矩阵是一个行阶梯形矩阵3002000000

定义3 行阶梯形矩阵是指具有下列特点的矩阵:                0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 0 2 4 2 1 2 3 7 0 3 例如，矩阵 是一个行阶梯形矩阵. 的右下方. (2)矩阵每个非零行的非零首元均在上一行非零首元 的下方； (1)矩阵若有零行（元素全为零的行），应位于非零行

定义4若行阶梯形矩阵还满足下列条件则称为行最简形矩阵：(1)非零行的非零首元均为1;(2)非零首元1所在列的其他元素均为01030是一个行最简形矩阵例如，矩阵4-200A定理1任何一个非零矩阵总可经过行初等mxn变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵

定义4 若行阶梯形矩阵还满足下列条件则称 (2)非零首元1所在列的其他元素均为0. (1)非零行的非零首元均为1; 为行最简形矩阵:                0 0 0 0 0 0 0 1 2 4 0 1 0 3 0 1 0 0 0 1 例如，矩阵 是一个行最简形矩阵. 定理1 任何一个非零矩阵 A m n 变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵． 总可经过行初等

(002-1-14012-1例1用初等行变换把矩阵A:2-4-10-182)112化成行阶梯形进而化成行最简形(1024-1解(1240-10r3+ri20-1-1002-1-1r4-2riAi0012-102-1-4-10(0318-2)2)211(1024-1r3+r2020-1-1r4+3r20040-24)00(0-2

例1 用初等行变换把矩阵 0 0 1 1 2 1 4 1 0 2 1 4 2 1 0 2 8 1 1 2                    A 化成行阶梯形进而化成行最简形. 解 1 2 1 4 1 0 2 0 0 1 1 2 1 4 2 1 0 2 8 1 1 2 r r                    A 3 2 4 2 3 1 4 1 0 2 0 0 1 1 2 0 0 0 2 4 0 0 0 2 4 r r r r                    3 1 4 1 2 1 4 1 0 2 0 0 1 1 2 0 0 1 1 2 0 0 3 1 2 r r r r                   

204-10140112×(-1)0r3+r202-1-1000013x14+3r0004-20001-2400-200000020ri-13-2

2 3 ( 1) 1 ( ) 2 1 4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0                  r r 1 3 1 4 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 r r               . 3 2 4 2 3 1 4 1 0 2 0 0 1 1 2 0 0 0 2 4 0 0 0 2 4 r r r r                   